Aufgaben: Stochastik

An einer Bude auf der Cranger Kirmes gewinnt man beim Drehen eines Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}2$. Das Rad wird zweimal gedreht.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm und trage alle Wahrscheinlichkeiten ein.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zweimal Niete.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau einen Gewinn.

In einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern wurde nach dem Schulweg gefragt: 12 kommen mit dem Fahrrad, 9 mit dem Bus und 7 zu Fuß.

1. a) Gib die relativen Häufigkeiten in Prozent an (auf eine Nachkommastelle gerundet).

1. b) Eine Person wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht mit dem Bus kommt.

1. c) Zwei Personen werden nacheinander ohne Zurücklegen ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide mit dem Fahrrad kommen.

In Bochum wurden 200 Personen befragt, davon 110 Frauen. 120 Personen nutzen den ÖPNV regelmäßig, darunter 70 Frauen.

1. a) Vervollständige die Vierfeldertafel.

	ÖPNV	kein ÖPNV	Summe
Frauen
Männer
Summe			200

1. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person eine Frau ist, die den ÖPNV nutzt.

1. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Frau den ÖPNV nutzt.

In einer Fabrik in Dortmund stellt Maschine A $60\,\%$ und Maschine B $40\,\%$ der Bauteile her. Von Maschine A sind $3\,\%$ der Teile defekt, von Maschine B $5\,\%$.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil defekt ist.

1. c) Ein ausgewähltes Bauteil ist defekt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine A stammt.

Eine Urne enthält 6 rote und 4 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander gezogen.

1. a) Berechne ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Farben.

1. b) Berechne ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine schwarze Kugel.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln einmal mit und einmal ohne Zurücklegen und vergleiche beide Ergebnisse.

Ein Schnelltest wird bei 10.000 Personen eingesetzt. Davon sind $2\,\%$ infiziert. Der Test erkennt $95\,\%$ der Infizierten (positives Ergebnis). Bei $2\,\%$ der nicht Infizierten zeigt er fälschlich ein positives Ergebnis.

1. a) Stelle die Situation in einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten dar.

1. b) Bestimme die Anzahl der Personen mit positivem Testergebnis.

1. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich infiziert ist, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

An einer Schule mit 200 Schülerinnen und Schülern der Oberstufe sei $A$ das Ereignis „spielt ein Instrument“ und $B$ das Ereignis „ist weiblich“. Es gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}55$ und $P(A\cap B)=0{,}22$.

1. a) Zeige, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

1. b) Zeige, dass dann auch $A$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig sind.

1. c) Stelle eine Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten auf.

1. d) Bestimme die Anzahl der männlichen Personen, die ein Instrument spielen.

Auf dem Schulweg hängt Toms Verkehrsmittel vom Wetter ab. Mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}3$ regnet es. Bei Regen fährt Tom mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$ mit dem Bus, sonst mit dem Fahrrad. Bei trockenem Wetter fährt er mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}1$ mit dem Bus, sonst mit dem Fahrrad.

1. a) Zeichne ein Baumdiagramm.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom mit dem Bus fährt.

1. c) Tom kommt mit dem Bus an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet.

1. d) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Tom innerhalb von 5 Schultagen an mindestens einem Tag mit dem Bus fährt. Nimm dazu an, dass die Tage unabhängig voneinander sind.

Ein technisches System besteht aus zwei Bauteilen. Bauteil 1 funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}9$, Bauteil 2 mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}8$. Die Bauteile arbeiten unabhängig voneinander.

1. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei Reihenschaltung funktioniert, also beide Bauteile funktionieren müssen.

1. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das System bei Parallelschaltung funktioniert, also mindestens ein Bauteil funktionieren muss.

1. c) Bauteil 2 wird bei Parallelschaltung durch ein Bauteil mit der Zuverlässigkeit $p$ ersetzt. Bestimme $p$ so, dass das System mit mindestens $99\,\%$ Wahrscheinlichkeit funktioniert.