Aufgaben: Modellierung im Sachkontext

Ein Fahrradverleih in Münster verlangt $8\,€$ Grundgebühr plus $2{,}50\,€$ pro Stunde.

1. a) Gib einen Funktionsterm für die Kosten $K(t)$ bei einer Leihdauer von $t$ Stunden an.

1. b) Berechne die Kosten für 5 Stunden.

1. c) Bestimme, wie viele Stunden man für $33\,€$ leihen kann.

Ein Handball wird abgeworfen. Seine Flughöhe in Metern wird in Abhängigkeit von der waagerechten Entfernung $x$ (in Metern) durch $h(x)=-0{,}05x^2+0{,}5x+2$ beschrieben.

1. a) Gib die Abwurfhöhe an.

1. b) Berechne die Höhe in $4\,\text{m}$ Entfernung.

1. c) Bestimme die größte Höhe des Balls.

1. d) Berechne die Entfernung, in der der Ball den Boden erreicht.

Eine radioaktive Probe enthält zu Beginn $80\,\text{mg}$ eines Stoffes mit der Halbwertszeit $T_H=8$ Tage. Es gilt $N(t)=80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$ ($t$ in Tagen, $N$ in mg).

1. a) Erkläre die Bedeutung der Zahlen $80$ und $8$ im Term.

1. b) Berechne die Menge nach 24 Tagen.

1. c) Berechne die Menge nach 12 Tagen.

Die Einwohnerzahl einer Stadt in NRW wurde jährlich erfasst:

Jahr $t$	0	1	2	3	4
Einwohner	20.000	21.000	22.050	23.153	24.310

1. a) Untersuche, ob die Entwicklung eher linear oder eher exponentiell verläuft. Begründe deine Entscheidung durch Rechnung.

1. b) Gib einen passenden Funktionsterm an.

1. c) Berechne mit dem Modell die Einwohnerzahl nach 10 Jahren.

1. d) Beurteile, wie zuverlässig diese Prognose für einen langen Zeitraum ist.

Ein Hersteller produziert zylinderförmige Konservendosen mit dem Volumen $500\,\text{cm}^3$.

1. a) Berechne für den Radius $r=4\,\text{cm}$ die Höhe der Dose und ihren Oberflächeninhalt.

1. b) Berechne für den Radius $r=5\,\text{cm}$ die Höhe der Dose und ihren Oberflächeninhalt.

1. c) Vergleiche beide Dosen im Hinblick auf den Materialverbrauch und nenne eine Vereinfachung, die das Modell enthält.

Der Biorhythmus der Leistungsfähigkeit wird in einem einfachen Modell durch $L(t)=100\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{28}\cdot t\right)$ beschrieben ($t$ in Tagen, $L$ in Prozentpunkten, Taschenrechner im Bogenmaß).

1. a) Gib Amplitude und Periode an.

1. b) Berechne $L(7)$ und $L(10)$.

1. c) Bestimme alle Zeitpunkte mit $0\le t\le 28$, an denen $L(t)=0$ gilt.

1. d) Beurteile, ob das Modell die Wirklichkeit gut beschreibt.

Ein Kaffee hat anfangs eine Temperatur von $90\,^\circ\text{C}$ bei einer Raumtemperatur von $20\,^\circ\text{C}$. Der Temperaturunterschied zur Umgebung nimmt näherungsweise nach $D(t)=70\cdot 0{,}92^t$ ab ($t$ in Minuten, $D$ in Kelvin).

1. a) Erkläre die Bedeutung der Zahlen $70$ und $0{,}92$ im Sachzusammenhang.

1. b) Berechne den Temperaturunterschied und die Kaffeetemperatur nach 10 Minuten.

1. c) Bestimme, nach wie vielen Minuten der Kaffee nur noch $40\,^\circ\text{C}$ hat.

1. d) Erläutere, welcher Temperatur sich der Kaffee langfristig nähert.

Auf einem Teich mit der Fläche $400\,\text{m}^2$ breiten sich Algen aus. Zu Beginn bedecken sie $5\,\text{m}^2$. Im ersten Modell wächst die Fläche pro Woche um $40\,\%$, also $A(t)=5\cdot 1{,}4^t$ ($t$ in Wochen).

1. a) Bestimme, nach wie vielen Wochen der Teich vollständig bedeckt wäre.

1. b) Berechne die Verdopplungszeit.

1. c) Im zweiten Modell wächst die Fläche linear mit $A_L(t)=5+2t$. Berechne die bedeckte Fläche beider Modelle nach 10 Wochen.

1. d) Beurteile, welches Modell für die ersten Wochen besser geeignet ist, und nenne eine Grenze des exponentiellen Modells.

Ein Wasserturm besteht aus einem zylinderförmigen Behälter mit dem Radius $4\,\text{m}$ und der Höhe $6\,\text{m}$, auf den eine Halbkugel mit demselben Radius aufgesetzt ist. Der gesamte Innenraum dient als Wasserspeicher.

1. a) Berechne das Fassungsvermögen in $\text{m}^3$.

1. b) Ein Stadtteil hat 800 Haushalte, die zusammen täglich $300\,\ell$ pro Haushalt verbrauchen. Berechne, wie lange der gefüllte Speicher reicht.

1. c) Der Behälter ist nur bis zu einer Höhe $h$ im zylindrischen Teil gefüllt und enthält $150\,\text{m}^3$. Bestimme $h$.

1. d) Nenne zwei Vereinfachungen des Modells und beurteile ihren Einfluss auf das Ergebnis aus a).