Aufgaben: Geometrie und Trigonometrie

Ein zylinderförmiges Getreidesilo hat einen Innendurchmesser von $6\,\text{m}$ und eine Höhe von $15\,\text{m}$ (ohne Dach).

1. a) Berechne das Volumen des Silos.

1. b) Berechne die Mantelfläche.

1. c) Berechne den Oberflächeninhalt des Silos einschließlich Boden, aber ohne Dach.

Eine Rampe an einem Gebäude ist $6\,\text{m}$ lang und überwindet eine Höhe von $0{,}8\,\text{m}$.

1. a) Berechne den Steigungswinkel der Rampe.

1. b) Berechne die waagerechte Länge der Rampe.

1. c) Gib die Steigung in Prozent an und beurteile, ob sie unter $6\,\%$ liegt.

Eine Eiswaffel hat die Form eines Kegels mit dem Radius $2{,}5\,\text{cm}$ und der Höhe $10\,\text{cm}$.

1. a) Berechne die Länge der Mantellinie.

1. b) Berechne das Volumen der Eiswaffel.

1. c) Berechne die Mantelfläche.

Zwei Orte $A$ und $B$ liegen an gegenüberliegenden Ufern eines Sees. Von einem Punkt $C$ aus misst man $|AC|=450\,\text{m}$, $|BC|=600\,\text{m}$ und den Winkel $\gamma=\angle ACB=70^\circ$.

1. a) Berechne die Entfernung $|AB|$.

1. b) Berechne den Winkel $\alpha$ bei $A$.

1. c) Erläutere, was sich aus dem Kosinussatz für $\gamma=90^\circ$ ergibt.

Ein Silo besteht aus einem Zylinder mit dem Radius $2\,\text{m}$ und der Höhe $6\,\text{m}$ und einem aufgesetzten Kegeldach mit der Höhe $1{,}5\,\text{m}$ und dem Radius $2\,\text{m}$.

1. a) Berechne das Gesamtvolumen des Silos.

1. b) Berechne die Länge der Mantellinie des Daches und die Dachfläche.

1. c) Das Silo soll außen (Zylindermantel und Dach) gestrichen werden. Ein Liter Farbe reicht für $8\,\text{m}^2$. Bestimme, wie viele volle Liter Farbe mindestens benötigt werden.

Köln liegt auf etwa $51^\circ$ nördlicher Breite. Die Erde wird als Kugel mit dem Radius $R=6\,371\,\text{km}$ angenommen.

1. a) Berechne den Radius $r$ des Breitenkreises durch Köln.

1. b) Berechne die Länge dieses Breitenkreises.

1. c) Ein Ort liegt auf demselben Breitenkreis $10^\circ$ weiter östlich. Berechne die Länge des Kreisbogens zwischen beiden Orten.

Eine zylinderförmige Dose enthält drei übereinander liegende Tennisbälle (Kugeln mit dem Radius $r=3{,}3\,\text{cm}$). Die Dose schließt die Bälle oben, unten und seitlich genau ein.

1. a) Berechne das Volumen der Dose.

1. b) Berechne das Gesamtvolumen der drei Bälle.

1. c) Zeige für einen beliebigen Radius $r$, dass die Bälle stets $\frac{2}{3}$ des Dosenvolumens ausfüllen.

1. d) Berechne das Volumen der Luft in der Dose.

Ein Dachbinder einer Zimmerei bildet ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $10\,\text{m}$ und den Basiswinkeln $35^\circ$.

1. a) Berechne die Höhe des Dachbinders.

1. b) Berechne die Länge eines Sparrens, also eines der beiden gleich langen Schenkel.

1. c) Das Dach ist $12\,\text{m}$ lang und besteht aus zwei rechteckigen Dachflächen. Berechne den Gesamtflächeninhalt beider Dachflächen.

1. d) Zeige mit dem Kosinussatz, dass die Basis mit dem Winkel an der Spitze $\gamma=110^\circ$ und der Sparrenlänge aus b) wieder etwa $10\,\text{m}$ ergibt.

Für eine Verpackung wird aus Papier ein Kreissektor mit dem Radius $12\,\text{cm}$ und dem Mittelpunktswinkel $150^\circ$ ausgeschnitten und zu einem Kegelmantel gerollt.

1. a) Berechne die Länge des Kreisbogens des Sektors.

1. b) Bestimme den Radius der Grundfläche des Kegels.

1. c) Berechne die Höhe des Kegels.

1. d) Berechne das Volumen des Kegels.