Aufgaben: Funktionen

In einem Labor in Wuppertal wird eine Bakterienkultur untersucht. Die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden wird durch $N(t)=500\cdot 1{,}2^t$ beschrieben.

1. a) Gib den Anfangsbestand, den Wachstumsfaktor und die Wachstumsrate an.

1. b) Berechne die Anzahl der Bakterien nach 5 Stunden.

1. c) Vervollständige die Wertetabelle.

$t$ in h	0	1	2	3
$N(t)$

Familie Schulte legt bei der Sparkasse $3\,000\,€$ zu einem Zinssatz von $2{,}5\,\%$ pro Jahr an. Die Zinsen werden jeweils mitverzinst.

1. a) Gib einen Funktionsterm $K(n)$ für das Kapital nach $n$ Jahren an.

1. b) Berechne das Kapital nach 10 Jahren.

1. c) Begründe, dass das Kapital nicht linear wächst.

Gegeben ist die Funktion $f(x)=2\cdot\sin(x)$ mit $x$ im Bogenmaß.

1. a) Gib Amplitude und Periode an.

1. b) Berechne $f(0)$, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$, $f(\pi)$ und $f\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.

1. c) Zeichne den Graphen von $f$ für $0\le x\le 2\pi$.

Ein Patient erhält ein Medikament. Zu Beginn befinden sich $80\,\text{mg}$ des Wirkstoffs im Blut. Pro Stunde nimmt die Wirkstoffmenge um $15\,\%$ ab.

1. a) Gib einen Funktionsterm $M(t)$ für die Wirkstoffmenge in mg nach $t$ Stunden an.

1. b) Berechne die Wirkstoffmenge nach 4 Stunden.

1. c) Bestimme, nach wie vielen Stunden die Wirkstoffmenge erstmals unter $20\,\text{mg}$ liegt.

Auf einem Baggersee bei Haltern breiten sich Algen aus. Zu Beobachtungsbeginn bedecken sie $12\,\text{m}^2$. Die bedeckte Fläche verdoppelt sich alle 4 Tage.

1. a) Zeige, dass $A(t)=12\cdot 2^{t/4}$ ($t$ in Tagen, $A$ in $\text{m}^2$) das Wachstum beschreibt.

1. b) Berechne die bedeckte Fläche nach 10 Tagen.

1. c) Bestimme, nach wie vielen Tagen die Fläche $500\,\text{m}^2$ beträgt.

Der Wasserstand in Cuxhaven schwankt periodisch um den mittleren Wasserstand. Die Abweichung wird näherungsweise durch $h(t)=1{,}5\cdot\sin\left(\frac{2\pi}{12{,}4}\cdot t\right)$ beschrieben ($t$ in Stunden, $h$ in Metern, Taschenrechner im Bogenmaß).

1. a) Gib Amplitude und Periode an und bestimme den Tidenhub, das ist der Höhenunterschied zwischen höchstem und niedrigstem Wasserstand.

1. b) Berechne die Abweichung $h(2)$.

1. c) Bestimme den Zeitpunkt nach $t=0$, zu dem der Wasserstand erstmals am höchsten ist.

Zwei Jugendliche vergleichen Sparpläne. Lena startet mit $10\,€$ und legt jeden Monat $5\,€$ dazu. Jonas startet mit $1\,€$ und verdoppelt seinen Betrag jeden Monat. Der Betrag nach $n$ Monaten sei $L(n)$ bzw. $J(n)$.

1. a) Gib passende Funktionsterme für $L(n)$ und $J(n)$ an.

1. b) Erstelle eine Wertetabelle für $n=0$ bis $n=6$.

1. c) Bestimme, ab welchem Monat Jonas mehr Geld hat als Lena.

1. d) Begründe, warum Jonas langfristig immer mehr Geld hat, und beurteile, ob ein solcher Plan realistisch ist.

Der Graph einer Funktion $f(x)=a\cdot q^x$ mit $a>0$ und $q>0$ verläuft durch die Punkte $P(1\,|\,6)$ und $Q(3\,|\,24)$.

1. a) Bestimme $a$ und $q$.

1. b) Berechne $f(6)$.

1. c) Bestimme $x$ so, dass $f(x)=1\,000$ gilt.

1. d) Begründe, dass der Graph von $f$ die $x$-Achse nicht schneidet.

Die Netzspannung einer Steckdose wird durch $U(t)=325\cdot\sin(100\pi\cdot t)$ beschrieben ($t$ in Sekunden, $U$ in Volt, Taschenrechner im Bogenmaß).

1. a) Bestimme Amplitude, Periode und Frequenz.

1. b) Berechne $U(0{,}005)$ und $U(0{,}003)$.

1. c) Zeige, dass der Quotient aus der Amplitude und $\sqrt{2}$ näherungsweise der bekannten Effektivspannung von $230\,\text{V}$ entspricht.

1. d) Erkläre, wie sich die Periode ändert, wenn im Term $100\pi$ durch $50\pi$ ersetzt wird.