Aufgaben: Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Anfangs sind $200 \text{ g}$ vorhanden. Berechne die Masse nach 8, 16 und 24 Tagen.

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich alle 3 Stunden. Zu Beginn sind es $500$ Bakterien. Wie viele sind es nach 3, 6, 9 und 12 Stunden?

Ein Kapital wächst jährlich um $100\,\%$, es verdoppelt sich also jedes Jahr. Gib einen Funktionsterm für das Kapital $K(t) = K_0 \cdot b^t$ an und berechne $K(5)$ für $K_0 = 100 \text{ €}$.

Der Stoff Jod-131 zerfällt pro Tag um $8,3\,\%$.

1. a) Gib die Zerfallsfunktion $N(t) = N_0 \cdot b^t$ an.

1. b) Bestimme die Halbwertszeit durch systematisches Probieren auf einen Tag genau.

Ein Guthaben wird mit $3\,\%$ pro Jahr verzinst.

1. a) Stelle die Funktion für das Guthaben bei einem Startkapital von $2.000 \text{ €}$ auf.

1. b) Bestimme mithilfe des Logarithmus die Verdopplungszeit auf zwei Nachkommastellen.

Eine Wasserpflanze in einem See bei Bonn vermehrt sich so, dass sich ihre Fläche in 5 Tagen verdoppelt. Zu Beginn bedeckt sie $4 \text{ m}^2$.

1. a) Gib den täglichen Wachstumsfaktor $b$ an (auf vier Nachkommastellen).

1. b) Nach wie vielen Tagen bedeckt sie $50 \text{ m}^2$?

Die Aktivität einer Probe sinkt in 12 Stunden von $640$ Bq auf $400$ Bq.

1. a) Bestimme den stündlichen Zerfallsfaktor und die Halbwertszeit.

1. b) Nach welcher Zeit beträgt die Aktivität nur noch $10\,\%$ des Anfangswerts?

1. c) Begründe, warum die Halbwertszeit unabhängig vom Anfangswert ist.

Der Weltbestand einer Tierart wächst jährlich um $2,4\,\%$. Eine zweite Art wächst jährlich um $3,1\,\%$. Zu Beginn sind beide Populationen gleich groß.

1. a) Berechne die Verdopplungszeit beider Populationen.

1. b) Nach wie vielen Jahren ist die zweite Population doppelt so groß wie die erste?

1. c) Begründe, warum die Ergebnisse aus a) und b) nicht vom Anfangswert abhängen.

Kohlenstoff-14 hat eine Halbwertszeit von $5\,730$ Jahren. In einem Holzfund aus dem Rheinland wurden noch $62\,\%$ des ursprünglichen C-14-Gehalts gemessen.

1. a) Bestimme die jährliche Zerfallsrate $p$ in Prozent.

1. b) Berechne das Alter des Fundes.

1. c) Erkläre, warum die Methode für Funde mit weniger als $1\,\%$ Restgehalt unzuverlässig ist.