Aufgaben: Steigungswinkel, Höhen und Entfernungen

In einem rechtwinkligen Dreieck $ABC$ mit dem rechten Winkel bei $C$ gilt $\alpha = 35^\circ$ und $c = 12 \text{ cm}$. Berechne die Länge der Kathete $a$ und die Länge der Kathete $b$. Runde auf eine Nachkommastelle.

Ein Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel. Es gilt $a = 7 \text{ cm}$ und $b = 10 \text{ cm}$. Berechne den Winkel $\alpha$ und den Winkel $\beta$. Runde auf eine Nachkommastelle.

Eine Straße in Winterberg steigt auf einer horizontalen Strecke von $200 \text{ m}$ um $24 \text{ m}$ an.

1. a) Berechne die Steigung in Prozent.

1. b) Berechne den Steigungswinkel.

Ein Schüler in Münster steht $30 \text{ m}$ vom Fuß des Doms entfernt. Er sieht die Turmspitze unter einem Höhenwinkel von $52^\circ$. Seine Augenhöhe beträgt $1,60 \text{ m}$.

1. a) Berechne die Höhe des Turms über dem Boden.

1. b) Wie ändert sich der Höhenwinkel, wenn er sich auf $50 \text{ m}$ Entfernung zurückzieht?

Eine Seilbahn in Willingen überwindet auf einer Länge von $1.250 \text{ m}$ (Seillänge) einen Höhenunterschied von $320 \text{ m}$.

1. a) Berechne den mittleren Steigungswinkel der Seilbahn.

1. b) Berechne die horizontale Entfernung zwischen Tal- und Bergstation.

1. c) Gib die Steigung in Prozent an.

Vom Rheinufer in Köln aus peilt man einen Punkt $B$ am gegenüberliegenden Ufer an. Am Ufer markiert man die Punkte $A$ und $C$ mit $|AC| = 80 \text{ m}$, wobei die Strecke $BC$ senkrecht zum Ufer verläuft. Der Winkel bei $A$ zwischen $AC$ und $AB$ beträgt $66^\circ$. Berechne die Breite des Flusses, also die Länge von $BC$, und die Entfernung $|AB|$.

Von zwei Punkten $A$ und $B$ auf einer waagerechten Straße, die $60 \text{ m}$ auseinanderliegen, wird die Spitze eines Funkturms $T$ angepeilt. $A$, $B$ und der Fußpunkt $F$ des Turms liegen auf einer Geraden, $B$ liegt zwischen $A$ und $F$. Der Höhenwinkel in $A$ beträgt $28^\circ$, in $B$ beträgt er $41^\circ$. Berechne die Höhe des Turms und die Entfernung $|BF|$.

Ein Wanderweg hat auf dem ersten Abschnitt eine Steigung von $12\,\%$ und auf dem zweiten Abschnitt einen Steigungswinkel von $9^\circ$. Der erste Abschnitt ist $1,5 \text{ km}$ lang (Weglänge), der zweite $2,0 \text{ km}$.

1. a) Berechne den Steigungswinkel des ersten Abschnitts.

1. b) Berechne den gesamten Höhenunterschied.

1. c) Beurteile, welcher Abschnitt steiler ist, und begründe deine Antwort rechnerisch.

Ein gleichschenkliges Dach hat eine Spannweite (Gebäudebreite) von $9,60 \text{ m}$ und einen Neigungswinkel von $38^\circ$. Das Haus ist $12 \text{ m}$ lang. Die Dachfläche soll mit Ziegeln gedeckt werden.

1. a) Berechne die Höhe des Dachfirsts über der Traufe.

1. b) Berechne die Länge eines Sparrens (Dachschräge) und die gesamte Dachfläche.

1. c) Der Neigungswinkel soll so geändert werden, dass die Firsthöhe $4,00 \text{ m}$ beträgt. Berechne den neuen Winkel.