Aufgaben: Kosinussatz

In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $b=5$ cm, $c=8$ cm und der eingeschlossene Winkel $A=60^\circ$ bekannt. Berechnen Sie die Länge der Seite $a$.

In einem Dreieck $ABC$ betragen die Seitenlängen $a=3$ cm, $b=5$ cm und $c=7$ cm. Berechnen Sie die Größe des Winkels $C$.

In einem Dreieck $ABC$ sind die Seiten $a=10$ cm und $b=12$ cm lang und der eingeschlossene Winkel beträgt $C=45^\circ$. Stellen Sie den Kosinussatz auf, um den exakten Wert der Seite $c$ zu berechnen.

Bestimmen Sie das Maß des Winkels $B$ in einem Dreieck mit den Seiten $a=7$ cm, $b=8$ cm und $c=9$ cm.

Ein Parallelogramm hat zwei benachbarte Seiten mit 4 cm und 6 cm Länge. Wenn der von ihnen eingeschlossene Winkel $120^\circ$ beträgt, berechnen Sie die Länge der längeren Diagonale.

Berechnen Sie die Entfernung zwischen zwei unzugänglichen Punkten $A$ und $B$, wenn von einem Beobachtungspunkt $C$ aus die Entfernungen $CA = 15$ m und $CB = 20$ m gemessen wurden und der Sehwinkel $ACB$ gleich $40^\circ$ ist.

In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ sind die Seiten $a$ und $b$ jeweils 6 cm lang und der Winkel an der Spitze ist $C=30^\circ$. Berechnen Sie den exakten Wert der Seite $c$ und lassen Sie das Ergebnis mit Wurzeln stehen.

Bestimmen Sie den größten Winkel eines Dreiecks mit den Seitenlängen 4 cm, 5 cm und 6 cm.

Lea muss die Entfernung zwischen zwei Bojen $B$ und $C$ berechnen. Sie kennt die Entfernungen von ihrem Beobachtungspunkt $A$ aus ($b = AC = 6\text{ m}$ und $c = AB = 10\text{ m}$) und den Winkel zwischen den Sichtlinien, $\widehat{A} = 120^\circ$. In ihrer Klausur schreibt sie die folgende Rechnung auf:

1. a) Begründen Sie geometrisch, ohne die numerischen Rechnungen zunächst nachzurechnen, warum Leas Ergebnis nicht stimmen kann, indem Sie die Figur mit einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $6\text{ m}$ und $10\text{ m}$ vergleichen.
2. b) Finden Sie den konkreten mathematischen Fehler von Lea, erklären Sie, welche Eigenschaft der trigonometrischen Verhältnisse sie nicht beachtet hat, und berechnen Sie den richtigen Wert der Seite $a$, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Zwei gerade Abschnitte eines ausgewiesenen Wanderwegs in der Region Cazorla sind $b = 7\text{ km}$ und $c = 8\text{ km}$ lang und gabeln sich unter einem Winkel $\widehat{A} = 58^\circ$. Die Parkverwaltung möchte einen geraden, direkten Weg anlegen, der die beiden freien Enden verbindet (Seite $a$).

1. a) Schätzen Sie vor jeder Rechnung mit dem Taschenrechner begründet ab, wie lang die Seite $a$ ungefähr sein wird, wenn man berücksichtigt, dass $58^\circ$ sehr nahe an $60^\circ$ liegt und die Seiten fast gleich lang sind ($7\text{ km}$ und $8\text{ km}$). Zwischen welchen beiden Extremwerten muss sie nach der Dreiecksungleichung zwingend liegen?
2. b) Wenden Sie den Kosinussatz mit $\cos(58^\circ) \approx 0,530$ an, um die exakte Länge von $a$ zu berechnen, und runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
3. c) Vergleichen Sie Ihre vorherige Schätzung mit dem erhaltenen Ergebnis und begründen Sie, ob der Wert physikalisch plausibel ist.

Zwei Flugzeuge starten gleichzeitig vom selben Flughafen. Flugzeug A fliegt mit $800$ km/h auf einem Kurs von $040^\circ$ und Flugzeug B fliegt mit $650$ km/h auf einem Kurs von $115^\circ$. Wie weit sind sie nach 1,5 Stunden Flug in Luftlinie voneinander entfernt?

Um die Entfernung über einen See zwischen den Punkten $A$ und $B$ zu messen, stellt sich ein Landvermesser im Punkt $C$ auf. Er misst die Entfernungen $CA = 125,5$ m und $CB = 180,2$ m sowie den Winkel $ACB = 75^\circ$. Berechnen Sie die Entfernung $AB$.

Zwei Kräfte von 45 N und 60 N greifen an demselben Massepunkt an und schließen einen Winkel von $50^\circ$ miteinander ein. Berechnen Sie den Betrag der resultierenden Kraft.

Die Diagonalen eines Parallelogramms sind 12 cm und 16 cm lang und schneiden sich unter einem Winkel von $65^\circ$. Berechnen Sie die Länge der vier Seiten des Parallelogramms.

Ein dreieckiger Dachbinder hat Seiten von 5 m, 7 m und 9 m. Berechnen Sie den Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt.

Auf einem Fußballplatz steht ein Spieler 25 m von einem Torpfosten und 28 m vom anderen Pfosten entfernt. Das Tor hat die vorgeschriebene Breite von 7,32 m. Unter welchem Winkel sieht der Spieler das Tor von einem Ende zum anderen?

Zwei Satelliten umkreisen die Erde. Von einer Bodenstation aus betragen die Luftlinienentfernungen zu den Satelliten 400 km und 600 km, und der Winkel zwischen den Sichtlinien beträgt $35^\circ$. Wie weit sind die Satelliten voneinander entfernt?

In einem Kreis mit dem Radius 10 cm gehört zu einer Sehne der Mittelpunktswinkel $100^\circ$. Berechnen Sie die Länge der Sehne mithilfe des Kosinussatzes in dem Dreieck, das von den Radien und der Sehne gebildet wird.

In einem Dreieck mit den bekannten Seiten $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ und $c = 9\text{ cm}$ sollen die Größen seiner drei Winkel bestimmt werden, indem Kosinussatz und Sinussatz kombiniert werden, um Rechenzeit zu sparen. Zwei Mitschüler schlagen unterschiedliche Strategien für den ersten Schritt vor:

• Marcos schlägt vor: „Berechnen wir zuerst den kleinsten Winkel $\widehat{A}$ mit dem Kosinussatz und bestimmen dann den größten Winkel $\widehat{C}$ mit dem Sinussatz."

• Sarah entgegnet: „Es ist viel sicherer, zuerst den größten Winkel $\widehat{C}$ mit dem Kosinussatz zu berechnen und daraus $\widehat{A}$ mit dem Sinussatz zu bestimmen."

1. a) Begründen Sie mathematisch, welche der beiden Methoden vorzuziehen ist, und erklären Sie, welches Risiko bzw. welche mathematische Mehrdeutigkeit die andere birgt, wenn man die Umkehrfunktion $\arcsin$ im Intervall $[0^\circ; 180^\circ]$ verwendet.
2. b) Bestimmen Sie nach der richtigen Strategie begründet, ob das Dreieck spitzwinklig oder stumpfwinklig ist, indem Sie nur das Vorzeichen von $\cos \widehat{C}$ untersuchen, und berechnen Sie die drei Winkel des Dreiecks, gerundet auf das nächste Grad.

Bei der Waldbrandüberwachung im Harz meldet ein Beobachtungsturm am Standort $P$ zwei Rauchsäulen an zwei voneinander aus nicht erreichbaren Punkten $F_1$ und $F_2$.

Mit dem Laser-Entfernungsmesser und dem Winkelmesser der Station werden folgende Werte ermittelt:

• Entfernung zur ersten Rauchsäule: $d(P, F_1) = 3,4\text{ km}$.

• Entfernung zur zweiten Rauchsäule: $d(P, F_2) = 5,2\text{ km}$.

• Horizontaler Winkel zwischen den beiden Visierlinien: $\widehat{F_1 P F_2} = 115^\circ$.

1. a) Modellieren Sie die Lage der drei Punkte durch ein Dreieck, benennen Sie die bekannten Größen und berechnen Sie den geradlinigen Abstand der beiden Brandherde (auf zwei Dezimalstellen gerundet).
2. b) Die per Hubschrauber eingeflogene Einsatzgruppe verfügt über einen Notfall-Schnellverlegeschlauch von $7\text{ km}$. Begründen Sie, ob diese Ausrüstung ausreichen würde, um die beiden Brandherde direkt zu verbinden, ohne den Beobachtungsposten $P$ zu passieren.

In einem Dreieck haben die Seiten die Längen $x$, $x+2$ und $x+4$. Der größte Winkel beträgt $120^\circ$. Stellen Sie die zugehörige Gleichung auf, bestimmen Sie den Wert von $x$ und die exakten Längen der drei Seiten.

Zeigen Sie algebraisch, dass in jedem Dreieck $ABC$ die folgende Beziehung gilt:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

In einem Dreieck $ABC$ sind die Seitenlängen $a=8$ cm, $b=10$ cm und $c=12$ cm. Berechnen Sie die exakte Länge der Seitenhalbierenden $m_a$ von der Ecke $A$ zum Mittelpunkt der Seite $a$.

Ein Sehnenviereck $ABCD$ hat die Seitenlängen $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm und $DA=6$ cm. Berücksichtigen Sie die Eigenschaften gegenüberliegender Winkel im Sehnenviereck, stellen Sie mithilfe des Kosinussatzes in den Dreiecken $ABC$ und $ADC$ ein Gleichungssystem auf und berechnen Sie die exakte Länge der Diagonalen $AC$.

Wenn in einem Dreieck $ABC$ die algebraische Beziehung $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$ gilt, bestimmen Sie das exakte Maß des Winkels $A$ ohne Taschenrechner.

Ein Dreieck hat eine feste Grundseite $c = 10$ cm und einen konstanten Umfang $p = 26$ cm. Der der Grundseite gegenüberliegende Winkel $C$ beträgt $60^\circ$. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die exakten Längen der beiden anderen Seiten $a$ und $b$.

Zwei Kreise mit den Radien 5 cm und 8 cm schneiden sich in zwei Punkten. Der Abstand ihrer Mittelpunkte beträgt 10 cm. Berechnen Sie die Länge der gemeinsamen Sehne beider Kreise. (Hinweis: Bestimmen Sie mit dem Kosinussatz einen Winkel im Dreieck aus den beiden Radien und der Verbindungsstrecke der Mittelpunkte und ermitteln Sie daraus die Höhe des Dreiecks.)

Berechnen Sie den spitzen Winkel, den zwei Raumdiagonalen eines Würfels einschließen. Drücken Sie dazu die Länge der Raumdiagonale durch die Kantenlänge $a$ aus und wenden Sie den Kosinussatz im Dreieck an, das von den Hälften zweier Raumdiagonalen und einer Würfelkante gebildet wird.

Für das Dach einer Industriehalle wird ein dreieckiger Stahlbinder geplant. Zwei der Tragstäbe haben die festen Längen $b = 5\text{ m}$ und $c = 8\text{ m}$.

1. a) Stellen Sie eine Ungleichung in Abhängigkeit von der Länge der dritten Seite $a$ auf, die sicherstellt, dass der von den beiden gegebenen Stäben eingeschlossene Winkel $\widehat{A}$ streng stumpf ist ($90^\circ < \widehat{A} < 180^\circ$). Bestimmen Sie das Intervall der möglichen reellen Werte für die Länge $a$.
2. b) Nehmen Sie nun an, dass die Vorgaben geändert werden: Der Stab $a = 7\text{ m}$ und der Winkel $\widehat{A} = 60^\circ$ sind fest, $c = 8\text{ m}$ bleibt erhalten, aber die Länge des Stabes $b$ ist die gesuchte Größe. Stellen Sie mit dem Kosinussatz die quadratische Gleichung auf, die $b$ erfüllen muss.
3. c) Lösen Sie die erhaltene Gleichung, prüfen Sie mithilfe der Dreiecksungleichung, ob die Lösungen geometrisch sinnvoll sind, und erklären Sie, warum dieser Fall bei gleichen Ausgangsdaten zwei verschiedene gültige Dreiecke liefert.

Beim Anlegemanöver im Außenhafen von Ferrol ziehen zwei Schlepper gleichzeitig an einem Frachtschiff mit koplanaren Kräften der festen Beträge $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ und $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. Die Schleppleinen schließen den Winkel $\alpha = 40^\circ$ ein.

1. a) Schätzen Sie begründet ab, zwischen welchen beiden Grenzwerten der Betrag der resultierenden Kraft $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ liegen muss, indem Sie die Grenzfälle betrachten, in denen die Leinen in gleicher bzw. entgegengesetzter Richtung ziehen.
2. b) Bei der Darstellung der Vektoraddition mit der Parallelogrammregel erhält man ein Dreieck, dessen anliegende Seiten $|\vec{F}_1|$ und $|\vec{F}_2|$ sind und dessen dritte Seite den resultierenden Vektor $\vec{R}$ darstellt. Begründen Sie geometrisch, warum der der Seite $\vec{R}$ gegenüberliegende Winkel in diesem Dreieck $180^\circ - \alpha = 140^\circ$ beträgt und nicht $40^\circ$.
3. c) Wenden Sie den Kosinussatz an, um den exakten Betrag der resultierenden Kraft $\vec{R}$ zu bestimmen (in $\text{kN}$, auf eine Dezimalstelle gerundet), und überprüfen Sie die Genauigkeit Ihrer Abschätzung.
4. d) Aus Gründen der Festigkeit des Schiffsrumpfes darf die resultierende Gesamtkraft $105\text{ kN}$ nicht überschreiten. Stellen Sie die zugehörige Ungleichung auf und bestimmen Sie den Mindestwinkel $\alpha$, den die Schleppleinen einschließen müssen, damit dieser Grenzwert nicht überschritten wird.