Aufgaben: Winkelmaße: Grad- und Bogenmaß

Geben Sie die folgenden Winkel, die im Gradmaß angegeben sind, im Bogenmaß als vollständig gekürzte Brüche von $\pi$ an: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ und $330^\circ$.

Rechnen Sie die folgenden im Bogenmaß angegebenen Winkel ins Gradmaß um: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ und $\frac{11\pi}{3}$.

Reduzieren Sie die folgenden Winkel auf die erste Umdrehung (bestimmen Sie also den äquivalenten Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$) und geben Sie an, in welchem Quadranten der Endschenkel jeweils liegt: $1250^\circ$ und $2460^\circ$.

Bestimmen Sie für die folgenden negativen Winkel den äquivalenten positiven Winkel in der ersten Umdrehung (zwischen $0$ und $2\pi$ rad): $-\frac{\pi}{4}$ und $-\frac{13\pi}{6}$.

Berechnen Sie den Mittelpunktswinkel, der zu einem Kreisbogen der Länge $12$ cm gehört, wenn der Radius des Kreises $4$ cm beträgt. Geben Sie das Ergebnis sowohl im Bogenmaß als auch im Gradmaß an.

Bestimmen Sie die Länge des Bogens, den das untere Ende eines Pendels der Länge $60$ cm beschreibt, wenn es um einen Winkel von $\frac{\pi}{8}$ Radiant ausschwingt.

Berechnen Sie die Summe der Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks und geben Sie die Größe jedes Innenwinkels im Bogenmaß als Bruch von $\pi$ an.

Ein Winkel misst genau $3$ Radiant. Begründen Sie ohne Taschenrechner, ob dieser Winkel größer, kleiner oder gleich einem gestreckten Winkel ($180^\circ$) ist, und bestimmen Sie, in welchem Quadranten er liegt.

Lea soll den Flächeninhalt eines Beetes in Form eines Kreissektors berechnen, dessen Radius $6\text{ m}$ beträgt und dessen Mittelpunktswinkel $45^\circ$ ist. Zur Lösung wendet sie direkt die Formel $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ an und schreibt in ihrer Klassenarbeit:

Als er das Ergebnis sieht, weist der Lehrer sie darauf hin, ihre Rechnung zu überprüfen, denn die gesamte Kreisfläche mit Radius $6\text{ m}$ hat nur etwa $113,1\text{ m}^2$ Flächeninhalt. Erkennen und erklären Sie ausführlich den Denkfehler von Lea, begründen Sie, warum die verwendete Formel voraussetzt, dass der Winkel im Bogenmaß angegeben wird, und berechnen Sie die richtige Lösung sowohl exakt (in Abhängigkeit von $\pi$) als auch auf zwei Nachkommastellen gerundet.

Auf einer kreisförmigen Trainingsbahn mit dem Radius $50\text{ m}$ läuft ein Athlet einen Bogen, der zu einem Mittelpunktswinkel von $2,4\text{ rad}$ gehört.

1. a) Schätzen Sie vor dem Rechnen: Ein Radiant ist der Mittelpunktswinkel, dessen Bogen genau so lang ist wie der Radius. Begründen Sie ohne Taschenrechner, ob die vom Athleten zurückgelegte Strecke $100\text{ m}$ überschreitet und ob sie größer oder kleiner als $150\text{ m}$ ist.
2. b) Verwenden Sie, dass $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (fast $60^\circ$) gilt, und schätzen Sie im Kopf den ungefähren Wert des Winkels im Gradmaß.
3. c) Berechnen Sie nun genau die Länge des zurückgelegten Bogens und den exakten Wert des Winkels im Gradmaß (auf zwei Nachkommastellen gerundet). Vergleichen Sie die Ergebnisse mit Ihren Schätzungen und beurteilen Sie begründet, ob Ihre erste Näherung zutreffend war.

Eine Schallplatte dreht sich auf einem Plattenspieler mit $33$ Umdrehungen pro Minute (U/min). Berechnen Sie ihre Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde und bestimmen Sie den Winkel im Bogenmaß, den ein Punkt am Rand in $2,5$ Sekunden überstreicht.

Auf einer kreisförmigen Laufbahn läuft ein Läufer auf der Innenbahn im Abstand von $50$ Metern vom Mittelpunkt. Legt er eine Strecke von $120$ Metern zurück, berechnen Sie den Winkel, den er bezüglich des Mittelpunkts der Bahn im Bogenmaß überstrichen hat. Geben Sie dieses Ergebnis auch in Grad, Minuten und Sekunden an.

Berechnen Sie den kleineren Winkel, im Gradmaß und im Bogenmaß, den die Zeiger einer analogen Uhr (Stunden- und Minutenzeiger) genau um 16:20 Uhr einschließen.

Zwei Städte, A und B, liegen auf demselben Längenkreis der Erde. Die Breite von Stadt A beträgt $41^\circ$ Nord und die Breite von Stadt B $28^\circ$ Süd. Nehmen Sie an, die Erde sei eine perfekte Kugel mit einem mittleren Radius von $6371$ km, und berechnen Sie die kürzeste Entfernung auf der Erdoberfläche zwischen beiden Städten.

Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von $40$ Metern und $24$ gleichmäßig am äußeren Rand verteilte Gondeln. Berechnen Sie die Länge des Bogens des Riesenrads zwischen zwei benachbarten Gondeln und den Winkel im Bogenmaß, den sie bezüglich der Mittelachse einschließen.

Das Getriebe einer Industriemaschine besteht aus zwei Riemenscheiben, die durch einen gespannten Riemen verbunden sind. Die Antriebsscheibe hat einen Radius von $15$ cm und die getriebene Scheibe einen Radius von $45$ cm. Dreht sich die Antriebsscheibe um einen Winkel von $\frac{7\pi}{2}$ Radiant, berechnen Sie, um wie viele Radiant sich die getriebene Scheibe dreht und wie viele vollständige Umdrehungen sie macht.

Ein landwirtschaftlicher Bewässerungsregner deckt einen Kreissektor ab. Der Wasserstrahl reicht maximal $18$ Meter weit und der Regnerkopf überstreicht einen Winkel von $140^\circ$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des gesamten bewässerten Geländes und die Länge des äußeren Bogens, den das Wasser beschreibt.

Die drei Winkel eines Dreiecks bilden eine arithmetische Folge. Der größte Winkel misst $80^\circ$. Bestimmen Sie die Größe der drei Winkel im Bogenmaß (als Brüche von $\pi$).

Zur Bewässerung einer Rasenfläche in einem öffentlichen Park wird ein oszillierender Regner mit einer Reichweite von $8\text{ m}$ verwendet, der einen Winkel von $135^\circ$ überstreicht. Zwei Techniker berechnen die bewässerte Fläche auf unterschiedlichen Wegen:

• Methode A (Markus): Er stellt einen direkten Ansatz mit Proportionalität in der klassischen Geometrie im Gradmaß auf: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Methode B (Sarah): Sie rechnet den Winkel zuerst ins Bogenmaß um, als vollständig gekürzten Bruch von $\pi$, und wendet dann den Ausdruck $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ an.

1. a) Führen Sie beide Verfahren Schritt für Schritt aus und prüfen Sie, ob beide Techniker genau dasselbe Zahlenergebnis erhalten.
2. b) Untersuchen Sie die Vor- und Nachteile beider Methoden. Welche der beiden ist direkter und stimmiger, wenn anschließend die Bahngeschwindigkeit des Wassers am Strahlende berechnet werden soll und bekannt ist, dass der Regner diesen Schwenk in $3\text{ s}$ ausführt? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der Beziehung $v = \omega\cdot r$.

Es soll ein Kinderspielbereich in Form eines Kreissektors gebaut werden, der vollständig umzäunt wird (die beiden geraden Ränder entlang der Radien und der gekrümmte Rand des Bogens), wobei genau $36\text{ m}$ Metallzaun verwendet werden.

1. a) Stellen Sie den Flächeninhalt $A$ des Kreissektors ausschließlich in Abhängigkeit vom Radius $r$ dar, indem Sie den Winkel $\theta$ (im Bogenmaß) mithilfe der Bedingung für den Gesamtumfang des Zauns eliminieren.
2. b) Wird der Radius des Bereichs auf $r = 9\text{ m}$ festgelegt, bestimmen Sie den Mittelpunktswinkel $\theta$ des Sektors (im Bogenmaß und im Gradmaß). Welchen exakten Bruchteil der gesamten Kreisfläche stellt dieser Bereich dar?
3. c) Lösen Sie die Umkehraufgabe: Muss der Mittelpunktswinkel zwingend $\theta = 2\text{ rad}$ betragen, wie groß muss dann der Radius sein, damit genau die $36\text{ m}$ Zaun verbraucht werden? Zeigen Sie, dass bei diesem Mittelpunktswinkel die Länge des gekrümmten Bogens stets gleich der Summe der beiden geraden Radien ist, unabhängig von der verfügbaren Gesamtlänge des Zauns.

Ein Leuchtturm sendet einen Lichtstrahl aus, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit von $4$ Umdrehungen pro Minute dreht. Der Strahl beleuchtet die Meeresoberfläche bis zu einer maximalen Entfernung von $5$ km. Aufgrund der Küstenform gibt es landeinwärts einen toten Sektor von $\frac{2\pi}{5}$ Radiant, in dem das Licht nicht sichtbar ist. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Meeres, den der Leuchtturm bei jeder vollen Umdrehung beleuchtet, und die genaue Zeit in Sekunden, die der Lichtstrahl braucht, um den sichtbaren Bereich zu überstreichen.

Bestimmen Sie die genaue Uhrzeit zwischen 7:00 Uhr und 8:00 Uhr, zu der sich die Zeiger einer analogen Uhr (Stunden- und Minutenzeiger) exakt überdecken. Geben Sie außerdem den gesamten Winkel, den der Stundenzeiger von 7:00 Uhr bis zu diesem Zeitpunkt überstreicht, im Bogenmaß an.

Der Radius der Räder eines Autos beträgt $32$ cm. Fährt das Fahrzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit von $90$ km/h, berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Räder in Radiant pro Sekunde. Bestimmen Sie anschließend den Gesamtwinkel, den ein Rad auf einer Fahrt von $15$ Minuten durchläuft, und rechnen Sie ihn in die Anzahl vollständiger Umdrehungen um.

Ein Zahnradgetriebe besteht aus drei hintereinander angeordneten Zahnrädern A, B und C, sodass A in B und B in C eingreift. Die Teilkreisradien der Räder betragen $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm und $R_C = 20$ cm. Dreht sich Rad A um einen Winkel von $150^\circ$ im Uhrzeigersinn, bestimmen Sie den Drehwinkel von Rad C im Bogenmaß und geben Sie seinen Drehsinn an.

Beim historischen Experiment des Eratosthenes wurde beobachtet, dass in der Stadt Syene die Sonnenstrahlen am Mittag der Sommersonnenwende senkrecht auf den Boden fielen (Winkel $0^\circ$). Zur gleichen Zeit bildeten die Strahlen in Alexandria, das etwa $800$ km nördlich auf demselben Längenkreis liegt, einen Winkel von $\frac{\pi}{25}$ Radiant mit der Senkrechten. Leiten Sie allein aus diesen Daten den Erdradius und die Länge des Erdumfangs entlang des Längenkreises her.

Eine zylindrische Walze mit einem Radius von $25$ cm wird zum Verdichten des Asphalts einer Straße verwendet. Beim Schieben bewegt sich die Walze geradlinig vorwärts, rollt dabei ohne zu rutschen und macht genau $14,5$ vollständige Umdrehungen. Berechnen Sie die horizontale Strecke, die die Walzenachse in Metern zurücklegt, und den Gesamtwinkel, den ein beliebiger Punkt ihrer Oberfläche überstreicht, im Gradmaß.

Gegeben ist ein Kreissektor mit dem Radius $R$ und dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ (im Bogenmaß). Es soll ein neuer Kreissektor entworfen werden, dessen Flächeninhalt genau dem des ursprünglichen Sektors entspricht. Muss der Radius des neuen Sektors aus konstruktiven Gründen das Dreifache des ursprünglichen betragen ($3R$), bestimmen Sie algebraisch, welchen Bruchteil des Winkels $\alpha$ der neue Sektor haben muss.

Ein Pendel der Länge $L = 1$ Meter schwingt auf Kreisbögen; jede Schwingung ist der Weg von einem Umkehrpunkt zum gegenüberliegenden. Bei der ersten Schwingung beträgt der maximale Winkel mit der Senkrechten $\frac{\pi}{6}$ Radiant. Aufgrund der Reibung verringert sich der maximal erreichte Winkel bei jeder weiteren Schwingung um $10\%$ gegenüber der unmittelbar vorhergehenden. Berechnen Sie mithilfe der Summe der entsprechenden unendlichen geometrischen Reihe die gesamte Strecke, die die Pendelmasse bis zum völligen Stillstand zurücklegt.

In einem Windpark im Kreis Höxter hat eine Windkraftanlage mit drei Rotorblättern einen Rotor, dessen Radius (Länge jedes Blattes) $65\text{ m}$ beträgt. Der Rotor dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit von $14\text{ rpm}$ (Umdrehungen pro Minute).

1. a) Modellieren Sie die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ des Rotors und geben Sie sie in $\text{rad/s}$ an (sowohl als exakten Bruch in Vielfachen von $\pi$ als auch als Dezimalwert mit drei gültigen Ziffern).
2. b) Bestimmen Sie die Bahngeschwindigkeit $v$, mit der sich die äußere Spitze jedes Blattes bewegt, in $\text{m/s}$ und rechnen Sie sie in $\text{km/h}$ um. Vergleichen Sie dieses Ergebnis begründet mit der auf einer deutschen Autobahn erlaubten Höchstgeschwindigkeit ($120\text{ km/h}$) und deuten Sie die mechanischen Belastungen, denen die Blattspitzen im Vergleich zu den achsennahen Bereichen ausgesetzt sind.
3. c) Ein Wartungstechniker bringt an einer Stelle zwischen Achse und Blattspitze einen Schwingungssensor an. Registriert der Sensor eine Bahngeschwindigkeit von genau $50\text{ km/h}$, berechnen Sie, in welchem Abstand von der Drehachse er angebracht ist, und bestimmen Sie die Gesamtlänge des Bogens (in Kilometern), den dieser Sensor nach einem ununterbrochenen Betrieb von $8\text{ Stunden}$ zurückgelegt hat.

Bei einer flachen Etappe der Deutschland Tour fährt ein Radrennfahrer ein Rennrad, dessen Hinterrad einen gesamten Außenradius von $35\text{ cm}$ hat (einschließlich Reifen). Der Antrieb besteht aus einem Kettenblatt mit dem Radius $r_1 = 10,5\text{ cm}$ und einem hinteren Ritzel mit dem Radius $r_2 = 4,2\text{ cm}$, die durch eine gespannte, undehnbare und nicht rutschende Kette verbunden sind.

1. a) Leiten Sie algebraisch die Beziehung zwischen der Winkelgeschwindigkeit des Kettenblatts $\omega_{\text{Kettenblatt}}$ und der Winkelgeschwindigkeit des Hinterrads $\omega_{\text{Rad}}$ her, indem Sie ausnutzen, dass die Kette den Rändern beider Zahnräder dieselbe Bahngeschwindigkeit überträgt ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Begründen Sie, ob diese Übersetzung die Winkelgeschwindigkeit oder die Kraft des Radfahrers vervielfacht.
2. b) Das Fahrrad rollt mit einer konstanten Vorwärtsgeschwindigkeit von $42\text{ km/h}$ über den Asphalt. Berechnen Sie durch einen umgekehrten Ansatz die Winkelgeschwindigkeit des Hinterrads in $\text{rad/s}$ und die Trittfrequenz des Radfahrers in Umdrehungen pro Minute (U/min).
3. c) Legt der Radfahrer eine gerade Strecke von $2,1\text{ km}$ zurück, berechnen Sie den insgesamt vom Hinterrad überstrichenen Winkel im Bogenmaß und den insgesamt von der Tretkurbelachse überstrichenen Winkel im Bogenmaß. Zeigen Sie, dass der Quotient beider Winkel mit dem in Teilaufgabe a) hergeleiteten Übersetzungsverhältnis übereinstimmt.