Aufgaben: Stochastische Unabhängigkeit

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments. Bekannt sind $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Bestimme rechnerisch, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

In einem Zufallsexperiment sind die Ereignisse $C$ und $D$ stochastisch unabhängig. Wenn $P(C) = 0,6$ und $P(D) = 0,3$ gilt, berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zugleich eintreten, also $P(C \cap D)$.

Die Ereignisse $E$ und $F$ sind stochastisch unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit ihres Schnitts beträgt $P(E \cap F) = 0,15$ und es gilt $P(E) = 0,3$. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $F$.

Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $G$ gleich $P(G) = 0,7$ ist und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $H$, wenn $G$ eingetreten ist, gleich $P(H|G) = 0,4$ ist. Wenn $G$ und $H$ stochastisch unabhängig sind, welchen Wert hat $P(H)$?

Eine faire Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf „Kopf“ und im zweiten „Zahl“ zu erhalten, unter der Annahme, dass die Würfe stochastisch unabhängig sind.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten wird eine Karte gezogen, ihre Farbe notiert, sie wird zurück in den Stapel gelegt, gemischt und eine zweite Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Karten der Farbe „Münzen“ (Oros) angehören.

Betrachte das folgende Baumdiagramm, das zwei unabhängige Experimente modelliert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in der ersten Stufe das Ereignis $\overline{A}$ und in der zweiten Stufe das Ereignis $B$ eintritt.

Zwei Ereignisse $M$ und $N$ sind unvereinbar (schließen sich gegenseitig aus) und haben beide eine Wahrscheinlichkeit größer als null. Können sie stochastisch unabhängig sein? Begründe deine Antwort mithilfe der mathematischen Definition der stochastischen Unabhängigkeit.

Markus wiederholt Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Klassenarbeit und stößt auf zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0$. In sein Heft schreibt er: „Da die Wahrscheinlichkeit des Schnitts null ist, haben die beiden Ereignisse nichts miteinander zu tun und sind daher stochastisch unabhängig.“ Erkläre ausführlich, worin Markus' Denkfehler besteht, weise rechnerisch nach, ob diese Ereignisse stochastisch unabhängig sind oder nicht, indem du $P(A) \cdot P(B)$ berechnest, und formuliere die allgemeine Regel zum Zusammenhang zwischen unvereinbaren Ereignissen mit positiven Wahrscheinlichkeiten und stochastischer Unabhängigkeit.

Ein Radfahrer fährt täglich eine Straße entlang, auf der er zwei Ampeln passieren muss, deren Schaltzyklen völlig unabhängig voneinander geregelt sind. Die Wahrscheinlichkeit, die erste Ampel grün anzutreffen, beträgt $P(S_1) = 0,7$, die, die zweite grün anzutreffen, beträgt $P(S_2) = 0,6$.

1. a) Schätze vor jeder Rechnung begründet: Wird die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine der beiden Ampeln bei Grün zu passieren ($P(S_1 \cup S_2)$), größer als $0,7$, kleiner als $0,6$ oder zwischen $0,6$ und $0,7$ liegen? Warum?
2. b) Verwende die Formel für die Vereinigung stochastisch unabhängiger Ereignisse, um den genauen Wert von $P(S_1 \cup S_2)$ zu berechnen, und überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung richtig war. Deute das Ergebnis.

Bei einem Bogenschießwettbewerb trifft die Schützin Alpha mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,8$ das Zentrum der Zielscheibe, der Schütze Beta mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,7$. Beide schießen völlig unabhängig voneinander einen Pfeil ab. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide das Zentrum der Zielscheibe treffen.

Zwei Maschinen, $M_1$ und $M_2$, füllen in einer Fabrik Milchprodukte ab und arbeiten unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit, dass Maschine $M_1$ an einem Produktionstag ausfällt, beträgt $0,05$, die von Maschine $M_2$ beträgt $0,08$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag mindestens eine der beiden Maschinen ausfällt.

In einer Küstenstadt beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Samstag regnet, $40\%$, und die Wahrscheinlichkeit, dass es an einem Sonntag regnet, $30\%$. Das Wetter am Sonntag sei unabhängig vom Wetter am Samstag. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es am Wochenende regnet (d. h. es regnet am Samstag, am Sonntag oder an beiden Tagen).

In einer statistischen Studie zu Lesegewohnheiten wurden $200$ Personen befragt. Die Ergebnisse zeigen, dass $120$ regelmäßig lesen und $80$ nicht. Außerdem haben $90$ der Befragten einen Hochschulabschluss, von denen $54$ regelmäßig lesen. Überprüfe rechnerisch, ob die Ereignisse „regelmäßig lesen“ und „einen Hochschulabschluss haben“ in dieser Stichprobe stochastisch unabhängig sind.

Gegeben sind zwei Urnen mit der in der Abbildung gezeigten Zusammensetzung. Aus Urne $A$ wird zufällig eine Kugel gezogen und unabhängig davon eine weitere Kugel aus Urne $B$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben.

Seien $A$ und $B$ zwei stochastisch unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung $P(A \cup B) = 0,88$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit von $A$ gleich $P(A) = 0,6$ ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

In einem Krankenhaus wird ein Patient zwei unabhängigen diagnostischen Tests auf eine Atemwegsallergie unterzogen. Test $X$ liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,15$ ein falsch negatives Ergebnis (er erkennt die Allergie nicht, obwohl der Patient sie hat). Test $Y$ liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,10$ ein falsch negatives Ergebnis. Der untersuchte Patient ist tatsächlich allergisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beiden Tests seine Allergie erkennt?

Ein Schüler schreibt eine Klausur im Multiple-Choice-Format. Die Wahrscheinlichkeit, dass er die richtige Antwort auf eine Geschichtsfrage weiß, beträgt $0,7$, und die Wahrscheinlichkeit, dass er die Antwort auf eine Erdkundefrage weiß, beträgt $0,8$. Es wird ihm je eine Frage aus jedem Fach gestellt, und sein Wissen in beiden Fächern ist unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau eine der beiden Fragen beantworten kann?

In einem Haus wird ein redundantes Sicherheitssystem mit zwei unabhängigen Sensoren $A$ und $B$ installiert. Der Hersteller garantiert, dass Sensor $A$ einen Einbrecher mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(A) = 0,8$ erkennt. Die Sicherheitsvorschrift verlangt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Alarm (d. h. dass mindestens einer der beiden Sensoren auslöst, $P(A \cup B)$) genau $0,96$ beträgt. Beide Geräte arbeiten unabhängig voneinander. Stelle die passende Gleichung anhand der Formel für die Vereinigung auf und bestimme, welche Erkennungswahrscheinlichkeit $P(B)$ Sensor $B$ mindestens haben muss, um diese Vorschrift zu erfüllen.

Aus den historischen Aufzeichnungen einer Wetterstation in Norddeutschland, die der Deutsche Wetterdienst im Herbst gesammelt hat, schätzt man, dass an einem beliebigen Tag die Wahrscheinlichkeit für Regen $P(L) = 0,60$ und die Wahrscheinlichkeit für starke Windböen $P(V) = 0,40$ beträgt. Außerdem zeigen die Daten, dass es an $30\,\%$ der Tage gleichzeitig regnet und stark windet ($P(L \cap V) = 0,30$).

1. a) Bestimme mithilfe der mathematischen Definition, ob die Ereignisse „Regen“ und „starker Wind“ in dieser Region stochastisch unabhängig sind.
2. b) Ein Nachbar behauptet: „Da Herbststürme Wind und Regen gemeinsam bringen, können beide Phänomene nicht unabhängig sein.“ Erkläre, ob das Ergebnis aus Teilaufgabe a) die Behauptung des Nachbarn stützt, indem du die tatsächliche Überschneidung mit der vergleichst, die bei Unabhängigkeit zu erwarten wäre.

Eine hochmoderne Banksicherheitsanlage besteht aus drei Bewegungsmeldern, die völlig unabhängig voneinander arbeiten. Die Wahrscheinlichkeiten, dass der jeweilige Melder einen Eindringling im Tresorraum erkennt, betragen $0,90$, $0,85$ bzw. $0,95$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Anlage einen Eindringling erkennt (d. h. mindestens ein Melder löst aus).

Gegeben sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ derselben Ergebnismenge mit $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ und $P(A \cup B) = 0,8$. Zeige rechnerisch, dass die Ereignisse $A$ und $B$ nicht stochastisch unabhängig sind, und berechne anschließend die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$.

Eine elektronische Schaltung für einen Kommunikationssatelliten besteht aus drei Bauteilen $A$, $B$ und $C$, die wie im Diagramm angeordnet sind. Die Schaltung funktioniert, wenn Bauteil $A$ funktioniert UND zusätzlich mindestens eines der Bauteile $B$ oder $C$ funktioniert. Die drei Bauteile fallen unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ und $P(F_C) = 0,1$ aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Schaltung insgesamt funktioniert.

In einer Sprachschule werden Kurse in Französisch und Deutsch angeboten. $60\%$ der Schüler lernen Französisch. Die Ereignisse „Französisch lernen“ und „Deutsch lernen“ sind stochastisch unabhängig. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler keine der beiden Sprachen lernt, $12\%$ beträgt, bestimme, wie viel Prozent der Schüler der Sprachschule Deutsch lernen.

Eine Schachtel enthält $3$ grüne Spielsteine (V) und $2$ orangefarbene Spielsteine (N). Es werden nacheinander zwei Steine gezogen. Analysiere die Baumdiagramme zum Experiment mit Zurücklegen (Bild A) und ohne Zurücklegen (Bild B). Berechne in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug einen grünen Stein zu ziehen, und erkläre rechnerisch, in welchem der beiden Fälle das Ergebnis des zweiten Zuges unabhängig vom Ergebnis des ersten Zuges ist.

Zeige rechnerisch: Wenn zwei Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind, dann sind auch ihre Gegenereignisse $\overline{A}$ und $\overline{B}$ stochastisch unabhängig. Verwende dazu die algebraischen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit und die Definition der stochastischen Unabhängigkeit.

Bei einer mendelschen Kreuzung werden die Samenfarbe (Gelb dominant, Grün rezessiv) und die Samenform (glatt dominant, runzelig rezessiv) völlig unabhängig voneinander vererbt. Werden zwei für beide Merkmale heterozygote Pflanzen gekreuzt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass für ein einzelnes Gen von jedem Elternteil das rezessive Allel vererbt wird, $0,5$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Nachkommenpflanze gleichzeitig grüne und runzelige Samen hat.

Zwei Freundinnen, Hannah und Daniela, würfeln in einem Spiel abwechselnd mit einem fairen sechsseitigen Würfel. Die Partie gewinnt die Spielerin, die als Erste eine $6$ würfelt. Hannah beginnt, und die Würfe sind unabhängig. Berechne die genaue Wahrscheinlichkeit, dass Hannah im ersten oder im zweiten Wurf gewinnt.

Die IT-Abteilung eines Kultusministeriums verfügt über 4 identische, voneinander unabhängige Ersatzserver, um die Online-Anmeldungen zu verwalten. Am Anmeldetag beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Server wegen Überlastung ausfällt, $p = 0,15$. Das Gesamtsystem bleibt erreichbar, solange „mindestens einer der vier Server in Betrieb ist“.

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass das System erreichbar bleibt, schlagen zwei Techniker unterschiedliche Methoden vor:

• Belén schlägt vor, die Wahrscheinlichkeiten, dass genau 1, genau 2, genau 3 und alle 4 Server funktionieren, getrennt zu berechnen und zu addieren.

• Karl schlägt vor, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle 4 Server gleichzeitig ausfallen, und diesen Wert von $1$ abzuziehen.

1. a) Vergleiche beide Methoden und begründe, welche hier vorteilhafter ist und warum.
2. b) Wende die effizientere Strategie an, um die genaue Wahrscheinlichkeit (auf vier Dezimalstellen) zu berechnen, dass das System nicht ausfällt.

In einem Pharmalabor werden zwei unabhängige Analysetests $T_1$ und $T_2$ zum Nachweis einer chemischen Verbindung in einer Probe untersucht. Test $T_1$ hat eine Nachweiswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ ($P(T_1) = 0,7$), während Test $T_2$ eine unbekannte Wahrscheinlichkeit $p = P(T_2)$ hat.

Der Forscher Ben behauptet in seinem vorläufigen Bericht: „Damit die Wahrscheinlichkeit, die Verbindung mit mindestens einem der beiden Tests nachzuweisen, $95\,\%$ beträgt, genügt es, dass $T_2$ eine Nachweiswahrscheinlichkeit von $0,25$ hat, denn $0,70 + 0,25 = 0,95$.“

1. a) Finde und begründe den Denkfehler, den Ben macht, indem er die Unabhängigkeit der Tests ignoriert.
2. b) Stelle die korrekte Gleichung unter der Bedingung der Unabhängigkeit auf und bestimme den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit $p = P(T_2)$, die tatsächlich nötig ist, um diese kombinierte Wirksamkeit von $95\,\%$ zu erreichen.
3. c) Der Hersteller von Test $T_2$ vertreibt nur eine Standardversion mit $P(T_2) = 0,80$. Berechne die tatsächlich maximal erreichbare kombinierte Nachweiswahrscheinlichkeit ($P(T_1 \cup T_2)$), wenn beide Analysen gleichzeitig verwendet werden.