Aufgaben: Baumdiagramme

Eine Kiste enthält $4$ rote und $6$ blaue Kugeln. Es wird zufällig eine Kugel gezogen, ihre Farbe notiert, die Kugel zurückgelegt und eine zweite Kugel gezogen. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

In einer Cafeteria werden zwei Menüs angeboten: $60\,\%$ der Kunden wählen das Tagesmenü und $40\,\%$ wählen das vegetarische Menü. Von denen, die das Tagesmenü wählen, bestellen $70\,\%$ Kaffee zum Nachtisch. Von denen, die das vegetarische Menü wählen, bestellen $80\,\%$ Tee. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kunde das Tagesmenü gewählt und außerdem Kaffee bestellt hat.

Vervollständige das folgende Baumdiagramm, das das zweimalige Werfen einer unfairen Münze darstellt, wobei die Wahrscheinlichkeit für Kopf $\frac{1}{3}$ beträgt. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, zuerst Kopf und dann Zahl zu erhalten.

In einem Schrank liegen $5$ weiße und $3$ schwarze T-Shirts. Es werden zufällig zwei T-Shirts nacheinander gezogen, ohne das erste zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide T-Shirts weiß sind.

Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und ziehen anschließend eine Karte aus einem Kartenspiel mit $40$ Karten. Fällt beim Würfel eine gerade Zahl, gewinnen wir, wenn wir einen König ziehen. Fällt beim Würfel eine ungerade Zahl, gewinnen wir, wenn wir ein Ass ziehen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfel eine gerade Zahl fällt und wir außerdem gewinnen.

Auf dem Weg zur Arbeit kann Yasmin mit dem Bus (mit der Wahrscheinlichkeit $0,7$) oder mit dem Fahrrad (mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$) fahren. Fährt sie mit dem Bus, beträgt die Wahrscheinlichkeit, zu spät zu kommen, $0,2$. Fährt sie mit dem Fahrrad, beträgt die Wahrscheinlichkeit, zu spät zu kommen, $0,05$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Yasmin mit dem Fahrrad fährt und pünktlich ankommt?

In einer Urne liegen $2$ grüne und $3$ gelbe Kugeln. Wir ziehen eine Kugel, sehen sie an und legen sie beiseite. Dann ziehen wir eine weitere Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste grün und die zweite gelb ist?

Ein Basketballspieler trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit $0,8$. Er wirft zwei Freiwürfe unabhängig voneinander. Zeichne das Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er beide Würfe verfehlt.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

In einem Beutel liegen $3$ schwarze und $2$ weiße Spielsteine. Es werden nacheinander zwei Steine ohne Zurücklegen gezogen. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der zweite Stein weiß ist, zeichnet Lukas ein Baumdiagramm. In der zweiten Stufe sieht er zwei Pfade, die bei „weiß“ enden: einen mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ (wenn der erste weiß war) und einen mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{4}$ (wenn der erste schwarz war). Lukas folgert: „Da beide Äste bei weiß enden, beträgt die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der zweite Stein weiß ist, $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$.“\na) Erkläre ausführlich den Denkfehler, den Lukas macht, wenn er diese beiden Äste der zweiten Stufe direkt addiert.\nb) Korrigiere seine Rechnung, indem du die Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Pfade des Baumdiagramms richtig verwendest, und vergleiche das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug weiß zu ziehen. Welche Schlussfolgerung ziehst du?

Beim Design eines Abenteuer-Videospiels kann eine Truhe eine Falle haben (mit der Wahrscheinlichkeit $0,3$) oder eine Belohnung enthalten (mit der Wahrscheinlichkeit $0,7$). Hat sie eine Falle, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Held sie erfolgreich entschärft, $0,2$. Enthält sie eine Belohnung, kann diese unversehrt oder durch die Zeit beschädigt sein.\nUm den Schwierigkeitsgrad auszubalancieren, benötigt der Entwickler, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Spieler „eine unversehrte Belohnung erhält oder die Falle erfolgreich entschärft“, genau $0,62$ beträgt.\na) Zeichne das Baumdiagramm der Situation, kennzeichne die Stufen und Äste und bezeichne mit $p$ die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass „die Belohnung unversehrt ist, wenn es keine Falle gab“.\nb) Stelle eine Gleichung anhand der Äste des Baumdiagramms auf und löse sie, um den genauen Wert von $p$ zu bestimmen.

In einer Fabrik für elektronische Bauteile stellen drei Maschinen (A, B und C) jeweils $50\,\%$, $30\,\%$ und $20\,\%$ der Teile her. Die Anteile fehlerhafter Teile der einzelnen Maschinen betragen $2\,\%$, $4\,\%$ und $5\,\%$. Berechne mithilfe des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil fehlerhaft ist.

Bei einem Tennisspiel gewinnt ein Spieler den Punkt mit der Wahrscheinlichkeit $0,7$, wenn sein erster Aufschlag im Feld landet (Wahrscheinlichkeit $0,6$). Misslingt der erste Aufschlag, schlägt er ein zweites Mal auf, das mit der Wahrscheinlichkeit $0,8$ im Feld landet. Landet der zweite Aufschlag im Feld, gewinnt er den Punkt mit der Wahrscheinlichkeit $0,5$. Misslingt auch der zweite Aufschlag, begeht er einen Doppelfehler und verliert den Punkt automatisch. Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Spieler den Punkt bei diesem Aufschlag gewinnt.

Wir haben zwei Urnen. Urne A enthält $3$ rote und $2$ schwarze Kugeln. Urne B enthält $4$ rote und $5$ schwarze Kugeln. Wir werfen eine Münze: Bei Kopf ziehen wir eine Kugel aus Urne A, bei Zahl eine Kugel aus Urne B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel rot ist?

Ein Schüler muss am selben Tag zwei Prüfungen ablegen. Die Wahrscheinlichkeit, die erste zu bestehen, beträgt $0,6$. Besteht er die erste, ist er motiviert und die Wahrscheinlichkeit, die zweite zu bestehen, steigt auf $0,8$. Besteht er die erste jedoch nicht, ist er entmutigt und die Wahrscheinlichkeit, die zweite zu bestehen, sinkt auf $0,3$. Zeichne das Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eine der beiden Prüfungen besteht.

Du kannst die Aufgabe auf Papier lösen und ein Foto deiner Antwort einsenden.

Bei einem Diagnosetest auf eine Allergie hat $5\,\%$ der Bevölkerung tatsächlich die Allergie. Hat eine Person die Allergie, fällt der Test in $90\,\%$ der Fälle positiv aus. Hat sie die Allergie nicht, fällt der Test in $95\,\%$ der Fälle negativ aus. Zeichne ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung der Situation und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person ein positives Testergebnis erhält.

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Ein Beutel enthält $5$ weiße und $4$ schwarze Kugeln. Es werden nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, bis eine schwarze Kugel erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Züge nötig sind, bis das Spiel endet?

Das Wetter in einer Küstenstadt folgt einem merkwürdigen Muster: Ist ein Tag sonnig, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Tag regnet, $0,2$. Regnet es an einem Tag, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass es am nächsten Tag weiterregnet, $0,6$. Heute ist Montag und es ist sonnig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es am Mittwoch regnet? Zeichne das zugehörige Baumdiagramm für Dienstag und Mittwoch.

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Gegeben ist ein spanisches Kartenspiel mit $40$ Karten. Es werden nacheinander drei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Karten zur selben Farbe gehören (Münzen, Kelche, Schwerter oder Stäbe).

Nach den Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes regnet es in einem Ort im Norden im November an $10\,\%$ der Tage. Die Daten des städtischen Verkehrsunternehmens zeigen: Bei Regen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buslinie eine deutliche Verspätung hat, $0,40$; bei Trockenheit sinkt diese Wahrscheinlichkeit auf $0,05$.\na) Schätze, bevor du etwas berechnest, intuitiv: Wenn die Linie an einem beliebigen Novembertag eine deutliche Verspätung hat, ist es dann wahrscheinlicher, dass es geregnet hat, oder dass es nicht geregnet hat? Begründe deine Intuition kurz, indem du das Gewicht jeder Tagesart berücksichtigst.\nb) Modelliere die Situation mit einem Baumdiagramm und berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der Bus an einem Novembertag eine deutliche Verspätung hat.\nc) Berechne mit dem Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit, dass es geregnet hat, wenn der Bus verspätet angekommen ist. Überprüfe, ob deine anfängliche Schätzung aus Teilaufgabe a) richtig war oder ob du dem „Basisratenfehler“ aufgesessen bist.

Nach Daten des Straßenverkehrsamts zur praktischen Fahrprüfung bestehen in einem bestimmten Kreis $45\,\%$ der Bewerber im ersten Anlauf. Wer durchfällt, tritt nach zusätzlichen Übungsstunden zu einer zweiten Prüfung an; im zweiten Anlauf bestehen $60\,\%$ von ihnen. Wer auch die zweite Prüfung nicht besteht, macht in diesem Jahr nicht weiter.\na) Modelliere den gesamten Ablauf mit einem Baumdiagramm und gib an jedem Knoten und Ast die Ereignisse („besteht im 1. Versuch“, „fällt im 1. Versuch durch“, „besteht im 2. Versuch“, „fällt im 2. Versuch durch“) und ihre Wahrscheinlichkeiten an.\nb) Wie viel Prozent aller Bewerber erhalten den Führerschein in höchstens zwei Prüfungen?\nc) Wir wählen zufällig eine Person aus, die in diesem Verfahren den Führerschein erhalten hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihn im ersten Anlauf erhalten hat? Interpretiere, was dieser Wert für die Verwaltung der Wartelisten der Fahrschule bedeutet.

Gegeben sind zwei Kisten. Kiste 1 enthält $4$ blaue und $2$ rote Spielsteine. Kiste 2 enthält $3$ blaue und $5$ rote Spielsteine. Aus Kiste 1 wird zufällig ein Stein gezogen und in Kiste 2 gelegt. Anschließend wird ein Stein aus Kiste 2 gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der aus Kiste 2 gezogene Stein blau ist.

In einer Urne liegen $x$ weiße und $4$ schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, beträgt $\frac{1}{3}$. Stelle mithilfe eines Baumdiagramms die zugehörige Gleichung auf und bestimme die ursprüngliche Anzahl weißer Kugeln $x$.

Zwei E-Sport-Teams, Alpha und Beta, spielen das Finale eines Turniers im Modus „Best of three“ (wer zuerst zwei Spiele gewinnt, ist Meister). Alpha ist das bessere Team, daher beträgt seine Wahrscheinlichkeit, ein beliebiges Spiel zu gewinnen, $0,6$. Die Spiele können nicht unentschieden enden. Zeichne das Baumdiagramm der möglichen Verläufe des Finales und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Team Beta das Turnier gewinnt.

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Die Alarmanlage eines Tresorraums hat 3 Bewegungssensoren. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sensor A bei einem Einbruch versagt, beträgt $0,1$; die, dass Sensor B versagt, $0,05$; und die, dass Sensor C versagt, $0,2$. Die Sensoren arbeiten völlig unabhängig voneinander. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem tatsächlichen Einbruch mindestens ein Sensor anspringt und der Alarm ertönt.

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In einer Stadt sind $20\,\%$ der Autofahrer jung (unter 25 Jahren) und $80\,\%$ erwachsen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein junger Fahrer in einem Jahr einen Unfall hat, beträgt $0,15$, bei einem Erwachsenen $0,05$. Es wird zufällig ein Fahrer ausgewählt, und er hatte in diesem Jahr einen Unfall. Berechne mithilfe der Äste eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fahrer jung ist. (Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.)

In einem Brettspiel muss ein Spieler einen Graben überqueren, indem er über drei aufeinanderfolgende Plattformen springt. Die Wahrscheinlichkeit, auf der ersten Plattform auszurutschen, beträgt $\frac{1}{10}$. Schafft er die erste, beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf der zweiten auszurutschen, $\frac{1}{5}$. Schafft er die zweite, beträgt die Wahrscheinlichkeit, auf der dritten auszurutschen, $\frac{1}{4}$. Rutscht er auf irgendeiner Plattform aus, fällt er in den Graben und verliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler den Graben erfolgreich überquert? Wenn wir wissen, dass der Spieler in den Graben gefallen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau auf der zweiten Plattform gefallen ist?

Eine Urne enthält $5$ Kugeln, nummeriert von $1$ bis $5$. Es werden nacheinander Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, bis die Summe der gezogenen Zahlen größer oder gleich $6$ ist. Zeichne das Baumdiagramm mit allen möglichen Pfaden, wenn beim ersten Zug die Kugel mit der Nummer $2$ gezogen wurde. Berechne mithilfe deines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel genau beim dritten Zug endet.

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Bei einem Wettkampf hat ein Bogenschütze höchstens drei Pfeile, um die Scheibe zu treffen. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Pfeil zu treffen, beträgt $0,4$. Verfehlt er, justiert er sein Visier und die Wahrscheinlichkeit, mit dem zweiten zu treffen, beträgt $0,6$. Verfehlt er erneut, wird er nervös und die Wahrscheinlichkeit, mit dem dritten zu treffen, beträgt $0,3$. Der Schütze hört auf zu schießen, sobald er trifft. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze mehr als einen Schuss benötigt, wenn man weiß, dass er schließlich die Scheibe getroffen hat.

In einer Urne liegen $5$ rote und $3$ weiße Kugeln. Es werden nacheinander $3$ Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weiße Kugel zu erhalten.\nDrei Schüler schlagen unterschiedliche Strategien mit Baumdiagrammen vor:\n- Elias schlägt vor, das vollständige Baumdiagramm der drei Züge zu zeichnen ($2^3 = 8$ Endpfade), alle Pfade mit einer, zwei oder drei weißen Kugeln zu bestimmen und ihre Wahrscheinlichkeiten zu addieren.\n- Beatrice schlägt vor, das Gegenereignis („keine weiße“, also dreimal hintereinander rot) über einen einzigen Pfad des Baumdiagramms zu berechnen und seine Wahrscheinlichkeit von $1$ abzuziehen.\n- Karl schlägt ein „gestutztes Baumdiagramm“ vor: Wird im ersten oder zweiten Zug weiß gezogen, beendet er diesen Ast (es ist bereits ein Erfolg) und verzweigt nur weiter, wenn rot gezogen wird.\na) Entwickle und berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem Verfahren von Beatrice und dem von Karl und überprüfe, dass beide genau auf denselben vollständig gekürzten Bruch führen.\nb) Vergleiche die drei Verfahren sorgfältig: Gib an, wie viele Pfade und Multiplikationen jedes erfordert, und begründe, warum das Verfahren von Elias das am wenigsten effiziente und am anfälligsten für Rechenfehler ist.\nc) Wenn in der Aufgabe „genau zwei weiße Kugeln“ verlangt wären, wäre das Gegenereignis-Verfahren von Beatrice dann noch vorteilhaft? Begründe, welches Verfahren in diesem Fall optimal wäre.

Ein Sicherheitsfilter prüft die eingehenden E-Mails einer Bank. Bekannt ist, dass $10\,\%$ der empfangenen E-Mails betrügerisch (Phishing) und $90\,\%$ legitim sind. Das Erkennungssystem stuft $95\,\%$ der Phishing-E-Mails korrekt als Bedrohung ein. Bei legitimen E-Mails ist es jedoch nicht fehlerfrei: Es gibt eine unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ für einen „falschen Alarm“ (eine legitime E-Mail, die der Filter fälschlicherweise als Bedrohung markiert).\nUm das IT-Sicherheitsteam nicht mit Fehlalarmen zu überlasten, verlangt die Leitung, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die E-Mail tatsächlich Phishing ist, bei einem Alarm des Filters mindestens $90\,\%$ beträgt.\na) Modelliere das Problem mit einem Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeit $p$ am Ast der Fehlalarme ein.\nb) Gib den Term in Abhängigkeit von $p$ für die Wahrscheinlichkeit an, dass eine E-Mail Phishing ist, wenn der Filter Alarm ausgelöst hat.\nc) Stelle eine Ungleichung auf und löse sie, um den größten zulässigen Wert von $p$ zu bestimmen. Erkläre, warum die Rate falscher Alarme $p$ außerordentlich niedrig gehalten werden muss, obwohl der Filter $95\,\%$ des Phishings erkennt.

Herausforderung des Themas. Sagt das Wetter von gestern das von heute voraus? Du überprüfst anhand echter Daten, ob der Regen an deinem Wohnort abhängige oder unabhängige Ereignisse darstellt.

1. Datenerhebung: Rufe die Website des Deutschen Wetterdienstes auf und erfasse in einer Tabellenkalkulation den täglichen Niederschlag deiner Gemeinde in den letzten $30$ Tagen. Definiere das einfache Ereignis $L$: „Regentag“ ($>0,1$ mm).

2. Auswertung: Berechne die Wahrscheinlichkeit von $L$ und von seinem Gegenereignis. Zähle Paare aufeinanderfolgender Tage, um die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P(L_2|L_1)$ und $P(L_2|\overline{L}_1)$ zu berechnen. Vergleiche die Werte mit $P(L)$ anhand der Unabhängigkeitsbedingung $P(L_2|L_1)=P(L)$ und begründe, ob deine Stichprobe auf abhängige oder unabhängige Ereignisse hindeutet (es ist nur eine vorläufige Schätzung: Es sind nur $30$ Tage; gibt es keinen einzigen Regentag oder keinen einzigen Tag ohne Regen, verlängere den Zeitraum).

3. Modellierung: Erstelle ein Baumdiagramm mit diesen Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeit des zusammengesetzten Ereignisses „An diesem Wochenende regnet es an zwei Tagen hintereinander“.

4. Produkt: Verfasse einen kurzen einseitigen Bericht mit der verlinkten Tabellenkalkulation, dem gelösten Baumdiagramm und einem begründeten Fazit zur Verlässlichkeit der Wettervorhersage mit diesem Modell.

Bewertet werden:

• Richtige Berechnung einfacher und bedingter Wahrscheinlichkeiten anhand echter Daten des Deutschen Wetterdienstes.

• Mathematisch begründete Argumentation zur in der Stichprobe beobachteten Abhängigkeit oder Unabhängigkeit unter Berücksichtigung ihres vorläufigen Charakters.

• Angemessene Erstellung des Baumdiagramms und Lösung des zusammengesetzten Ereignisses.

• Klarheit der Darstellung sowie korrekte Verwendung der Tabellenkalkulation und der stochastischen Notation.