Variables cinemàtiques vectorials

Un dron de repartiment es troba en el punt de coordenades $(4, 3)$ d'un mapa, amb les distàncies en metres. La figura mostra el punt i el seu vector de posició.

1. a) Escriu el seu vector de posició $\vec{r}$ en funció dels vectors unitaris $\vec{i}$ i $\vec{j}$.
2. b) Calcula el mòdul de $\vec{r}$ i explica què representa físicament.

Un atleta fa exactament una volta a una pista i torna al punt de sortida després de recórrer $400\ \text{m}$.

1. a) Quant val el seu desplaçament?
2. b) Quant val la distància que ha recorregut?
3. c) Explica amb les teves paraules la diferència entre la distància recorreguda i el desplaçament.

Un robot d'un magatzem automatitzat passa de la posició $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posició $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, amb les posicions en metres. La figura representa ambdues posicions i el desplaçament entre elles.

1. a) Calcula el vector desplaçament $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcula el seu mòdul.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa i torna al local pel mateix camí.

1. a) Quant val el seu desplaçament total?
2. b) Quant val la seva velocitat mitjana en tot el trajecte?
3. c) És zero també la seva rapidesa mitjana? Raona la resposta i explica la diferència entre velocitat mitjana i rapidesa mitjana.

Un senderista surt del refugi i es desplaça $1,2\ \text{km}$ cap a l'est i després $1,6\ \text{km}$ cap al nord, en un temps total de $0,5\ \text{h}$. L'esquema mostra el recorregut del senderista.

1. a) Calcula el mòdul del seu desplaçament total.
2. b) Escriu la seva velocitat mitjana vectorial en $\text{km/h}$ i calcula el seu mòdul.
3. c) Calcula l'angle que forma el seu desplaçament amb la direcció est.

Una patinadora es mou en línia recta i es desplaça $20\ \text{m}$ en la direcció de l'eix $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escriu el seu vector desplaçament en funció del vector unitari $\vec{i}$.
2. b) Calcula la seva velocitat mitjana $\vec{v}_m$ com a vector, recordant que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplaçament d'un corredor d'orientació entre dues balises és $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metres, i el completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana vectorial.
2. b) Calcula el mòdul d'aquesta velocitat mitjana.

Un robot de neteja d'un centre comercial està a la posició $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ quan $t = 0$ i a la posició $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ quan $t = 2\ \text{s}$, amb les posicions en metres.

1. a) Calcula el vector desplaçament i el seu mòdul.
2. b) Calcula la velocitat mitjana vectorial i el seu mòdul.

Una motocicleta en línia recta passa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Els vectors velocitat inicial i final es mostren a la figura.

1. a) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcula la seva acceleració mitjana $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explica què significa el resultat: quant varia la seva velocitat cada segon?

Un avió en maniobres passa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambdós vectors velocitat.

1. a) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcula l'acceleració mitjana vectorial i el seu mòdul.

Un cotxe entra en una rotonda amb velocitat $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ i en surt amb $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ després de $3\ \text{s}$. La figura mostra la trajectòria a la rotonda i ambdós vectors velocitat.

1. a) Comprova que el mòdul de la velocitat no ha canviat.
2. b) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v}$ i el seu mòdul.
3. c) Calcula l'acceleració mitjana vectorial i el seu mòdul.
4. d) Explica per què hi ha acceleració si la rapidesa s'ha mantingut constant.

La posició d'un carret de laboratori ve donada, en unitats del Sistema Internacional, per $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Quina és la seva posició inicial?
2. b) Calcula la seva posició quan $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Raona per què la trajectòria és una recta horitzontal: fixa't en què passa amb la coordenada $y$.

La posició d'una llanxa teledirigida en un estany és, en unitats del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trajectòria i ambdues posicions es mostren a la figura.

1. a) Calcula les posicions en els instants $t_1 = 1\ \text{s}$ i $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplaçament entre aquests instants i el seu mòdul.
3. c) Calcula la velocitat mitjana en aquest interval i el seu mòdul.

Una partícula es mou segons $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Escriu les equacions paramètriques $x(t)$ i $y(t)$.
2. b) Elimina el temps i obtén l'equació de la trajectòria $y(x)$. Quin tipus de corba és?
3. c) Comprova si la partícula passa pel punt $(6, 9)$, en metres, i, en cas afirmatiu, indica en quin instant ho fa.