Exercicis: Variables cinemàtiques: posició, velocitat i acceleració vectorials

Un dron de repartiment es troba en el punt de coordenades $(4, 3)$ d'un mapa, amb les distàncies en metres. La figura mostra el punt i el seu vector de posició.

1. a) Escriu el seu vector de posició $\vec{r}$ en funció dels vectors unitaris $\vec{i}$ i $\vec{j}$.
2. b) Calcula el mòdul de $\vec{r}$ i explica què representa físicament.

Un robot d'un magatzem automatitzat passa de la posició $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ a la posició $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, amb les posicions en metres. La figura representa ambdues posicions i el desplaçament entre elles.

1. a) Calcula el vector desplaçament $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcula el seu mòdul.

Un atleta fa exactament una volta a una pista i torna al punt de sortida després de recórrer $400\ \text{m}$.

1. a) Quant val el seu desplaçament?
2. b) Quant val la distància que ha recorregut?
3. c) Explica amb les teves paraules la diferència entre la distància recorreguda i el desplaçament.

Una patinadora es mou en línia recta i es desplaça $20\ \text{m}$ en la direcció de l'eix $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Escriu el seu vector desplaçament en funció del vector unitari $\vec{i}$.
2. b) Calcula la seva velocitat mitjana $\vec{v}_m$ com a vector, recordant que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

El desplaçament d'un corredor d'orientació entre dues balises és $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en metres, i el completa en $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana vectorial.
2. b) Calcula el mòdul d'aquesta velocitat mitjana.

Un repartidor en bicicleta va del local a una casa i torna al local pel mateix camí.

1. a) Quant val el seu desplaçament total?
2. b) Quant val la seva velocitat mitjana en tot el trajecte?
3. c) És zero també la seva rapidesa mitjana? Raona la resposta i explica la diferència entre velocitat mitjana i rapidesa mitjana.

La posició d'un carret de laboratori ve donada, en unitats del Sistema Internacional, per $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Quina és la seva posició inicial?
2. b) Calcula la seva posició quan $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Raona per què la trajectòria és una recta horitzontal: fixa't en què passa amb la coordenada $y$.

Una motocicleta en línia recta passa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Els vectors velocitat inicial i final es mostren a la figura.

1. a) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcula la seva acceleració mitjana $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explica què significa el resultat: quant varia la seva velocitat cada segon?

Un robot de neteja d'un centre comercial està a la posició $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ quan $t = 0$ i a la posició $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ quan $t = 2\ \text{s}$, amb les posicions en metres.

1. a) Calcula el vector desplaçament i el seu mòdul.
2. b) Calcula la velocitat mitjana vectorial i el seu mòdul.

Una estació meteorològica mesura la velocitat del vent com a $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, on l'eix $x$ apunta a l'est i l'eix $y$ al nord. La figura mostra el vector velocitat del vent i les seves components.

1. a) Calcula el mòdul de la velocitat del vent.
2. b) Calcula l'angle que forma amb el semieix $x$ positiu i descriu amb paraules cap a on bufa el vent.

La posició d'una llanxa teledirigida en un estany és, en unitats del Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trajectòria i ambdues posicions es mostren a la figura.

1. a) Calcula les posicions en els instants $t_1 = 1\ \text{s}$ i $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplaçament entre aquests instants i el seu mòdul.
3. c) Calcula la velocitat mitjana en aquest interval i el seu mòdul.

Un ferri surt del port A, situat en el punt $(2, 3)$, i arriba al port B, en el punt $(14, 15)$, amb les coordenades en quilòmetres. La travessia dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calcula el vector desplaçament.
2. b) Calcula la velocitat mitjana vectorial en $\text{km/h}$ i el seu mòdul.
3. c) Expressa el mòdul de la velocitat mitjana en $\text{m/s}$, amb un decimal.

Un avió en maniobres passa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figura representa ambdós vectors velocitat.

1. a) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcula l'acceleració mitjana vectorial i el seu mòdul.

Un patinet elèctric de lloguer surt de l'origen i la seva posició, en unitats del Sistema Internacional, és $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcula la seva posició quan $t = 10\ \text{s}$.
2. b) En quin instant passa per un punt amb coordenada $x = 90\ \text{m}$? Quina és la seva posició completa en aquell moment?
3. c) Obtén l'equació de la trajectòria $y(x)$ eliminant el temps i raona quin tipus de corba és.

Un senderista surt del refugi i es desplaça $1,2\ \text{km}$ cap a l'est i després $1,6\ \text{km}$ cap al nord, en un temps total de $0,5\ \text{h}$. L'esquema mostra el recorregut del senderista.

1. a) Calcula el mòdul del seu desplaçament total.
2. b) Escriu la seva velocitat mitjana vectorial en $\text{km/h}$ i calcula el seu mòdul.
3. c) Calcula l'angle que forma el seu desplaçament amb la direcció est.

Un sensor d'un laboratori enregistra que un carret està en el punt $(2, 5)$ quan $t_1 = 1\ \text{s}$ i en el punt $(14, 17)$ quan $t_2 = 5\ \text{s}$, amb les posicions en metres.

1. a) Calcula el desplaçament del carret i l'interval de temps transcorregut.
2. b) Calcula la velocitat mitjana vectorial i el seu mòdul.
3. c) Quin angle forma la velocitat mitjana amb l'eix $x$? Justifica-ho a partir de les components.

La posició d'una partícula, en unitats del Sistema Internacional, és $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcula les posicions a $t = 0$ i a $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcula el desplaçament en aquest interval i el seu mòdul.
3. c) Calcula la velocitat mitjana vectorial en aquest interval i el seu mòdul.
4. d) La trajectòria entre ambdós punts és corba: raona si la rapidesa mitjana en aquest interval pot coincidir amb el mòdul de la velocitat mitjana.

Una partícula es mou segons $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Escriu les equacions paramètriques $x(t)$ i $y(t)$.
2. b) Elimina el temps i obtén l'equació de la trajectòria $y(x)$. Quin tipus de corba és?
3. c) Comprova si la partícula passa pel punt $(6, 9)$, en metres, i, en cas afirmatiu, indica en quin instant ho fa.

La posició d'un vaixell, en unitats del Sistema Internacional, és $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Quina és la seva posició inicial?
2. b) Obtén l'equació de la trajectòria $y(x)$ i classifica-la.
3. c) Comprova si passa pel punt $(8, 8)$, en metres, i indica en quin instant.
4. d) Calcula la distància del vaixell a l'origen en aquest instant.

Un cotxe entra en una rotonda amb velocitat $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ i en surt amb $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ després de $3\ \text{s}$. La figura mostra la trajectòria a la rotonda i ambdós vectors velocitat.

1. a) Comprova que el mòdul de la velocitat no ha canviat.
2. b) Calcula l'increment de velocitat $\Delta\vec{v}$ i el seu mòdul.
3. c) Calcula l'acceleració mitjana vectorial i el seu mòdul.
4. d) Explica per què hi ha acceleració si la rapidesa s'ha mantingut constant.

Una persona camina $30\ \text{m}$ cap a l'est en $10\ \text{s}$ i després $40\ \text{m}$ cap al nord en uns altres $10\ \text{s}$.

1. a) Calcula la distància total recorreguda i la rapidesa mitjana.
2. b) Calcula el desplaçament total, el seu mòdul i el mòdul de la velocitat mitjana.
3. c) Compara els resultats dels dos apartats i enuncia la relació general que tenen la rapidesa mitjana i el mòdul de la velocitat mitjana, indicant quan coincideixen.

Un robot tallagespa es mou per un jardí segons $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Calcula la seva posició inicial.
2. b) Determina l'instant en què creua la bisectriu del primer quadrant, és a dir, quan les seves coordenades $x$ i $y$ coincideixen, i la posició en aquell moment.
3. c) Calcula la seva distància a l'origen en aquest instant.
4. d) Calcula la velocitat mitjana entre $t = 0$ i aquest instant.

Dos drons de vigilància es mouen, en unitats del Sistema Internacional, segons $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ i $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Les trajectòries de tots dos drons es mostren a la figura.

1. a) Escriu les equacions $x(t)$ i $y(t)$ de cada dron.
2. b) Determina l'instant i la posició en què es troben.
3. c) Calcula la distància del punt de trobada a l'origen.
4. d) Raona si les trajectòries de tots dos drons es podrien creuar en algun altre punt diferent.

Un carret sobre un carril es mou segons $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, en unitats del Sistema Internacional. La gràfica $x$-$t$ del carret, amb dues d'aquestes secants i la recta tangent a $t = 1\ \text{s}$, es mostra a la figura.

1. a) Calcula la seva velocitat mitjana entre $t = 1\ \text{s}$ i $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Repeteix el càlcul per als intervals $[1, 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ i $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Observa la successió de valors obtinguts, prediu el valor de la velocitat instantània a $t = 1\ \text{s}$ i justifica el raonament que et porta a aquest valor.