Ja saps escriure la posició, la velocitat i l'acceleració com a vectors. Aquest apartat aplica aquestes eines als moviments més habituals: els que van en línia recta (amb acceleració o sense) i els que descriuen una circumferència a ritme constant. Són els maons amb què, en l'apartat següent, es construeixen moviments més complexos com el tir parabòlic.
Imagina un tren d'alta velocitat que recorre trams iguals cada segon davant d'un cotxe que arrenca en un semàfor guanyant rapidesa de manera constant: com podem expressar matemàticament aquestes dues maneres d'avançar en línia recta fent servir vectors?
Mou els lliscadors de $x_0$, $v$ (velocitat inicial) i $a$. Amb $a=0$ recuperes el MRU de 4t d'ESO: una recta en la gràfica $x(t)$. Amb $a \neq 0$, la gràfica $x(t)$ es corba i $v(t)$ deixa de ser horitzontal: les dues equacions són les mateixes de sempre, només que ara $x_0$, $v_0$ i $a$ són les components dels vectors $\vec{r}_0$, $\vec{v}_0$ i $\vec{a}$ sobre l'eix de la trajectòria.
Practica★☆☆Sense començar
Un tren de rodalies circula en línia recta amb velocitat constant $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Quan $t = 0$ passa per la posició $x_0 = 100\ \text{m}$. a) Escriu…
Un tren de rodalies circula en línia recta amb velocitat constant $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Quan $t = 0$ passa per la posició $x_0 = 100\ \text{m}$.
a) Escriu l'equació de la seva posició $x(t)$.
b) Calcula la seva posició quan $t = 8\ \text{s}$.
Un ciclista es mou en línia recta amb MRUA, amb $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ i $a = 1\ \text{m/s}^2$. a) Escriu la seva equació de posició $x(t)$. b) Calcula la seva…
Un ciclista es mou en línia recta amb MRUA, amb $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ i $a = 1\ \text{m/s}^2$.
a) Escriu la seva equació de posició $x(t)$.
b) Calcula la seva posició quan $t = 6\ \text{s}$ utilitzant $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
Un autobús que circula a $72\ \text{km/h}$ frena uniformement amb $a = -2\ \text{m/s}^2$ fins a aturar-se. a) Expressa la seva velocitat inicial en $\text{m/s}$. b)…
Un autobús que circula a $72\ \text{km/h}$ frena uniformement amb $a = -2\ \text{m/s}^2$ fins a aturar-se.
a) Expressa la seva velocitat inicial en $\text{m/s}$.
b) Calcula el temps que triga a parar.
c) Calcula la distància que recorre durant la frenada.
Si llences una pilota verticalment cap amunt, veus que perd rapidesa fins a aturar-se a l'aire i després cau de tornada cada cop més de pressa: com descriu una mateixa equació tant la pujada com la baixada sota l'acció invisible de la gravetat?
Practica★☆☆Sense començar
Es deixa caure una moneda des de dalt d'una torre de $20\ \text{m}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula el temps que triga a arribar a terra. b) Calcula la…
Es deixa caure una moneda des de dalt d'una torre de $20\ \text{m}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
Des d'un pont de $15\ \text{m}$ d'alçària es llança una pedra verticalment cap avall amb $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema: a)…
Des d'un pont de $15\ \text{m}$ d'alçària es llança una pedra verticalment cap avall amb $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema:
a) Planteja l'equació de posició prenent la superfície de l'aigua com a origen i calcula el temps que triga a arribar a l'aigua.
Un malabarista llança una bola verticalment cap amunt amb $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema del llançament: a) Calcula el…
Un malabarista llança una bola verticalment cap amunt amb $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema del llançament:
a) Calcula el temps que triga a assolir l'alçària màxima.
b) Calcula aquesta alçària màxima.
c) Quant de temps passa fins que la bola torna a la seva mà i amb quina velocitat hi arriba? Justifica-ho per la simetria del moviment.
Moviment circular uniforme: període, freqüència i velocitats
Practica★☆☆Sense començar
Les aspes d'un ventilador de sostre triguen $0,5\ \text{s}$ a fer una volta completa. a) Quant valen el període $T$ i la freqüència $f$ del gir? b) Calcula la velocitat…
Les aspes d'un ventilador de sostre triguen $0,5\ \text{s}$ a fer una volta completa.
a) Quant valen el període $T$ i la freqüència $f$ del gir?
b) Calcula la velocitat angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$, en $\text{rad/s}$, i aproxima-la amb un decimal.
Una sènia gira amb velocitat angular constant $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ i el seu radi és $r = 10\ \text{m}$. L'esquema mostra una cistella a la vora i una altra més a…
Una sènia gira amb velocitat angular constant $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ i el seu radi és $r = 10\ \text{m}$. L'esquema mostra una cistella a la vora i una altra més a prop de l'eix.
a) Calcula la velocitat lineal $v = \omega \cdot r$ d'una cistella situada a la vora.
b) Explica per què una cistella situada més a prop de l'eix es mouria més a poc a poc, encara que la velocitat angular sigui la mateixa.
Un cavallet de fira de $4\ \text{m}$ de radi fa una volta cada $8\ \text{s}$. a) Calcula la seva velocitat angular $\omega$ en $\text{rad/s}$, en funció de $\pi$. b)…
Un cavallet de fira de $4\ \text{m}$ de radi fa una volta cada $8\ \text{s}$.
a) Calcula la seva velocitat angular $\omega$ en $\text{rad/s}$, en funció de $\pi$.
b) Calcula la velocitat lineal d'un nen assegut a la vora.
c) Calcula la seva acceleració normal. Expressa els resultats finals també amb un decimal.
Quan viatges en un cavallets que gira a ritme fix, el velocímetre marcaria una rapidesa constant, però notes que el teu cos tendeix a seguir en línia recta i necessita una força per no sortir disparat: si el valor de la velocitat no canvia, per què experimentes una acceleració?
Practica★☆☆Sense començar
Un patinador agafa una corba de $8\ \text{m}$ de radi a $4\ \text{m/s}$. La figura mostra la corba i el vector velocitat. a) Calcula la seva acceleració normal…
Un patinador agafa una corba de $8\ \text{m}$ de radi a $4\ \text{m/s}$. La figura mostra la corba i el vector velocitat.
a) Calcula la seva acceleració normal $a_n = \frac{v^2}{r}$.
Una centrífuga de laboratori gira amb una freqüència de $f = 50\ \text{Hz}$ i les mostres descriuen cercles de $0,1\ \text{m}$ de radi. a) Calcula la velocitat angular…
Una centrífuga de laboratori gira amb una freqüència de $f = 50\ \text{Hz}$ i les mostres descriuen cercles de $0,1\ \text{m}$ de radi.
a) Calcula la velocitat angular $\omega = 2\pi \cdot f$.
b) Calcula la velocitat lineal de les mostres.
c) Calcula la seva acceleració normal i expressa-la en notació científica.
En una plataforma giratòria d'un parc d'atraccions que gira amb $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un nen està assegut a $2\ \text{m}$ de l'eix i un adult a $8\ \text{m}$. a)…
En una plataforma giratòria d'un parc d'atraccions que gira amb $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un nen està assegut a $2\ \text{m}$ de l'eix i un adult a $8\ \text{m}$.
a) Calcula la velocitat lineal de cadascun.
b) Calcula l'acceleració normal de cadascun.
c) Raona, a partir de l'expressió $a_n = \omega^2 \cdot r$, qui dels dos està sotmès a més acceleració i què implica això sobre l'adherència que necessita per no relliscar cap enfora.
Moviment circular accelerat i components de l'acceleració
Si $\alpha$ és constant, el moviment és circular uniformement accelerat: $\omega=\omega_0+\alpha t$ i $\theta=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2$. S'usen radians; $\vec a$ no és constant perquè canvia la seva direcció, encara que $\alpha$ sí que ho sigui.
En una corba de radi $50\ \text{m}$ presa a $10\ \text{m/s}$, $a_n=2\ \text{m/s}^2$. Encara que el velocímetre no canviï, cal força neta cap al centre; «força centrípeta» és la resultant radial, no una força addicional al pes, la normal o el fregament.
L'esquema relaciona les idees principals:
A practicar! 8 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat