Exercicis: Moviments rectilinis i circulars

Un tren de rodalies circula en línia recta amb velocitat constant $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. Quan $t = 0$ passa per la posició $x_0 = 100\ \text{m}$.

1. a) Escriu l'equació de la seva posició $x(t)$.
2. b) Calcula la seva posició quan $t = 8\ \text{s}$.

Un avió parteix del repòs a la pista i accelera uniformement amb $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.

1. a) Escriu l'equació de la seva velocitat $v(t)$.
2. b) Calcula la velocitat que porta als $10\ \text{s}$.
3. c) Explica amb les teves paraules què significa una acceleració de $3\ \text{m/s}^2$.

Un ciclista es mou en línia recta amb MRUA, amb $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ i $a = 1\ \text{m/s}^2$.

1. a) Escriu la seva equació de posició $x(t)$.
2. b) Calcula la seva posició quan $t = 6\ \text{s}$ utilitzant $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

Es deixa caure una moneda des de dalt d'una torre de $20\ \text{m}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el temps que triga a arribar a terra.
2. b) Calcula la velocitat amb què arriba.

Les aspes d'un ventilador de sostre triguen $0,5\ \text{s}$ a fer una volta completa.

1. a) Quant valen el període $T$ i la freqüència $f$ del gir?
2. b) Calcula la velocitat angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$, en $\text{rad/s}$, i aproxima-la amb un decimal.

Una sènia gira amb velocitat angular constant $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ i el seu radi és $r = 10\ \text{m}$. L'esquema mostra una cistella a la vora i una altra més a prop de l'eix.

1. a) Calcula la velocitat lineal $v = \omega \cdot r$ d'una cistella situada a la vora.
2. b) Explica per què una cistella situada més a prop de l'eix es mouria més a poc a poc, encara que la velocitat angular sigui la mateixa.

Un patinador agafa una corba de $8\ \text{m}$ de radi a $4\ \text{m/s}$. La figura mostra la corba i el vector velocitat.

1. a) Calcula la seva acceleració normal $a_n = \frac{v^2}{r}$.
2. b) Indica'n la direcció i el sentit.

Un satèl·lit descriu una òrbita aproximadament circular al voltant de la Terra amb rapidesa constant.

1. a) Té acceleració, el satèl·lit?
2. b) Si el mòdul de la velocitat no canvia, què és el que canvia del vector velocitat? Explica per què això implica que hi ha acceleració i com s'anomena aquesta acceleració.

Un autobús que circula a $72\ \text{km/h}$ frena uniformement amb $a = -2\ \text{m/s}^2$ fins a aturar-se.

1. a) Expressa la seva velocitat inicial en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula el temps que triga a parar.
3. c) Calcula la distància que recorre durant la frenada.

Des d'un pont de $15\ \text{m}$ d'alçària es llança una pedra verticalment cap avall amb $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema:

1. a) Planteja l'equació de posició prenent la superfície de l'aigua com a origen i calcula el temps que triga a arribar a l'aigua.
2. b) Calcula la velocitat amb què hi arriba.

Un malabarista llança una bola verticalment cap amunt amb $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema del llançament:

1. a) Calcula el temps que triga a assolir l'alçària màxima.
2. b) Calcula aquesta alçària màxima.
3. c) Quant de temps passa fins que la bola torna a la seva mà i amb quina velocitat hi arriba? Justifica-ho per la simetria del moviment.

Un tren de metro parteix del repòs i accelera uniformement a $0,5\ \text{m/s}^2$ al llarg de $400\ \text{m}$.

1. a) Calcula la velocitat que assoleix utilitzant $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
2. b) Calcula el temps que triga a recórrer aquests $400\ \text{m}$.

Un cavallet de fira de $4\ \text{m}$ de radi fa una volta cada $8\ \text{s}$.

1. a) Calcula la seva velocitat angular $\omega$ en $\text{rad/s}$, en funció de $\pi$.
2. b) Calcula la velocitat lineal d'un nen assegut a la vora.
3. c) Calcula la seva acceleració normal. Expressa els resultats finals també amb un decimal.

Una bicicleta avança a $7\ \text{m/s}$ i les seves rodes tenen $0,35\ \text{m}$ de radi.

1. a) Calcula la velocitat angular de les rodes, tenint en compte que a la vora $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calcula el període del gir de la roda.
3. c) Calcula la distància que avança la bicicleta per cada volta completa de la roda i explica per què coincideix amb la longitud de la circumferència.

Una centrífuga de laboratori gira amb una freqüència de $f = 50\ \text{Hz}$ i les mostres descriuen cercles de $0,1\ \text{m}$ de radi.

1. a) Calcula la velocitat angular $\omega = 2\pi \cdot f$.
2. b) Calcula la velocitat lineal de les mostres.
3. c) Calcula la seva acceleració normal i expressa-la en notació científica.

Un conductor circula a $90\ \text{km/h}$, triga $0,8\ \text{s}$ a reaccionar davant d'un obstacle i després frena amb $a = -5\ \text{m/s}^2$. L'esquema mostra les dues fases de la detenció.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$ i calcula la distància recorreguda durant el temps de reacció.
2. b) Calcula el temps de frenada i la distància de frenada.
3. c) Calcula la distància total de detenció, suma de les dues anteriors.

Un cotxe parteix del repòs amb acceleració constant $a = 2\ \text{m/s}^2$ just quan una motocicleta passa pel seu costat amb velocitat constant de $12\ \text{m/s}$, en el mateix sentit. Les gràfiques $x$-$t$ de tots dos vehicles es mostren a la figura.

1. a) Escriu les equacions de posició de tots dos vehicles prenent com a origen el punt de l'avançament.
2. b) Calcula l'instant en què el cotxe atrapa la motocicleta.
3. c) En quina posició ho fa i quina velocitat porta el cotxe en aquell moment?
4. d) Explica, a partir de com varia la velocitat del cotxe amb el temps, per què l'acaba atrapant encara que al principi es quedi enrere.

Des d'un balcó a $15\ \text{m}$ de terra es llança una pilota verticalment cap amunt amb $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula l'alçària màxima que assoleix, mesurada des de terra.
2. b) Planteja l'equació de posició prenent terra com a origen i calcula el temps total de vol fins que arriba a terra.
3. c) Calcula la velocitat amb què arriba a terra.
4. d) Compara aquest temps de vol amb el que trigaria si simplement es deixés caure des del balcó i explica la diferència.

Un cotxe circula a $108\ \text{km/h}$.

1. a) Expressa aquesta velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la distància de frenada en calçada seca, amb $a = -6\ \text{m/s}^2$.
3. c) Calcula la distància de frenada en calçada mullada, amb $a = -3\ \text{m/s}^2$.
4. d) Si el temps de reacció del conductor és $0,5\ \text{s}$, calcula la distància total de detenció en tots dos casos i explica per què convé augmentar la distància de seguretat quan plou.

En una plataforma giratòria d'un parc d'atraccions que gira amb $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un nen està assegut a $2\ \text{m}$ de l'eix i un adult a $8\ \text{m}$.

1. a) Calcula la velocitat lineal de cadascun.
2. b) Calcula l'acceleració normal de cadascun.
3. c) Raona, a partir de l'expressió $a_n = \omega^2 \cdot r$, qui dels dos està sotmès a més acceleració i què implica això sobre l'adherència que necessita per no relliscar cap enfora.

El tambor d'una rentadora té $0,25\ \text{m}$ de radi i en el centrifugat gira a $600$ revolucions per minut, és a dir, $10$ voltes per segon.

1. a) Expressa la freqüència de gir en $\text{Hz}$ i calcula la velocitat angular.
2. b) Calcula la velocitat lineal d'un botó enganxat al tambor.
3. c) Calcula la seva acceleració normal i compara-la amb $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quantes vegades més gran és, aproximadament?
4. d) Explica com aquest resultat ajuda a entendre per què el centrifugat extreu l'aigua de la roba.

La busca dels minuts del rellotge d'una estació fa $1,5\ \text{m}$ i triga una hora a fer una volta completa.

1. a) Calcula la seva velocitat angular en $\text{rad/s}$, en notació científica.
2. b) Calcula la velocitat lineal de la punta de la busca.
3. c) Calcula l'acceleració normal de la punta i expressa-la en notació científica.
4. d) Compara la velocitat angular de la busca dels minuts amb la del segunder, que triga $60\ \text{s}$ per volta: quantes vegades més gran és la del segunder?

Un globus aerostàtic puja amb velocitat constant de $8\ \text{m/s}$. Quan està a $48\ \text{m}$ d'alçària es desprèn un sac de llast. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa l'esquema de la situació:

1. a) Explica per què el sac, en deixar-se anar, continua pujant durant uns instants en comptes de caure immediatament.
2. b) Planteja l'equació de posició del sac prenent terra com a origen i calcula el temps que triga a arribar a terra.
3. c) Calcula la velocitat amb què arriba a terra.
4. d) Calcula l'alçària a la qual es troba el globus en l'instant en què el sac toca terra.

A l'atracció «el rotor», les persones es recolzen a la paret interior d'un cilindre de $4\ \text{m}$ de radi que gira fins que el terra es retira. Es vol que l'acceleració normal dels passatgers sigui $2,5$ vegades $g$; pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la velocitat lineal que ha de tenir la paret.
2. b) Calcula la velocitat angular $\omega$.
3. c) Calcula el període de gir.
4. d) Explica per què les persones no cauen quan desapareix el terra, esmentant quina força proporciona l'acceleració normal i quina equilibra el pes.