Medida de ângulos: graus e radianos
Em uma roda-gigante, as cabines ficam espaçadas ao longo da borda. Para dizer "quanto" uma cabine girou, você pode usar graus, mas existe uma unidade que nasce da própria circunferência e deixa as contas de arco, área e rotação muito mais simples: o radiano. Neste apartado você aprende a usá-lo e, no final, volta à roda-gigante.
O radiano: quando o arco mede o mesmo que o raio
Imagine pegar um barbante com o comprimento do raio de uma circunferência e encostá-lo sobre a borda. O ângulo central que "enxerga" esse pedaço de arco é um radiano. Não importa se a circunferência é pequena ou enorme: a proporção entre arco e raio é a mesma para o mesmo ângulo.
O comprimento da circunferência é $2\pi r$ e cada radiano corresponde a um arco de comprimento $r$. Logo, em uma volta completa cabem exatamente $2\pi$ radianos: $2\pi\ \text{rad}=360^\circ$. Isso não é coincidência, é a própria definição.
Um ângulo mede exatamente $3$ radianos. Sem utilizar a calculadora, raciocine se este ângulo é maior, menor ou igual a um ângulo raso ($180^\circ$) e determine em que…
Um ângulo mede exatamente $3$ radianos. Sem utilizar a calculadora, raciocine se este ângulo é maior, menor ou igual a um ângulo raso ($180^\circ$) e determine em que quadrante se encontra.
Conversão entre graus e radianos
Uma volta completa tem $360^\circ$ e também $2\pi$ rad; meia volta tem $180^\circ$ e $\pi$ rad. Essa equivalência permite montar uma regra de três.
Expresse em radianos, utilizando frações irredutíveis de $\pi$, os seguintes ângulos dados em graus: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.
Expresse em radianos, utilizando frações irredutíveis de $\pi$, os seguintes ângulos dados em graus: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.
Converta para graus sexagesimais os seguintes ângulos expressos em radianos: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.
Converta para graus sexagesimais os seguintes ângulos expressos em radianos: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.
Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono regular e expresse o valor de cada um dos seus ângulos internos em radianos, utilizando frações de $\pi$.
Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono regular e expresse o valor de cada um dos seus ângulos internos em radianos, utilizando frações de $\pi$.
Voltas, ângulos negativos e quadrantes
Um ângulo pode passar de uma volta ou ser negativo. Por convenção, o sentido anti-horário é positivo e o horário é negativo. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III e IV, no sentido anti-horário):
| Quadrante | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| Graus | $0^\circ$ a $90^\circ$ | $90^\circ$ a $180^\circ$ | $180^\circ$ a $270^\circ$ | $270^\circ$ a $360^\circ$ |
| Radianos | $0$ a $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$ | $\pi$ a $\frac{3\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{2}$ a $2\pi$ |
Dois ângulos que diferem por um número inteiro de voltas terminam no mesmo lugar e são chamados de côngruos (ou arcos côngruos). Para achar o côngruo na primeira volta, isto é, em $[0,2\pi)$ ou $[0^\circ,360^\circ)$, some ou subtraia voltas completas.
Reduza os seguintes ângulos à primeira volta (ou seja, encontre seu ângulo equivalente entre $0^\circ$ e $360^\circ$) e indique em que quadrante se situa o lado final de…
Reduza os seguintes ângulos à primeira volta (ou seja, encontre seu ângulo equivalente entre $0^\circ$ e $360^\circ$) e indique em que quadrante se situa o lado final de cada um: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.
Encontre o ângulo positivo equivalente na primeira volta (compreendido entre $0$ e $2\pi$ rad) para os seguintes ângulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.
Encontre o ângulo positivo equivalente na primeira volta (compreendido entre $0$ e $2\pi$ rad) para os seguintes ângulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.
Comprimento de arco e área do setor circular
Aqui o radiano mostra sua utilidade: como $1$ rad corresponde a um arco igual ao raio, o comprimento de um arco é simplesmente o ângulo (em radianos) vezes o raio.
Calcule o ângulo central subtendido por um arco de $12$ cm de comprimento em uma circunferência cujo raio é de $4$ cm. Expresse o resultado tanto em radianos quanto em…
Calcule o ângulo central subtendido por um arco de $12$ cm de comprimento em uma circunferência cujo raio é de $4$ cm. Expresse o resultado tanto em radianos quanto em graus sexagesimais.
Determine o comprimento do arco que descreve a extremidade inferior de um pêndulo de $60$ cm de comprimento quando oscila um ângulo de $\frac{\pi}{8}$ radianos.
Determine o comprimento do arco que descreve a extremidade inferior de um pêndulo de $60$ cm de comprimento quando oscila um ângulo de $\frac{\pi}{8}$ radianos.
Um aspersor de irrigação agrícola cobre um setor circular. O jato de água atinge uma distância máxima de $18$ metros e a cabeça do aspersor varre um ângulo de…
Um aspersor de irrigação agrícola cobre um setor circular. O jato de água atinge uma distância máxima de $18$ metros e a cabeça do aspersor varre um ângulo de $140^\circ$. Calcule a área total do terreno irrigado e o comprimento do arco exterior que a água descreve.
Velocidade angular: radianos por segundo
Quando algo gira (um disco, uma roda, o feixe de um farol), interessa saber que ângulo ele percorre por unidade de tempo. Essa é a velocidade angular $\omega$, medida em rad/s.
De volta ao início: em uma roda-gigante de $24$ cabines igualmente espaçadas, duas cabines vizinhas formam um ângulo de $\dfrac{2\pi}{24}=\dfrac{\pi}{12}$ rad, e o arco entre elas é $\ell=\dfrac{\pi}{12}\cdot r$. É exatamente o que você usa no exercício da roda-gigante.
Um disco de vinil gira em um toca-discos a uma velocidade de $33$ revoluções por minuto (rpm). Calcule sua velocidade angular em radianos por segundo e determine o…
Um disco de vinil gira em um toca-discos a uma velocidade de $33$ revoluções por minuto (rpm). Calcule sua velocidade angular em radianos por segundo e determine o ângulo, em radianos, que um ponto de sua borda descreve em $2,5$ segundos.
O sistema de transmissão de uma máquina industrial consiste em duas polias conectadas por uma correia tensa. A polia motriz tem um raio de $15$ cm e a polia movida tem…
O sistema de transmissão de uma máquina industrial consiste em duas polias conectadas por uma correia tensa. A polia motriz tem um raio de $15$ cm e a polia movida tem um raio de $45$ cm. Se a polia motriz gira um ângulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianos, calcule quantos radianos gira a polia movida e quantas voltas completas dá.
O raio das rodas de um automóvel é de $32$ cm. Se o veículo viaja com uma velocidade constante de $90$ km/h, calcule a velocidade angular das rodas expressa em radianos…
O raio das rodas de um automóvel é de $32$ cm. Se o veículo viaja com uma velocidade constante de $90$ km/h, calcule a velocidade angular das rodas expressa em radianos por segundo. Em seguida, determine o ângulo total girado por uma roda em um trajeto de $15$ minutos e converta-o para número de voltas completas.
Arcos que diminuem: soma de uma PG infinita
Às vezes o movimento se repete com arcos cada vez menores, como um pêndulo que perde amplitude. Os comprimentos dos arcos formam uma progressão geométrica (PG) de razão $q$. Se $|q|<1$, a soma de todos os termos é finita.
Um pêndulo de comprimento $L = 1$ metro oscila descrevendo arcos de circunferência; cada oscilação é o percurso de um extremo ao extremo oposto. Em sua primeira…
Um pêndulo de comprimento $L = 1$ metro oscila descrevendo arcos de circunferência; cada oscilação é o percurso de um extremo ao extremo oposto. Em sua primeira oscilação, o ângulo máximo que forma com a vertical é de $\frac{\pi}{6}$ radianos. Devido ao atrito, em cada oscilação posterior, o ângulo máximo atingido se reduz em $10\%$ em relação à oscilação imediatamente anterior. Armando a soma da série geométrica infinita correspondente, calcule a distância total percorrida pela massa do pêndulo até parar por completo.