Ângulo entre duas retas. Paralelismo e perpendicularidade
Em um projeto de ciclovia em São Paulo, a nova pista deve cruzar a avenida principal sem curvas fechadas demais. Como saber o ângulo exato entre as duas, sem transferidor e sem desenhar nada? Basta olhar para as equações das retas, mais precisamente para os coeficientes angulares. Neste apartado você vai aprender a calcular esse ângulo e a reconhecer quando duas retas são paralelas ou perpendiculares.
O ângulo entre duas retas
Lembre-se: o coeficiente angular $m$ de uma reta é a tangente do ângulo de inclinação $\theta$ que ela forma com o semieixo positivo das abscissas, ou seja, $m = \operatorname{tg}\theta$.
Duas retas concorrentes formam quatro ângulos: dois agudos iguais e dois obtusos iguais, suplementares. Por convenção, o ângulo entre duas retas é o agudo (ou o reto, se forem perpendiculares).
Por quê? Se $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos de inclinação, o ângulo agudo entre as retas é o menor entre $|\theta_1-\theta_2|$ e $180^\circ-|\theta_1-\theta_2|$. Pela fórmula da tangente da diferença, $\operatorname{tg}(\theta_1-\theta_2)=\dfrac{\operatorname{tg}\theta_1-\operatorname{tg}\theta_2}{1+\operatorname{tg}\theta_1\operatorname{tg}\theta_2}$. O valor absoluto da tangente cobre os dois casos e garante o ângulo agudo.
Calcule o ângulo formado pelas retas dadas por suas equações reduzidas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcule o ângulo formado pelas retas dadas por suas equações reduzidas $y = 2x + 1$ e $y = -3x + 4$.
Calcule o ângulo agudo que as retas $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$ formam.
Calcule o ângulo agudo que as retas $r: 2x - y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 1 = 0$ formam.
Determine o ângulo que a reta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ forma com o sentido positivo do eixo das abscissas.
Determine o ângulo que a reta $\sqrt{3}x - y + 2 = 0$ forma com o sentido positivo do eixo das abscissas.
Retas paralelas
Por quê? O coeficiente angular é a tangente da inclinação. Mesma inclinação significa mesma direção, e retas com a mesma direção nunca se cruzam (ou são a mesma reta).
Determine a equação geral da reta paralela a $y = 3x - 5$ que passa pelo ponto $P(2, -1)$.
Determine a equação geral da reta paralela a $y = 3x - 5$ que passa pelo ponto $P(2, -1)$.
Dadas as retas $r: kx - 2y + 5 = 0$ e $s: 3x + 4y - 1 = 0$, determine o valor do parâmetro $k$ para que as duas retas sejam paralelas.
Dadas as retas $r: kx - 2y + 5 = 0$ e $s: 3x + 4y - 1 = 0$, determine o valor do parâmetro $k$ para que as duas retas sejam paralelas.
Retas perpendiculares
Por quê? Quando $m_1m_2=-1$, o denominador de $1+m_1m_2$ na fórmula do ângulo se anula e $\operatorname{tg}\alpha$ deixa de existir: o ângulo é $90^\circ$.
Determine a equação da reta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa pela origem do sistema de coordenadas. Expresse o resultado na forma reduzida.
Determine a equação da reta perpendicular a $x + 4y - 7 = 0$ que passa pela origem do sistema de coordenadas. Expresse o resultado na forma reduzida.
Encontre o valor de $m$ para que as retas $r: 5x + 2y = 0$ e $s: mx - 5y + 3 = 0$ sejam perpendiculares.
Encontre o valor de $m$ para que as retas $r: 5x + 2y = 0$ e $s: mx - 5y + 3 = 0$ sejam perpendiculares.
Indique quais das seguintes retas são paralelas e quais são perpendiculares entre si: $r_1: 2x - 3y + 1 = 0$ $r_2: 6x + 4y - 5 = 0$ $r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
Indique quais das seguintes retas são paralelas e quais são perpendiculares entre si:
-
$r_1: 2x - 3y + 1 = 0$
-
$r_2: 6x + 4y - 5 = 0$
-
$r_3: -4x + 6y + 7 = 0$
O Marcos deve calcular a medida do ângulo formado pelas retas $r: 2x - y + 3 = 0$ e $s: 3x + y - 5 = 0$. Para isso, isola os seus coeficientes angulares obtendo…
O Marcos deve calcular a medida do ângulo formado pelas retas $r: 2x - y + 3 = 0$ e $s: 3x + y - 5 = 0$. Para isso, isola os seus coeficientes angulares obtendo $m_r = 2$ e $m_s = -3$. Em seguida, aplica a fórmula do ângulo:
$$\tan \alpha = \frac{m_r - m_s}{1 + m_r \cdot m_s} = \frac{2 - (-3)}{1 + 2\cdot (-3)} = \frac{5}{-5} = -1$$O Marcos deduz que $\alpha = \arctan(-1) = -45^\circ$ e argumenta: «Como um ângulo geométrico entre retas não pode ser negativo, somo $180^\circ$ a ele e a solução é $135^\circ$».
- a) Aponte os dois erros conceituais cometidos pelo Marcos (um na própria fórmula aplicada e outro ao interpretar qual ângulo define a posição relativa de duas retas concorrentes).
- b) Explique por que, na geometria euclidiana, o ângulo entre duas retas é considerado sempre não obtuso, isto é, limitado ao intervalo $[0^\circ, 90^\circ]$ (ou $[0, \pi/2]\text{ rad}$).
- c) Corrija o desenvolvimento e calcule a medida correta do ângulo agudo, expressando-a tanto em graus sexagesimais quanto em radianos (em função de $\pi$).
Retas com parâmetro
Quando uma reta depende de um parâmetro, paralelismo e perpendicularidade viram equações simples: $m_r = m_s$ ou $m_r\cdot m_s=-1$. Para um ângulo fixado, use a fórmula da tangente.
Calcule os valores do parâmetro $k$ para que a reta $kx + y - 2 = 0$ forme um ângulo de $45^\circ$ com a reta de equação $x - 2y + 1 = 0$.
Calcule os valores do parâmetro $k$ para que a reta $kx + y - 2 = 0$ forme um ângulo de $45^\circ$ com a reta de equação $x - 2y + 1 = 0$.
Dois aviões seguem trajetórias retilíneas na tela de um radar dadas pelas equações $r: x - 3y + 2 = 0$ e $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determine o valor (ou valores) de $k$ para…
Dois aviões seguem trajetórias retilíneas na tela de um radar dadas pelas equações $r: x - 3y + 2 = 0$ e $s: 2x + ky - 5 = 0$. Determine o valor (ou valores) de $k$ para que as suas rotas se cruzem formando um ângulo exato de $60^\circ$.
Dois braços robóticos em uma fábrica deslocam-se sobre trilhos retilíneos. O primeiro segue a reta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ e o segundo a reta $s: ax + 8y - 5 = 0$. 1.…
Dois braços robóticos em uma fábrica deslocam-se sobre trilhos retilíneos. O primeiro segue a reta $r: 3x + 4y - 12 = 0$ e o segundo a reta $s: ax + 8y - 5 = 0$.
-
Determine $a$ para que os trilhos sejam paralelos.
-
Determine a equação de um terceiro trilho transversal que seja perpendicular a ambos e que cruze o trilho $r$ exatamente no seu ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.
Aplicações: alturas, reflexões e estruturas
A perpendicularidade aparece sempre que algo precisa "cair em ângulo reto": a altura de um triângulo, o raio refletido em um espelho, uma viga transversal que reforça uma estrutura, o caminho mais curto até uma rua.
Voltando ao começo: a ciclovia e a avenida formam o ângulo que a fórmula $\operatorname{tg}\alpha=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$ fornece, e, se a ciclovia tiver de ser perpendicular, basta que $m_1m_2=-1$.
No projeto de um parque, uma nova avenida deve ser perpendicular à rua principal definida pela equação $3x - 4y + 10 = 0$. Além disso, essa avenida deve passar pelo…
No projeto de um parque, uma nova avenida deve ser perpendicular à rua principal definida pela equação $3x - 4y + 10 = 0$. Além disso, essa avenida deve passar pelo ponto de interseção das ruas secundárias $x + y - 2 = 0$ e $2x - y - 4 = 0$. Obtenha a equação geral da nova avenida.
Dado um triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(4, 6)$, determine a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ e calcule o ângulo que essa altura…
Dado um triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ e $C(4, 6)$, determine a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ e calcule o ângulo que essa altura forma com o lado $AB$.
No projeto de uma estrutura metálica, uma viga de suporte principal apoia-se sobre a reta que passa pelos nós $P(-2, 4)$ e $Q(4, 1)$. É necessário soldar uma segunda…
No projeto de uma estrutura metálica, uma viga de suporte principal apoia-se sobre a reta que passa pelos nós $P(-2, 4)$ e $Q(4, 1)$. É necessário soldar uma segunda viga perpendicular à primeira exatamente no seu ponto médio. Determine a equação reduzida da reta que define esta segunda viga.
Um raio laser viaja ao longo da reta $y = -2x + 5$ e é refletido por um espelho plano situado sobre o eixo das abscissas. Calcule o ângulo de incidência (ângulo entre o…
Um raio laser viaja ao longo da reta $y = -2x + 5$ e é refletido por um espelho plano situado sobre o eixo das abscissas. Calcule o ângulo de incidência (ângulo entre o raio e a normal ao espelho) e determine a equação da reta que contém o raio refletido.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.
Determine a equação geral da reta simétrica a $r: 2x - 3y + 6 = 0$ em relação à reta $s: x + y - 1 = 0$.