Retas e pontos notáveis de um triângulo

Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Encontre a equação explícita da mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Verifique analiticamente se o ponto $P(1, 2)$ é o baricentro do triângulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ e $C(5, 1)$.

Três antenas de telecomunicações formam um triângulo com vértices em $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 5)$. Calcule a localização do centro de gravidade (baricentro) para colocar um transmissor central, e determine a distância exata entre esse transmissor e a antena $C$.

Determine a equação geral da altura traçada a partir do vértice $B$ no triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Encontre as coordenadas do ortocentro do triângulo retângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

Em uma prova de Matemática da 1ª série do Ensino Médio, pede-se para determinar a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

O Marcos entrega a seguinte resolução:

1º Determine o ponto médio do lado $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2º Calcule o coeficiente angular do lado $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3º Deduza o coeficiente angular perpendicular: $m_\perp = 3$.

4º Escreva a reta com coeficiente angular $3$ que passa por $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual cometido pelo Marcos: que reta notável ele calculou na realidade em vez da altura? Em seguida, redija o procedimento correto e obtenha a equação geral da altura que foi pedida.

Um edifício tem uma planta triangular com vértices nos pontos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcule as coordenadas do ortocentro de tal triângulo.

O ortocentro de um triângulo é o ponto $H(2, 2)$. Sabe-se que dois de seus vértices são $A(-1, 3)$ e $B(4, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$.

Em um triângulo $ABC$, o vértice $A$ tem coordenadas $(-1, 2)$. As alturas traçadas a partir dos vértices $B$ e $C$ estão contidas nas retas de equações $x-y+1=0$ e $2x+y-4=0$, respectivamente. Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Calcule a equação geral da mediatriz do lado $AB$ de um triângulo sabendo que seus vértices correspondentes são $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Calcule as coordenadas do circuncentro do triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ e $C(0, 6)$.

Três árvores em uma plantação agrícola estão situadas nos pontos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ e $C(1, 5)$ (coordenadas expressas em dezenas de metros). Deseja-se instalar um aspersor que fique à mesma distância das três árvores. Calcule as coordenadas do ponto onde ele deve ser colocado (circuncentro) e o raio de alcance da água necessário para irrigá-las.

Três abrigos de montanha estão situados nas coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (expressas em quilômetros). Um helicóptero de resgate se mantém em voo estacionário no circuncentro do triângulo formado pelos abrigos. Calcule as coordenadas do helicóptero e o raio da circunferência que abrange os três abrigos.

Conhece-se o vértice $A(2, 5)$ de um triângulo $ABC$. As mediatrizes dos lados $AB$ e $AC$ têm como equações $x-y+2=0$ e $2x+y-3=0$, respectivamente. Encontre as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Calcule as equações das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas que contêm os lados de um triângulo, cujas equações são $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

Três estradas se cruzam formando um triângulo delimitado pelas retas $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcule as coordenadas do incentro para situar uma rotatória tangente às três vias, e o raio de tal rotatória.

Dado o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, encontre as coordenadas de seu baricentro e de seu ortocentro. A seguir, obtenha a equação geral da reta de Euler que passa por ambos os pontos.

Dados os vértices de um triângulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, encontre as coordenadas do ortocentro $H$, do baricentro $G$ e do circuncentro $O$. Demonstre analiticamente que a distância entre o ortocentro e o baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o circuncentro ($HG = 2GO$).