Posição relativa de duas retas

Determine a posição relativa das retas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando diretamente os seus coeficientes.

Dadas as retas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indique a posição relativa delas, justificando sua resposta a partir do valor de seus coeficientes angulares.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que as retas $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sejam estritamente paralelas.

Estude a posição relativa da reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e da reta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Determine a posição relativa das retas dadas na forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Um arquiteto projeta duas passarelas retas em um parque. A passarela A segue a direção do vetor $\vec{u} = (4, -2)$ e passa pela fonte localizada em $F(0, 5)$. A passarela B é dada pela equação $x + 2y - 10 = 0$. Demonstre analiticamente que ambas as passarelas se sobrepõem, sendo na verdade a mesma reta.

Calcule as coordenadas exatas do ponto de intersecção das retas concorrentes $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.

Dois drones de exploração seguem trajetórias retilíneas descritas pelas equações $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcule as coordenadas do ponto do plano onde suas trajetórias se cruzam.

Em um sistema de segurança, dois feixes de laser são modelados em um plano cartesiano. O primeiro feixe segue a reta $r: x + y - 6 = 0$ e o segundo passa pelos emissores localizados em $P(2, 1)$ e $Q(-2, -1)$. Determine se os feixes de laser são paralelos, coincidentes ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine o ponto exato de interseção.

As trajetórias de dois aviões na tela de um radar bidimensional são dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Verifique se as rotas se cruzam e, em caso afirmativo, calcule o ponto de interseção das trajetórias no plano.

Calcule o valor de $k$ para que as retas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ se intersectem exatamente no mesmo ponto do plano.

Determine as coordenadas dos vértices do triângulo formado pela interseção das três retas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ e $t: x + 4y - 12 = 0$.

Um raio de luz em um experimento de óptica segue a trajetória descrita pela reta $r: x - 2y + 4 = 0$. Um espelho plano está posicionado exatamente sobre o eixo das abscissas ($y = 0$). Determine as coordenadas do ponto de incidência do raio sobre o espelho.

Três rodovias retas são modeladas em um plano topográfico mediante as equações $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determine os valores do parâmetro $a$ para os quais as três rodovias se intersectam em um único ponto ou são paralelas entre si, impedindo que se forme um triângulo delimitado por elas.

Determine o valor de $m$ para que as retas $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sejam concorrentes e não paralelas.

Discuta a posição relativa das retas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ em função dos possíveis valores do parâmetro $m$.

Discuta a posição relativa das retas $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando uma análise exaustiva em função dos parâmetros simultâneos $a$ e $b$.

Considere a família ou feixe de retas definido pela expressão matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demonstre que todas as retas que compõem este feixe se intersectam em um mesmo ponto fixo e calcule as suas coordenadas. A seguir, determine a equação geral da reta deste feixe que é paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.