Sistemas de equações com duas e três incógnitas. Classificação

Dadas as retas $r$ e $s$ representadas no gráfico a seguir, escreva o sistema de equações que define a interseção delas e classifique-o segundo a sua geometria.

Classifique os seguintes sistemas de equações com duas incógnitas de acordo com o número de soluções que apresentam (Sistema Possível Determinado, Sistema Possível Indeterminado ou Sistema Impossível) depois de tentar resolvê-los pelo método que preferir:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

Conceba e escreva um exemplo concreto para cada uma das seguintes situações, justificando sua dedução por meio da relação entre os coeficientes ou da estrutura da matriz ampliada:

1. a) Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que seja impossível (SI), de modo que a primeira equação seja obrigatoriamente $2x - 3y = 5$.
2. b) Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que seja possível e indeterminado (SPI) e admita entre suas infinitas soluções a solução particular $(x, y) = (1, -2)$.
3. c) Um sistema homogêneo de duas equações lineares com três incógnitas ($x, y, z$). Justifique, a partir do número de incógnitas e do posto máximo possível da matriz de coeficientes, por que é impossível que este sistema seja possível e determinado (SPD).

Verifique se a terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ é solução do seguinte sistema de equações:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações de três incógnitas que já se encontra na forma escalonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Geometricamente, uma equação linear com três incógnitas representa um plano no espaço. Observe o esquema e descreva que tipo de sistema (SCD, SCI ou SI) representaria a interseção de dois planos que são paralelos entre si.

Classifique o seguinte sistema de equações lineares quanto ao número de soluções, usando o método de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

Caso seja compatível, encontre a solução ou as soluções. Se for indeterminado, escreva a solução na forma paramétrica.

Estude a compatibilidade do seguinte sistema de 4 equações com 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Se o sistema for compatível, encontre a solução única. Caso contrário, indique qual equação gera a incompatibilidade.

Expresse o seguinte sistema de equações lineares em sua forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente a matriz de coeficientes $A$, a matriz de incógnitas $X$ e a matriz de termos independentes $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Em uma loja de periféricos gamer, três amigos compram produtos diferentes.

• Marcos compra 2 mouses e 1 teclado por $110$ reais.

• Julia compra 1 mouse e 2 teclados por $130$ reais.

Proponha um sistema de equações lineares para determinar o preço de cada artigo e classifique-o segundo o número de soluções que espera obter.

Uma equipe de eSports ganhou um prêmio de 12.000 reais que deve ser dividido entre os seus três integrantes: o capitão (A), o estrategista (B) e o atirador de elite (C). Sabe-se que:

• A soma do que recebem B e C é igual ao que recebe A.

• Se o estrategista (B) recebesse 1.000 reais a mais, teria exatamente o mesmo que o atirador de elite (C).

1. a) Proponha um sistema de três equações com três incógnitas para determinar quanto cada um recebe.
2. b) Classifique o sistema e resolva-o.

Para classificar e resolver o sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y = -3 \end{cases}$$

dois alunos propõem estratégias distintas:

• A Irene propõe escrever a matriz ampliada $A^* = (A|B)$ e aplicar o método de eliminação de Gauss até obter um sistema escalonado.

• O David propõe isolar $x$ diretamente na terceira equação ($x = 2y - 3$), substituir essa expressão na primeira e na segunda equação para reduzir o problema a um sistema de duas incógnitas ($y, z$), e resolver por substituição simples.

1. a) Compare de forma fundamentada ambos os métodos para este caso específico: qual requer menor custo algébrico e minimiza o risco de erro aritmético? De que modo a ausência da incógnita $z$ na terceira equação condiciona essa escolha?
2. b) Aplique a estratégia que você considerar mais eficiente para classificar formalmente o sistema e obter a sua solução.
3. c) Se o sistema inicial tivesse 4 equações com 4 incógnitas sem nenhum coeficiente nulo, o método do David manteria a sua competitividade em relação ao algoritmo matricial de Gauss? Justifique a sua resposta em termos de ordem e escalabilidade.

Sem realizar cálculos complexos, raciocine por que o seguinte sistema homogêneo é Possível e Indeterminado (SPI) analisando a relação entre as suas equações:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Em uma prova de avaliação contínua, o Carlos classifica o seguinte sistema homogêneo:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Após observar as relações de proporcionalidade entre as equações, o Carlos escreve na sua resolução: «Como a segunda linha é o dobro da primeira e a terceira é a primeira com o sinal trocado, ao condensar fica $0 = 0$. Como as incógnitas se anulam por completo nessa igualdade, o sistema não tem nenhuma solução e, portanto, é um Sistema Impossível (SI)».

1. a) Explique de forma fundamentada os dois erros conceituais cometidos pelo Carlos: um relativo à definição geral dos sistemas homogêneos e outro relativo à interpretação de uma linha nula do tipo $0x + 0y + 0z = 0$.
2. b) Corrija o exercício: escreva a matriz de coeficientes $A$, determine a classificação correta do sistema (SPD, SPI ou SI) e justifique quantas soluções ele tem.

Considere o sistema homogêneo dependente do parâmetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Classifique o sistema de acordo com os valores de $a$.
2. b) Determine para quais valores de $a$ o sistema admite soluções diferentes da trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resolva o sistema para $a = -2$.

Seja o sistema homogêneo dependente do parâmetro $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determine o valor de $m$ para o qual o sistema admite soluções diferentes da trivial.
2. b) Para esse valor de $m$, encontre a solução geral e dê uma solução particular diferente da trivial.

Dois drones de vigilância, $D_1$ e $D_2$, deslocam-se em um plano seguindo trajetórias retilíneas dadas pelas seguintes equações:

Drone 1: $2x - 3y = 5$

Drone 2: $x + ky = 2$

Pede-se:

1. a) Determine o valor do parâmetro $k$ para que os drones colidam em um ponto (o sistema seja possível e determinado).

1. b) Existe algum valor de $k$ para o qual os drones sigam trajetórias paralelas, mas nunca se encontrem? Justifique sua resposta usando o conceito de posto (rank) das matrizes.

1. c) Represente graficamente a situação se $k = -1,5$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Escreva um sistema de três equações com três incógnitas que cumpra simultaneamente:

1. Que seja Possível e Indeterminado.

2. Que uma de suas soluções seja $(1, 0, 2)$.

3. Que a matriz de coeficientes seja da forma:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Calcule os valores necessários de $a$ e $b$ e proponha termos independentes coerentes. Justifique a sua construção usando o posto das matrizes.

Um laboratório de biotecnologia está desenvolvendo um novo soro combinando três compostos: $A$, $B$ e $C$. O custo por grama de cada composto depende de um fator de importação $k$. O sistema que rege as quantidades necessárias $x, y, z$ (em gramas) para estabilizar 100 ml de soro é:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Determine para quais valores de $k$ o laboratório não pode determinar uma quantidade única de cada composto para fabricar o soro.
2. b) Se $k = -2$, é possível fabricar o soro seguindo estas proporções? Justifique sua resposta com base na compatibilidade do sistema.

Dado o sistema de equações:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$

1. a) Adicione uma equação da forma $ax + by + cz = d$ para que o sistema resultante seja possível e determinado e cuja solução seja $(1, 1, 0)$.
2. b) Adicione uma equação para que o sistema seja impossível.
3. c) É possível adicionar uma equação para que o sistema seja possível e indeterminado, mas com uma solução diferente da do sistema original? Justifique a resposta.