Teorema de Rouché-Capelli

Dado o seguinte sistema de equações lineares sem parâmetros:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Determine o posto da matriz de coeficientes $A$ e o posto da matriz completa $A^*$. Utilize o Teorema de Rouché-Capelli para discutir a existência e o número de soluções do sistema.

Em uma sessão de estudo sobre álgebra, um colega mostra os resultados da análise dos postos de três sistemas de equações diferentes utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius. Indique de forma fundamentada o tipo de sistema (Possível Determinado, Possível Indeterminado ou Impossível) em cada um dos seguintes casos, sabendo que o número de incógnitas é $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ e $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ e $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ e $rg(A^*) = 2$.

Associe cada uma das seguintes situações geométricas de três planos no espaço com a discussão do sistema correspondente segundo o Teorema de Rouché-Capelli (assuma $n=3$):

1. Os três planos se cortam em um único ponto.

2. Dois planos são paralelos e o terceiro os corta.

3. Os três planos se cortam em uma reta comum.

Relacione cada caso com uma destas opções:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Discuta o seguinte sistema de equações em função do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determine para quais valores de $k$ o sistema é Possível Determinado e para quais é Impossível ou Possível Indeterminado.

Um "influencer" está analisando o crescimento dos seus seguidores em três redes sociais distintas (TikTok, Instagram e Twitch). Ele propôs um sistema de equações para distribuir o seu orçamento publicitário, mas percebeu que tem mais incógnitas do que equações:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

Sendo $x, y, z$ o investimento em reais para cada rede social. Sem resolver o sistema, explique, de forma fundamentada, por meio do Teorema de Rouché-Frobenius, por que este sistema nunca poderá ter uma solução única. Ele poderia ser incompatível?

Discuta a natureza do sistema formado pelas equações de três retas no plano, sabendo que o sistema é dado por:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$$

Calcule o posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada. Interprete o resultado obtido: as três retas se cortam em um ponto, são a mesma reta ou há alguma relação de paralelismo?

Considere o seguinte sistema linear de 4 equações com 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x + y - z = 3 \\ -x + 7y - 4z = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$

1. a) Estime de forma fundamentada, antes de realizar qualquer cálculo matricial:

• Qual é o posto máximo teórico que podem atingir a matriz de coeficientes $A$ e a matriz ampliada $A^*$?

• Observando com atenção unicamente as duas primeiras equações, seria possível que o sistema fosse possível indeterminado com 2 graus de liberdade (ou seja, com infinitas soluções dependentes de dois parâmetros)? Justifique a sua estimativa.

1. b) Verifique as suas estimativas calculando os postos $rg(A)$ e $rg(A^*)$ através do método de Gauss e classifique o sistema de forma definitiva segundo o Teorema de Rouché-Capelli.

Considere um sistema homogêneo de três equações com três incógnitas cuja matriz de coeficientes é $A$. Se sabemos que o determinante dessa matriz é $|A| = 0$ e que existe um menor de ordem 2 diferente de zero, utilize o Teorema de Rouché-Frobenius para:

1. a) Justificar por que o sistema nunca poderá ser incompatível.
2. b) Classificar o sistema segundo o número de soluções.
3. c) Indicar quantos parâmetros serão necessários para expressar a sua solução geral.

Estude a compatibilidade do seguinte sistema homogêneo em função do parâmetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ mx + 2y + mz = 0 \\ 2x + my + 4z = 0 \end{cases}$$

Indique para quais valores de $m$ o sistema admite soluções diferentes da trivial $(0, 0, 0)$.

Dado o seguinte sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

Discuta a sua compatibilidade de acordo com os valores de $k$ utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius. Não é necessário resolvê-lo.

Considere os três planos representados no espaço cujas equações são dadas a seguir:

$$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z = a + 1$$

Estude a posição relativa dos três planos em função do parâmetro $a$ com base no posto da matriz de coeficientes $A$ e da matriz ampliada $A^*$.

Dada a matriz de coeficientes $A$ e a matriz de termos independentes $B$ de um sistema $AX = B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ m \end{pmatrix}$$

Utilize o determinante de $A$ para discutir o sistema. Existe algum valor de $m$ para o qual o posto da matriz ampliada $A^*$ seja $3$ enquanto o posto de $A$ seja $2$?

Considere o seguinte sistema de equações lineares, dependente de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discuta o sistema utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius em função de todos os valores possíveis de $a$ e $b$. Nos casos em que o sistema seja possível e indeterminado, indique o grau de liberdade (número de parâmetros da solução) e descreva a posição relativa dos três planos que representam as equações.

Dado o sistema de quatro equações com três incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determine os valores dos parâmetros $m$ e $k$ para que o sistema seja compatível segundo o Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Existe algum valor de $m$ que faça com que o sistema seja Compatível Indeterminado independentemente de $k$? Justifique sua resposta analisando os postos da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.