Posto de uma matriz

Determine o posto da seguinte matriz $A$ observando a relação entre as suas linhas:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcule o posto da matriz $B$ procurando o menor de maior ordem que seja diferente de zero:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Indique qual é a maior ordem possível de um menor de $B$ e quantos menores dessa ordem podem ser formados.

1. b) Calcule um desses menores e verifique se é diferente de zero.

1. c) Escreva o posto de $B$ e justifique a sua resposta.

Na matriz $C$, identifique o elemento $a_{23}$ e calcule o seu cofator $A_{23}$:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Determine o valor do determinante da matriz $B$ utilizando a Regra de Sarrus:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Considere a matriz de dimensões $3 \times 4$:

$$C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & -1 \\ 6 & 0 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$

Para determinar o posto de $C$, dois colegas propõem caminhos diferentes:

• Estratégia 1 (Eliminação de Gauss): aplicar transformações elementares por linhas até triangularizar a matriz.

• Estratégia 2 (Menores orlados): descartar colunas nulas e orlar um menor não nulo de ordem 2 bem escolhido.

1. a) Analise a estrutura da matriz $C$ (observe especialmente a segunda coluna e a posição dos zeros) e justifique qual das duas estratégias requer calcular menos operações para fundamentar o posto.
2. b) Seguindo a estratégia que você justificou como mais conveniente no item anterior, calcule de forma fundamentada $\operatorname{rg}(C)$, apresentando todos os passos e determinantes ou combinações utilizadas.

Determine o posto da matriz $B$ segundo os valores do parâmetro real $a$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & -1 & a & 1 \\ 1 & 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

Lembre-se de que, para uma matriz de dimensões $3 \times 4$, o posto máximo possível é $3$.

Um engenheiro de robótica está programando o movimento de um braço mecânico no espaço tridimensional. Os sensores detectam três vetores de força que determinam a estabilidade do sistema. A matriz que representa tais forças é:

$$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 1 & 2 \\ 1 & 1 & k & k \end{pmatrix}$$

Pede-se:

1. Determine o posto da matriz $M$ em função do parâmetro real $k$.

2. Existe algum valor de $k$ para o qual as forças sejam linearmente dependentes, mas o posto da matriz seja máximo? Explique sua resposta com base na teoria dos menores.

Estude o posto da seguinte matriz $A$ em função dos possíveis valores do parâmetro real $k$:

$A = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

Determine para quais valores de $k$ o posto é $1$, $2$ ou $3$.

Estude a dependência linear das linhas da matriz $A$ segundo os valores dos parâmetros reais $a$ e $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & b \\ a & b & 1 \end{pmatrix}$$

Determine para quais valores de $(a, b)$ o posto de $A$ é igual a 1. Descreva geometricamente qual relação guardam os vetores linha quando isso ocorre.

No projeto de um motor gráfico para um videogame, exige-se que uma matriz de transformação $M$ seja invertível para poder desfazer movimentos. Dada a matriz:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$

1. a) Encontre os valores do parâmetro real $m$ para os quais a matriz $M$ não possui inversa.

1. b) Para o valor $m = 2$, calcule o valor do determinante da matriz inversa, $|M^{-1}|$.

Dadas as matrizes $A$ e $B$ de ordem $3 \times 3$, sabe-se que $A$ tem posto $3$ e que o determinante de $B$ é $|B| = 0$.

1. a) Qual é o valor do determinante do produto $|A \cdot B|$? Justifique a resposta.

1. b) É possível que o posto da matriz produto $A \cdot B$ seja $3$? Explique por quê, baseando-se na relação entre o determinante e o posto.