Introdução à Análise Combinatória

Um restaurante oferece um prato feito do dia com $4$ entradas, $3$ pratos principais e $5$ sobremesas. De quantas formas distintas é possível pedir um menu completo composto por uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Em uma biblioteca da sala de aula há $12$ romances de ficção científica, $8$ de romance histórico e $5$ biografias. Se só houver tempo para ler um livro neste fim de semana, quantas opções diferentes existem para escolher?

Uma marca de bicicletas fabrica um modelo que está disponível em $3$ tamanhos diferentes de quadro, $5$ cores e com $2$ tipos de freios distintos. Quantas versões diferentes deste modelo de bicicleta existem no mercado?

Uma senha para um sistema de informática deve ser formada por $2$ letras do alfabeto (de $26$ letras possíveis) seguidas de $3$ dígitos (do $0$ ao $9$), ou por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Se for permitido repetir tanto as letras como os dígitos, quantas senhas distintas podem ser criadas no total?

Desenhe o diagrama de árvore para o experimento que consiste em lançar uma moeda comum e, em seguida, lançar um dado com forma de tetraedro (com suas faces numeradas de $1$ a $4$). Quantos resultados possíveis tem este experimento composto?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Para ir da cidade A à cidade B há $3$ estradas distintas, e para ir da cidade B à cidade C há $2$ estradas distintas.

• De quantas formas é possível viajar de A até C passando obrigatoriamente por B?

• Desenhe o diagrama de árvore correspondente a esta viagem.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas equipes de basquete, Alfa e Beta, jogam uma eliminatória melhor de $3$ partidas (a primeira que vencer $2$ partidas se classifica). Empates não são possíveis. Desenhe o diagrama de árvore com todos os desenvolvimentos possíveis da eliminatória. De quantas formas distintas pode transcorrer a série de partidas?

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma urna há $3$ bolas vermelhas e $2$ bolas azuis. Retiram-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Desenhe o diagrama de árvore do experimento e calcule quantos resultados distintos podem ser obtidos se levarmos em conta a ordem de extração e a cor das bolas.

Você pode fazer em papel e enviar uma fotografia com a sua resposta.

Para proteger uma bicicleta na escola, utiliza-se um cadeado de combinação de $3$ rodas giratórias, cada uma com os dígitos de $0$ a $9$. O proprietário estabelece que o código não pode começar por $0$ e que os três dígitos devem ser distintos entre si.

1. a) Antes de realizar qualquer cálculo exato, estime de forma intuitiva se o número total de códigos possíveis será inferior a $300$, estará entre $300$ e $700$, ou será superior a $700$. Justifique brevemente em que você baseia a sua intuição inicial.
2. b) Modele a situação por meio do princípio da multiplicação e calcule o número exato de códigos distintos que cumprem essas condições.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial foi acertada e reflita sobre como muda o resultado se fosse permitido repetir dígitos (mantendo o primeiro dígito diferente de $0$).

Observe a grade da figura. Um robô se desloca do ponto A até o ponto B movendo-se apenas para a direita ou para cima através das linhas da grade. Quantos caminhos diferentes o robô pode seguir para chegar ao seu destino?

Utilizando apenas os algarismos do conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• Quantos números de $4$ algarismos distintos podem ser formados?

• Quantos desses números formados são pares?

Uma prova de múltipla escolha consta de $10$ perguntas. Cada pergunta tem $4$ opções de resposta, das quais apenas uma é correta.

• De quantas formas diferentes é possível responder à prova se for obrigatório assinalar uma opção em todas as perguntas?

• De quantas formas seria possível responder se for permitido deixar perguntas em branco?

Deseja-se projetar uma bandeira com $3$ faixas verticais utilizando uma paleta de $5$ cores disponíveis.

• De quantas formas se pode colorir se duas faixas adjacentes não puderem ter a mesma cor?

• De quantas formas se pode colorir se, além da condição anterior, a primeira e a última faixa também deverem ser obrigatoriamente de cores distintas?

No sistema de numeração decimal, consideramos todos os números inteiros compreendidos entre $1000$ e $9999$ (ambos inclusive). Quantos destes números contêm o algarismo $7$ pelo menos uma vez em sua escrita?

Um número palíndromo é aquele que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda (por exemplo, o número $35153$).

• Quantos números palíndromos de $5$ algarismos existem no total?

• Quantos desses números palíndromos de $5$ algarismos são números pares?

No pronto-socorro de um hospital municipal devem ser cobertos os plantões de fim de semana, designando um médico para o sábado e outro diferente para o domingo, escolhidos entre uma equipe de $6$ profissionais disponíveis: Ana, Blas, Clara, David, Elena e Félix. Por motivos de descanso após uma cirurgia anterior, Ana e Blas não podem coincidir no mesmo fim de semana (isto é, não pode acontecer que um faça plantão no sábado e o outro no domingo).

Para calcular o número de escalas válidas possíveis, dois residentes sugerem estratégias diferentes:

• Estratégia A (Contagem direta por casos): Somar as opções em que não participa nenhum dos dois médicos incompatíveis e as opções em que participa exatamente um deles.

• Estratégia B (Contagem pelo complementar): Calcular todas as atribuições possíveis de médicos distintos para sábado e domingo sem restrições e subtrair os casos proibidos em que Ana e Blas coincidem.

1. a) Desenvolva detalhadamente os cálculos passo a passo seguindo a Estratégia A e depois seguindo a Estratégia B, verificando que ambos os caminhos levam ao mesmo resultado numérico.
2. b) Compare ambos os procedimentos e justifique qual dos dois se mostra mais vantajoso e menos sujeito a erros se a equipe fosse composta por $25$ médicos em vez de $6$, mantendo a mesma restrição entre Ana e Blas.

Calcule o valor das seguintes expressões numéricas utilizando as propriedades dos fatoriais:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Escreva os seguintes produtos utilizando a notação matemática de fatorial:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

O Mateo está resolvendo um problema de simplificação com fatoriais e apresenta no quadro o seguinte desenvolvimento:

1. a) Aponte com precisão o erro algébrico que o Mateo cometeu e explique por que não é válido simplificar a fração dessa forma.
2. b) Resolva corretamente a expressão aplicando as propriedades do fatorial (decompondo $7!$ em função de $5!$ ou colocando fator comum em evidência) e determine o seu valor numérico final.

Simplifique a expressão algébrica $\frac{(x+2)!}{x!}$ e, em seguida, resolva a equação $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Resolva a seguinte equação com fatoriais, sabendo que $n$ é um número natural:

Em uma turma de $20$ alunos deve-se escolher uma comissão diretiva formada por um presidente, um vice-presidente e um secretário (cargos distintos que não podem ser ocupados pela mesma pessoa simultaneamente). Uma vez escolhida a comissão diretiva, deve-se escolher um delegado de esportes entre os $17$ alunos restantes. De quantas formas diferentes se pode realizar todo este processo de seleção?

Demonstre algebricamente a seguinte identidade válida para qualquer número natural $n \ge 1$:

Uma vez demonstrada, aplique este resultado para simplificar e calcular o valor exato da expressão $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Na gaveta de uma cômoda há meias soltas de $3$ cores distintas (pretas, brancas e azuis). Se houver um apagão e forem retiradas meias no escuro, qual é o número mínimo de meias que se deve retirar para garantir pelo menos um par da mesma cor?

Em uma escola há $400$ estudantes matriculados.

• Justifique matematicamente por que é possível assegurar que pelo menos dois alunos fazem aniversário no mesmo dia do ano.

• Quantos alunos seriam necessários, no mínimo, na escola para garantir que pelo menos três deles compartilhem a mesma data de aniversário? (Considere anos não bissextos de $365$ dias).

Numa escola de Ensino Médio de São Paulo há $750$ estudantes matriculados no total. Para gerenciar o empréstimo de notebooks, é gerada uma etiqueta de identificação para cada estudante formada por uma letra do alfabeto espanhol ($27$ letras oficiais, incluindo o Ñ) seguida de um algarismo par pertencente ao conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modele a situação por meio do princípio multiplicativo para calcular quantas etiquetas de identificação distintas podem ser emitidas com este formato.
2. b) Use o princípio da casa dos pombos para justificar rigorosamente por que é seguro que haverá estudantes com etiquetas idênticas atribuídas.
3. c) Determine qual é o número mínimo de estudantes que, com certeza matemática absoluta, compartilharão exatamente a mesma etiqueta na referida escola.

Escolhem-se ao acaso $5$ pontos no interior de um quadrado de lado $2\text{ cm}$. Demonstre, utilizando o princípio da casa dos pombos, que sempre haverá pelo menos dois pontos cuja distância entre eles seja menor ou igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Dica: divida o quadrado em regiões estratégicas).