Eventos compostos
Lançar duas moedas, tirar duas cartas de um baralho ou escolher primeiro uma máquina e depois testar uma peça: todos esses são experimentos compostos, formados por várias etapas. Em uma fábrica, por exemplo, como saber a chance de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa, se ela pode ter vindo de duas máquinas diferentes? Neste apartado você vai aprender a combinar as probabilidades de cada etapa e, no final, responder a essa pergunta.
Experimentos em várias etapas
Lançamos duas moedas ao ar de forma independente. Calcule a probabilidade de obter exatamente duas coroas.
Lançamos duas moedas ao ar de forma independente. Calcule a probabilidade de obter exatamente duas coroas.
Lançamos um dado cúbico equilibrado (com as faces numeradas de $1$ a $6$) e uma moeda. Qual é a probabilidade de obter um número par no dado e cara na moeda?
Lançamos um dado cúbico equilibrado (com as faces numeradas de $1$ a $6$) e uma moeda. Qual é a probabilidade de obter um número par no dado e cara na moeda?
Em uma rua há dois semáforos independentes. A probabilidade de o primeiro estar no verde é de $0,4$ e a probabilidade de o segundo estar no verde é de $0,5$. Determine a…
Em uma rua há dois semáforos independentes. A probabilidade de o primeiro estar no verde é de $0,4$ e a probabilidade de o segundo estar no verde é de $0,5$. Determine a probabilidade de encontrar os dois semáforos no verde ao passar por essa rua.
Regra do produto
Com sem reposição, a segunda etapa muda: a composição da caixa ou do baralho já não é a mesma.
Probabilidade proporcional à área
Em alguns experimentos, como acertar um dardo em um alvo, os resultados não são contáveis, mas a chance de cair em uma região é proporcional à área dela: $P(\text{região}) = \dfrac{\text{área da região}}{\text{área total}}$. Para vários lançamentos independentes, multiplique as probabilidades de cada um e, se a ordem puder variar, some os caminhos.
Um dardo é lançado no alvo da figura, formado por dois círculos concêntricos de raios $R$ e $2R$. O dardo sempre acerta o alvo e a probabilidade de acertar uma região é…
Um dardo é lançado no alvo da figura, formado por dois círculos concêntricos de raios $R$ e $2R$. O dardo sempre acerta o alvo e a probabilidade de acertar uma região é proporcional à sua área. Se forem lançados dois dardos de forma independente, calcule a probabilidade de um dardo cair na zona central (A) e o outro na zona externa (B).
Em uma caixa há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a cor dela, devolve-se à caixa e retira-se uma segunda bola. Determine a…
Em uma caixa há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a cor dela, devolve-se à caixa e retira-se uma segunda bola. Determine a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas.
De um baralho espanhol de $40$ cartas, retiram-se duas cartas consecutivamente sem reposição. Calcule a probabilidade de as duas cartas serem Reis.
De um baralho espanhol de $40$ cartas, retiram-se duas cartas consecutivamente sem reposição. Calcule a probabilidade de as duas cartas serem Reis.
Em um restaurante, $60\%$ dos clientes pedem prato feito e $40\%$ pedem à la carte. Dos que pedem prato feito, $70\%$ comem sobremesa. Dos que pedem à la carte, $50\%$…
Em um restaurante, $60\%$ dos clientes pedem prato feito e $40\%$ pedem à la carte. Dos que pedem prato feito, $70\%$ comem sobremesa. Dos que pedem à la carte, $50\%$ comem sobremesa. Calcule a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso pedir prato feito e comer sobremesa.
Em uma turma do 10º ano há $12$ meninos e $18$ meninas. Sabe-se que $4$ meninos e $6$ meninas usam óculos. Se escolhermos um estudante ao acaso, qual é a probabilidade…
Em uma turma do 10º ano há $12$ meninos e $18$ meninas. Sabe-se que $4$ meninos e $6$ meninas usam óculos. Se escolhermos um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de ser uma menina que usa óculos?
Retiram-se três cartas consecutivamente e sem reposição de um baralho de $40$ cartas, com quatro naipes (ouros, copas, espadas e paus). Calcule a probabilidade de obter…
Retiram-se três cartas consecutivamente e sem reposição de um baralho de $40$ cartas, com quatro naipes (ouros, copas, espadas e paus). Calcule a probabilidade de obter três cartas do naipe de ouros.
Em um centro esportivo, oferecem-se aulas de tênis e padel. Há $120$ sócios inscritos nessas aulas, e cada sócio pratica apenas um esporte. Sabe-se que $70$ sócios jogam…
Em um centro esportivo, oferecem-se aulas de tênis e padel. Há $120$ sócios inscritos nessas aulas, e cada sócio pratica apenas um esporte. Sabe-se que $70$ sócios jogam padel e que há $50$ mulheres no total. Além disso, $30$ mulheres jogam tênis. Se for escolhido um sócio ao acaso, calcule a probabilidade de ser um homem que joga padel.
Dois caminhos para o mesmo resultado
Quando a primeira etapa tem várias opções e cada uma leva a uma segunda etapa diferente, é preciso somar a probabilidade de todos os caminhos que levam ao resultado procurado. Em cada caminho, as probabilidades dos ramos se multiplicam.
Agora dá para fechar a pergunta do início: se a máquina $M_1$ faz $60\%$ das peças com $2\%$ de defeito e a $M_2$ faz $40\%$ com $5\%$, a chance de defeito é $0{,}6\cdot0{,}02+0{,}4\cdot0{,}05 = 0{,}012+0{,}020 = 0{,}032 = 3{,}2\%$. Multiplica-se ao longo de cada caminho e somam-se os caminhos.
Temos duas urnas. A urna $A$ contém $4$ bolas brancas e $2$ pretas. A urna $B$ contém $3$ bolas brancas e $5$ pretas. Lançamos uma moeda equilibrada; se sair cara,…
Temos duas urnas. A urna $A$ contém $4$ bolas brancas e $2$ pretas. A urna $B$ contém $3$ bolas brancas e $5$ pretas. Lançamos uma moeda equilibrada; se sair cara, retiramos uma bola da urna $A$, e se sair coroa, retiramos uma bola da urna $B$. Determine a probabilidade de a bola retirada ser branca.
Uma fábrica de componentes eletrônicos tem duas máquinas. A máquina $M_1$ produz $60\%$ dos componentes e a máquina $M_2$ produz os $40\%$ restantes. Sabe-se que $2\%$…
Uma fábrica de componentes eletrônicos tem duas máquinas. A máquina $M_1$ produz $60\%$ dos componentes e a máquina $M_2$ produz os $40\%$ restantes. Sabe-se que $2\%$ dos componentes produzidos por $M_1$ são defeituosos, enquanto $5\%$ dos produzidos por $M_2$ são defeituosos. Se for selecionado um componente ao acaso no armazém, qual é a probabilidade de ele ser defeituoso?
Em um jogo, um participante retira primeiro uma carta de um baralho de $40$ cartas. Se a carta retirada for do naipe de copas, ele lança um dado cúbico equilibrado (do…
Em um jogo, um participante retira primeiro uma carta de um baralho de $40$ cartas. Se a carta retirada for do naipe de copas, ele lança um dado cúbico equilibrado (do $1$ ao $6$). Se a carta NÃO for de copas, ele lança uma moeda. Qual é a probabilidade de o participante terminar obtendo um $5$ no dado?
Temos duas caixas. A caixa 1 contém $3$ fichas vermelhas e $2$ verdes. A caixa 2 contém $1$ ficha vermelha e $4$ verdes. Retira-se uma ficha ao acaso da caixa 1 e, sem…
Temos duas caixas. A caixa 1 contém $3$ fichas vermelhas e $2$ verdes. A caixa 2 contém $1$ ficha vermelha e $4$ verdes. Retira-se uma ficha ao acaso da caixa 1 e, sem olhar a cor dela, coloca-se na caixa 2. Em seguida, retira-se uma ficha ao acaso da caixa 2. Calcule a probabilidade de essa segunda ficha ser vermelha.
Um teste médico para detectar uma doença tem as seguintes características: se uma pessoa estiver doente, o teste dá positivo em $95\%$ dos casos. Se a pessoa estiver…
Um teste médico para detectar uma doença tem as seguintes características: se uma pessoa estiver doente, o teste dá positivo em $95\%$ dos casos. Se a pessoa estiver saudável, o teste dá positivo (falso positivo) em $3\%$ dos casos. Sabe-se que $2\%$ da população tem essa doença. Se for escolhida uma pessoa ao acaso e for realizado o teste, qual é a probabilidade de o resultado ser positivo?
Duas equipes de e-sports, Alpha e Beta, jogam a final de um torneio à melhor de três partidas (a primeira que ganhar duas partidas é a campeã). A probabilidade de Alpha…
Duas equipes de e-sports, Alpha e Beta, jogam a final de um torneio à melhor de três partidas (a primeira que ganhar duas partidas é a campeã). A probabilidade de Alpha ganhar uma partida é $0,6$ e a de Beta ganhar é $0,4$ (não há empates). Os resultados das partidas são independentes. Calcule a probabilidade de a equipe Alpha ganhar o torneio.
«Pelo menos um» em experimentos compostos
Duas jogadoras de basquete, Marta e Laura, lançam um lance livre cada uma. A probabilidade de Marta acertar é $0,8$ e a probabilidade de Laura acertar é $0,7$. Os…
Duas jogadoras de basquete, Marta e Laura, lançam um lance livre cada uma. A probabilidade de Marta acertar é $0,8$ e a probabilidade de Laura acertar é $0,7$. Os lançamentos delas são eventos independentes. Calcule a probabilidade de pelo menos uma das duas acertar o lance livre.
Um arqueiro tem uma probabilidade de $0,85$ de acertar o centro do alvo em cada disparo. Se ele realizar três disparos consecutivos e independentes, determine a…
Um arqueiro tem uma probabilidade de $0,85$ de acertar o centro do alvo em cada disparo. Se ele realizar três disparos consecutivos e independentes, determine a probabilidade de errar os três disparos.
O esquema a seguir mostra um sistema de tubulações com três válvulas $A$, $B$ e $C$. A água flui da esquerda para a direita. Para que a água chegue ao final, deve passar…
O esquema a seguir mostra um sistema de tubulações com três válvulas $A$, $B$ e $C$. A água flui da esquerda para a direita. Para que a água chegue ao final, deve passar pela válvula $A$ ou pelo ramo inferior que contém as válvulas $B$ e $C$ em série. As probabilidades de as válvulas estarem abertas são $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,9$. Sabendo que o funcionamento de cada válvula é independente, calcule a probabilidade de a água conseguir atravessar o sistema.