Árvores de probabilidades

Uma caixa contém $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas azuis. Retira-se uma bola ao acaso, anota-se a cor dela, devolve-se à caixa e retira-se uma segunda bola. Desenhe o diagrama de árvore correspondente e calcule a probabilidade de obter duas bolas azuis.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Complete o seguinte diagrama de árvore que representa o lançamento de uma moeda viciada duas vezes consecutivas, sabendo que a probabilidade de obter cara é $\frac{1}{3}$. A partir da árvore, calcule a probabilidade de obter primeiro cara e depois coroa.

Um jogador de basquete tem uma probabilidade de $0,8$ de converter um lance livre. Se lançar dois lances livres de forma independente, desenhe a árvore de probabilidades e determine qual é a probabilidade de que erre os dois lançamentos.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um armário há $5$ camisetas brancas e $3$ pretas. Escolhem-se duas camisetas ao acaso, uma após a outra e sem devolver a primeira ao armário. Calcule a probabilidade de que ambas as camisetas sejam brancas.

Em uma urna há $2$ bolas verdes e $3$ bolas amarelas. Retiramos uma bola, olhamos para ela e a deixamos fora. Depois retiramos outra bola. Qual é a probabilidade de a primeira ser verde e a segunda amarela?

Uma sacola contém $5$ bolas brancas e $4$ bolas pretas. Retiram-se bolas uma a uma, sem reposição, até que saia uma bola preta. Qual é a probabilidade de ser necessário realizar exatamente três retiradas para que o jogo termine?

Um baralho espanhol tem $40$ cartas. Três cartas são retiradas consecutivamente, sem reposição. Calcule a probabilidade de as três cartas serem do mesmo naipe (ouros, copas, espadas ou paus).

Em uma lanchonete, oferecem dois tipos de prato executivo: $60\,\%$ dos clientes escolhem o prato do dia e $40\,\%$ escolhem o prato vegetariano. Dos que escolhem o prato do dia, $70\,\%$ pedem café de sobremesa. Dos que escolhem o prato vegetariano, $80\,\%$ pedem chá. Calcule a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso ter consumido o prato do dia e também ter pedido café.

Para ir ao trabalho, Yasmin pode ir de ônibus (com probabilidade $0,7$) ou de bicicleta (com probabilidade $0,3$). Se for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada é $0,2$. Se for de bicicleta, a probabilidade de chegar atrasada é $0,05$. Qual é a probabilidade de Yasmin ir de bicicleta e chegar pontualmente?

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, três máquinas (A, B e C) produzem $50\,\%$, $30\,\%$ e $20\,\%$ das peças, respectivamente. As porcentagens de peças defeituosas produzidas por cada máquina são $2\,\%$, $4\,\%$ e $5\,\%$. Apoie-se no diagrama de árvore para calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa.

Temos duas urnas. A urna A contém $3$ bolas vermelhas e $2$ pretas. A urna B contém $4$ bolas vermelhas e $5$ pretas. Lançamos uma moeda: se sair cara, retiramos uma bola da urna A; se sair coroa, retiramos uma bola da urna B. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja vermelha?

Em um teste de diagnóstico para uma alergia, $5\,\%$ da população realmente tem a alergia. Se uma pessoa tem a alergia, o teste dá positivo $90\,\%$ das vezes. Se não a tem, o teste dá negativo $95\,\%$ das vezes. Desenhe um diagrama de árvore para ilustrar a situação e calcule a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso obtenha um resultado positivo no teste.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Lançamos um dado de seis faces e, em seguida, retiramos uma carta de um baralho espanhol de $40$ cartas. Se no dado sair um número par, ganhamos se retirarmos um Rei. Se no dado sair um número ímpar, ganhamos se retirarmos um Ás. Calcule a probabilidade de sair um número par no dado e, além disso, ganhar.

Em uma partida de tênis, se o primeiro saque de um jogador entra na quadra (probabilidade $0,6$), ele ganha o ponto com probabilidade $0,7$. Se o primeiro saque falha, realiza um segundo saque que entra com probabilidade $0,8$. Se o segundo saque entra, ganha o ponto com probabilidade $0,5$. Se o segundo saque também falhar, comete dupla falta e perde o ponto automaticamente. Calcule a probabilidade total de o jogador ganhar o ponto nesse serviço.

Um estudante tem que fazer duas provas no mesmo dia. A probabilidade de ser aprovado na primeira é $0,6$. Se for aprovado na primeira, ele se motiva e a probabilidade de ser aprovado na segunda sobe para $0,8$. No entanto, se for reprovado na primeira, ele se desanima e a probabilidade de ser aprovado na segunda cai para $0,3$. Construa o diagrama de árvore e calcule a probabilidade de ele ser aprovado em pelo menos uma das duas provas.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O clima em uma cidade litorânea segue um padrão curioso: se um dia está ensolarado, a probabilidade de no dia seguinte chover é $0,2$. Se um dia chove, a probabilidade de no dia seguinte continuar chovendo é $0,6$. Sabendo que hoje é segunda-feira e está ensolarado, qual é a probabilidade de na quarta-feira chover? Desenhe o diagrama de árvore correspondente aos dias Terça-feira e Quarta-feira.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas equipes de e-sports, Alpha e Beta, jogam a final de um torneio à melhor de três partidas (a primeira que ganhar duas partidas é a campeã). Alpha é uma equipe melhor, por isso sua probabilidade de ganhar qualquer partida é $0,6$. As partidas não podem terminar em empate. Desenhe o diagrama de árvore dos possíveis desenvolvimentos da final e calcule a probabilidade de a equipe Beta ganhar o torneio.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um jogo de tabuleiro, um jogador deve superar um fosso saltando sobre três plataformas sucessivas. A probabilidade de escorregar na primeira plataforma é $\frac{1}{10}$. Se superar a primeira, a probabilidade de escorregar na segunda é $\frac{1}{5}$. Se superar a segunda, a probabilidade de escorregar na terceira é $\frac{1}{4}$. Se escorregar em qualquer plataforma, cai no fosso e perde. Qual é a probabilidade de o jogador atravessar o fosso com sucesso? Se soubermos que o jogador caiu no fosso, qual é a probabilidade de ter caído exatamente na segunda plataforma?

De acordo com os registros da AEMET em uma localidade do norte, em novembro chove em $10\,\%$ dos dias. Os dados da empresa municipal de transportes indicam que, se chover, a probabilidade de uma linha de ônibus sofrer um atraso considerável é de $0,40$; por outro lado, se não chover, essa probabilidade se reduz para $0,05$.\na) Antes de calcular qualquer coisa, faça uma estimativa intuitiva: se em um dia qualquer de novembro essa linha sofrer um atraso considerável, você acha mais provável que tenha chovido ou que não tenha chovido? Justifique brevemente a sua intuição considerando o peso de cada tipo de dia.\nb) Modele a situação com um diagrama de árvore e calcule a probabilidade total de o ônibus sofrer um atraso considerável em um dia de novembro.\nc) Calcule, por meio do teorema de Bayes, a probabilidade de ter chovido sabendo que o ônibus chegou atrasado. Verifique se a sua estimativa inicial do item a) estava correta ou se você caiu na «falácia da taxa base».

De acordo com dados do Detran sobre o exame de direção prático, em um determinado estado $45\,\%$ dos candidatos são aprovados na primeira tentativa. Aqueles que são reprovados fazem uma segunda tentativa após terem aulas de reforço, conseguindo ser aprovados nessa segunda tentativa $60\,\%$ deles. Os que são reprovados na segunda tentativa não continuam nesse ano.\na) Modele todo o processo por meio de um diagrama de árvore, indicando em cada nó e ramo os eventos («aprovado na 1ª», «reprovado na 1ª», «aprovado na 2ª», «reprovado na 2ª») e as respectivas probabilidades associadas.\nb) Que porcentagem total de candidatos obtém a carteira de motorista em no máximo duas tentativas?\nc) Se selecionarmos ao acaso uma pessoa que tenha obtido a carteira nesse processo, qual é a probabilidade de ela ter conseguido na primeira tentativa? Interprete o que significa esse valor para a gestão das listas de espera da autoescola.

Em uma cidade, $20\,\%$ dos motoristas são jovens (menores de 25 anos) e $80\,\%$ são adultos. A probabilidade de um motorista jovem ter um acidente em um ano é $0,15$, enquanto para um adulto é $0,05$. Seleciona-se um motorista ao acaso e resulta que ele teve um acidente este ano. Utilizando os ramos de um diagrama de árvore, calcule a probabilidade de esse motorista ser jovem. (Expresse o resultado como fração irredutível).

Em uma competição, um arqueiro dispõe de um máximo de três flechas para acertar o alvo. A probabilidade de acertar com a primeira flecha é $0,4$. Se errar, ajusta sua mira e a probabilidade de acertar com a segunda é $0,6$. Se voltar a errar, fica nervoso e a probabilidade de acertar com a terceira é $0,3$. O arqueiro para de atirar no momento em que acerta. Calcule a probabilidade de o arqueiro precisar realizar mais de um tiro sabendo que finalmente conseguiu acertar o alvo.