Resolução de sistemas e regra de Cramer

Determine de forma fundamentada qual dos seguintes sistemas de equações é um Sistema de Cramer e, portanto, possui uma única solução que pode ser encontrada por meio de determinantes:

1. a) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Justifique sua resposta analisando o número de equações, o número de incógnitas e o valor do determinante da matriz de coeficientes.

Um nutricionista projeta uma dieta personalizada para um atleta combinando três tipos de alimentos ($A, B$ e $C$). As quantidades de proteínas, carboidratos e gorduras por unidade de alimento são dadas pelo seguinte sistema de equações, onde $x, y, z$ representam as unidades de cada alimento necessárias para atingir os objetivos diários:

$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$

1. a) Escreva a matriz de coeficientes $A$ e a matriz ampliada $A^*$.
2. b) Verifique que o sistema é de Cramer calculando o determinante de $A$.
3. c) Encontre o valor da incógnita $x$ aplicando exclusivamente a Regra de Cramer.

Dois amigos, Ana e Marcos, estão comparando as suas assinaturas de plataformas de streaming. A Ana paga por um plano de "Cinema" e dois de "Séries" um total de $16$ reais por mês. O Marcos, por sua vez, tem contratados dois planos de "Cinema" e um de "Séries" por $17$ reais mensais. A figura resume os planos que cada um tem.

1. a) Expresse a situação por meio de um sistema de duas equações com duas incógnitas (chame de $x$ o preço mensal do plano de Cinema e de $y$ o do plano de Séries).

1. b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes.

1. c) Resolva o sistema utilizando a Regra de Cramer para determinar o preço mensal de cada plano.

O Hugo está resolvendo o seguinte sistema de duas equações lineares com duas incógnitas por meio da regra de Cramer:

$$\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2y + x = 7 \end{cases}$$

Na prova, ele escreveu o seguinte desenvolvimento:

«Escrevo a matriz de coeficientes $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. O seu determinante é $|A| = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 5 \ne 0$, de modo que se trata de um sistema de Cramer.

Substituo a coluna de termos independentes para encontrar a incógnita $x$:

$|A_x| = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = 7 - (-7) = 14$.

Portanto, aplicando a fórmula de Cramer: $x = \dfrac{|A|}{|A_x|} = \dfrac{5}{14}$».

1. a) Identifique e explique detalhadamente os dois erros conceituais cometidos pelo Hugo na resolução.
2. b) Escreva a matriz de coeficientes correta $A$, calcule o seu determinante e justifique por que o sistema é possível e determinado de acordo com o critério de Cramer.
3. c) Aplique corretamente a regra de Cramer para calcular a solução exata e completa $(x, y)$ do sistema.

Na cafeteria de uma escola, um grupo de professores fez dois pedidos:

• Pedido 1: $3$ cafés e $2$ torradas por um total de $7,10$ reais.

• Pedido 2: $2$ cafés e $4$ torradas por um total de $7,40$ reais.

Chame de $x$ o preço de um café e de $y$ o preço de uma torrada (em reais).

1. a) Expresse o problema em forma matricial $A \cdot X = B$, indicando as matrizes $A$, $X$ e $B$.

1. b) Calcule a matriz inversa $A^{-1}$.

1. c) Embora o sistema possa ser resolvido por inversão de matrizes, aplique a regra de Cramer para obter o preço de um café e o de uma torrada, e verifique que coincidem com os que dá $X = A^{-1} \cdot B$.

Em um torneio de eSports, são concedidos pontos por partidas ganhas ($x$), empatadas ($y$) e por objetivos secundários cumpridos ($z$). Uma equipe obteve os seguintes resultados em três rodadas:

• Rodada 1: $1$ vitória, $1$ empate e $1$ objetivo secundário = $10$ pontos.

• Rodada 2: $2$ vitórias e $1$ empate = $13$ pontos.

• Rodada 3: $1$ vitória e $2$ objetivos secundários = $11$ pontos.

1. a) Monte o sistema de equações associado.
2. b) Resolva-o pela Regra de Cramer para determinar quantos pontos vale cada conceito.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares utilizando a Regra de Cramer:

$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$

Para isso, identifique primeiro a matriz de coeficientes $A$ e calcule o seu determinante. Em seguida, obtenha os determinantes das matrizes auxiliares $A_x$, $A_y$ e $A_z$ para encontrar o valor das incógnitas.

Geometricamente, três planos no espaço podem se intersectar em um único ponto. Este ponto representa a solução única de um sistema de três equações com três incógnitas.

Dado o sistema que representa a posição de três planos:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$

Demonstre, usando o determinante da matriz de coeficientes, que os três planos se intersectam em um único ponto e encontre suas coordenadas $(x, y, z)$ por meio da Regra de Cramer.

Dado o sistema de equações lineares:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$

Utilize a Regra de Cramer para calcular unicamente o valor da incógnita $z$. Indique claramente os dois determinantes que você precisou calcular para obter o resultado.

Uma empresa de logística utiliza três tipos de drones ($D_1$, $D_2$ e $D_3$) para entregar pacotes em uma cidade. Sabe-se que:

• Em uma hora, 2 drones $D_1$, 1 drone $D_2$ e 3 drones $D_3$ podem entregar um total de 28 pacotes.

• Se operarem 1 drone $D_1$, 3 drones $D_2$ e 2 drones $D_3$, entregam 25 pacotes.

• Com 3 drones $D_1$, 2 drones $D_2$ e 1 drone $D_3$, a capacidade é de 27 pacotes.

Monte um sistema de equações em que as incógnitas sejam a capacidade de entrega por hora de cada tipo de drone e resolva-o utilizando a Regra de Cramer.

Um data center consome energia de três fontes: solar ($x$), eólica ($y$) e hídrica ($z$). Os custos por MWh e a produção total devem satisfazer o seguinte equilíbrio financeiro:

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 5x + 10y + 15z = 950 \\ 2x - y + 3z = 110 \end{cases}$

Calcule a quantidade de MWh necessários de cada fonte utilizando a Regra de Cramer. Justifique se o resultado obtido é coerente com o contexto (quantidades não negativas).

Considere o sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = k \end{cases}$

1. a) Encontre o determinante da matriz de coeficientes em função de $k$.
2. b) Determine para quais valores de $k$ o sistema não pode ser resolvido aplicando a Regra de Cramer.
3. c) Para $k = 2$, resolva o sistema utilizando essa regra.

Dado o sistema dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Demonstre que para $k = 2$ o sistema é um sistema de Cramer.
2. b) Resolva o sistema para esse valor de $k = 2$ aplicando o método de Cramer.

Determine a matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ e utilize-a para resolver o sistema de equações $AX = B$, sendo $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Relacione este método com a Regra de Cramer comentando qual papel o determinante da matriz desempenha em ambos os procedimentos.

Três planos no espaço são dados pelas seguintes equações:

$\pi_1 \equiv x + y + z = 2$

$\pi_2 \equiv 2x - y + 3z = 9$

$\pi_3 \equiv 3x + 2y - z = -1$

Determine a posição relativa dos três planos resolvendo o sistema por Cramer. Se o sistema tiver solução única, o que esse ponto representa geometricamente em relação aos três planos?

Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \\ 2x - y + kz = 0 \end{cases}$

1. a) Determine o valor de $k$ para que o sistema seja Compatível Determinado.
2. b) Para um valor de $k$ que faça com que o sistema seja de Cramer (por exemplo, $k=1$), verifique por meio da Regra de Cramer que a única solução é a trivial $(0, 0, 0)$.
3. c) Explique graficamente o que significa a única solução ser a trivial em termos de planos que passam pela origem.

Dadas as matrizes $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Determine os valores do parâmetro real $m$ para os quais a matriz $A$ é invertível.
2. b) Para $m = 0$, resolva a equação matricial $A \cdot X + B = 2B$, em que $X$ é uma matriz de dimensões adequadas.
3. c) Proponha um sistema de equações que permita calcular a primeira coluna da matriz $X$ e resolva-o usando a Regra de Cramer.