Exercícios: Medida de ângulos: graus e radianos

Expresse em radianos, utilizando frações irredutíveis de $\pi$, os seguintes ângulos dados em graus: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.

Converta para graus sexagesimais os seguintes ângulos expressos em radianos: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.

Reduza os seguintes ângulos à primeira volta (ou seja, encontre seu ângulo equivalente entre $0^\circ$ e $360^\circ$) e indique em que quadrante se situa o lado final de cada um: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.

Encontre o ângulo positivo equivalente na primeira volta (compreendido entre $0$ e $2\pi$ rad) para os seguintes ângulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcule o ângulo central subtendido por um arco de $12$ cm de comprimento em uma circunferência cujo raio é de $4$ cm. Expresse o resultado tanto em radianos quanto em graus sexagesimais.

Determine o comprimento do arco que descreve a extremidade inferior de um pêndulo de $60$ cm de comprimento quando oscila um ângulo de $\frac{\pi}{8}$ radianos.

Calcule a soma dos ângulos internos de um octógono regular e expresse o valor de cada um dos seus ângulos internos em radianos, utilizando frações de $\pi$.

Um ângulo mede exatamente $3$ radianos. Sem utilizar a calculadora, raciocine se este ângulo é maior, menor ou igual a um ângulo raso ($180^\circ$) e determine em que quadrante se encontra.

A Lucía precisa calcular a área de um canteiro com a forma de um setor circular, cujo raio mede $6\text{ m}$ e cujo ângulo central é de $45^\circ$. Para resolver, ela aplica diretamente a fórmula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ e escreve na prova:

Ao ver o resultado, o professor orienta que ela reveja os cálculos, pois o círculo completo de raio $6\text{ m}$ tem apenas cerca de $113,1\text{ m}^2$ de superfície. Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual cometido pela Lucía, justifique por que a fórmula utilizada exige que o ângulo seja expresso em radianos e calcule a solução correta, tanto de forma exata (em função de $\pi$) quanto com aproximação de duas casas decimais.

Em uma pista de treino circular de $50\text{ m}$ de raio, um atleta percorre um arco que subtende um ângulo central de $2,4\text{ rad}$.

1. a) Antes de efetuar operações, faça uma estimativa intuitiva: sabendo que um radiano é o ângulo central cujo arco mede exatamente o mesmo que o raio, raciocine sem calculadora se a distância percorrida pelo atleta superará os $100\text{ m}$ e se será maior ou menor do que $150\text{ m}$.
2. b) Levando em conta que $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (quase $60^\circ$), estime mentalmente o valor aproximado do ângulo em graus sexagesimais.
3. c) Calcule agora com precisão o comprimento do arco percorrido e o valor exato do ângulo em graus sexagesimais (arredondado em duas casas decimais). Compare os resultados com as suas estimativas anteriores e avalie de forma fundamentada se a sua aproximação inicial foi acertada.

Um disco de vinil gira em um toca-discos a uma velocidade de $33$ revoluções por minuto (rpm). Calcule sua velocidade angular em radianos por segundo e determine o ângulo, em radianos, que um ponto de sua borda descreve em $2,5$ segundos.

Em uma pista de atletismo circular, um corredor se desloca pela raia interna mantendo-se a $50$ metros do centro. Se ele percorre uma distância de $120$ metros, calcule o ângulo que ele descreveu em relação ao centro da pista em radianos. Expresse também esse resultado em graus, minutos e segundos.

Calcule o menor ângulo, expresso em graus sexagesimais e em radianos, que os ponteiros de um relógio analógico (de horas e minutos) formam exatamente às 16:20 h.

Duas cidades, A e B, estão situadas sobre o mesmo meridiano terrestre. A latitude da cidade A é $41^\circ$ Norte e a latitude da cidade B é $28^\circ$ Sul. Supondo que a Terra é uma esfera perfeita com um raio médio de $6371$ km, calcule a distância em linha reta sobre a superfície terrestre que separa as duas cidades.

Uma roda-gigante tem um diâmetro de $40$ metros e conta com $24$ cabines espaçadas uniformemente ao longo de sua borda exterior. Calcule a distância ao longo do arco da roda-gigante que separa duas cabines consecutivas e o ângulo em radianos que elas formam em relação ao eixo central.

O sistema de transmissão de uma máquina industrial consiste em duas polias conectadas por uma correia tensa. A polia motriz tem um raio de $15$ cm e a polia movida tem um raio de $45$ cm. Se a polia motriz gira um ângulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianos, calcule quantos radianos gira a polia movida e quantas voltas completas dá.

Um aspersor de irrigação agrícola cobre um setor circular. O jato de água atinge uma distância máxima de $18$ metros e a cabeça do aspersor varre um ângulo de $140^\circ$. Calcule a área total do terreno irrigado e o comprimento do arco exterior que a água descreve.

Os três ângulos de um triângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que o maior ângulo mede $80^\circ$, determine a medida dos três ângulos expressa em radianos (utilizando frações de $\pi$).

Para regar um gramado em um parque público, utiliza-se um aspersor oscilante com um alcance de $8\text{ m}$ que varre um ângulo de $135^\circ$. Dois técnicos de manutenção calculam a superfície regada seguindo caminhos diferentes:

• Método A (Marcos): Propõe uma proporção direta baseada na geometria clássica em graus: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Método B (Sara): Converte primeiro o ângulo para radianos na forma de fração irredutível de $\pi$ e aplica em seguida a expressão $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Desenvolva ambos os procedimentos passo a passo e verifique se ambos os técnicos obtêm o mesmo resultado numérico exato.
2. b) Analise as vantagens e as desvantagens de cada método. Qual dos dois é mais direto e coerente se em seguida for pedido para calcular a velocidade linear da água na extremidade, sabendo que o aspersor completa esse movimento de varredura em $3\text{ s}$? Justifique a sua resposta utilizando a relação $v = \omega\cdot r$.

Projeta-se construir uma área de recreação infantil com a forma de um setor circular, a qual será cercada em todo o seu perímetro (os dois lados retilíneos correspondentes aos raios e o lado curvo do arco) utilizando exatamente $36\text{ m}$ de cerca metálica.

1. a) Expresse a área $A$ do setor circular exclusivamente em função do raio $r$, eliminando o ângulo $\theta$ (em radianos) por meio da condição do perímetro total da cerca.
2. b) Se for decidido fixar o raio da zona em $r = 9\text{ m}$, determine o ângulo central $\theta$ que o setor deve ter (em radianos e em graus sexagesimais). Que fração exata do círculo completo essa zona representa?
3. c) Resolva o problema inverso: se for imposto que o ângulo central seja obrigatoriamente $\theta = 2\text{ rad}$, quanto deve medir o raio para consumir exatamente os $36\text{ m}$ de cerca? Demonstre que, com esse valor de ângulo central, o comprimento do arco curvo é sempre igual à soma dos dois raios retilíneos, seja qual for o comprimento total de cerca disponível.

Um farol marítimo projeta um feixe de luz que gira com velocidade angular constante de $4$ rotações por minuto. O feixe ilumina a superfície do mar até uma distância máxima de $5$ km. Devido ao relevo da costa, existe um setor cego de $\frac{2\pi}{5}$ radianos em direção ao interior do continente, onde a luz não é visível. Calcule a área total do mar que o farol ilumina em cada volta completa e o tempo exato, em segundos, que o feixe de luz leva para atravessar a zona visível.

Determine a hora exata, compreendida entre as 7:00 h e as 8:00 h, na qual os ponteiros de um relógio analógico (de horas e minutos) se encontram perfeitamente sobrepostos. Expresse também o ângulo total percorrido pelo ponteiro das horas desde as 7:00 h até esse instante preciso, em radianos.

O raio das rodas de um automóvel é de $32$ cm. Se o veículo viaja com uma velocidade constante de $90$ km/h, calcule a velocidade angular das rodas expressa em radianos por segundo. Em seguida, determine o ângulo total girado por uma roda em um trajeto de $15$ minutos e converta-o para número de voltas completas.

Um trem de engrenagens é composto por três rodas dentadas A, B e C montadas em série, de modo que A engrena com B, e B engrena com C. Os raios primitivos das rodas são $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm e $R_C = 20$ cm. Se a roda A gira um ângulo de $150^\circ$ no sentido horário, determine o ângulo de giro da roda C em radianos e especifique seu sentido de giro.

No histórico experimento de Eratóstenes, observou-se que na cidade de Siena os raios solares incidiam perpendicularmente ao solo (ângulo $0^\circ$) ao meio-dia do solstício de verão. Ao mesmo tempo, em Alexandria, situada aproximadamente a $800$ km ao norte sobre o mesmo meridiano, os raios formavam um ângulo de $\frac{\pi}{25}$ radianos com a vertical. A partir exclusivamente desses dados, deduza o raio da Terra e o comprimento de sua circunferência meridiana.

Um rolo cilíndrico de $25$ cm de raio é utilizado para compactar o asfalto de uma rua. Ao empurrá-lo, o rolo avança em linha reta rolando sem deslizar e dá exatamente $14,5$ voltas completas. Calcule a distância horizontal percorrida pelo eixo do rolo em metros e o ângulo total girado por qualquer ponto de sua superfície, expresso em graus sexagesimais.

Considere um setor circular inicial de raio $R$ e ângulo central $\alpha$ (em radianos). Projeta-se um novo setor circular com o objetivo de que sua área seja exatamente igual à do setor original. Se, por restrições de projeto, o raio do novo setor deve ser o triplo do original ($3R$), determine algebricamente que fração do ângulo $\alpha$ o novo setor deve ter.

Um pêndulo de comprimento $L = 1$ metro oscila descrevendo arcos de circunferência; cada oscilação é o percurso de um extremo ao extremo oposto. Em sua primeira oscilação, o ângulo máximo que forma com a vertical é de $\frac{\pi}{6}$ radianos. Devido ao atrito, em cada oscilação posterior, o ângulo máximo atingido se reduz em $10\%$ em relação à oscilação imediatamente anterior. Armando a soma da série geométrica infinita correspondente, calcule a distância total percorrida pela massa do pêndulo até parar por completo.

Em um parque eólico situado no estado da Bahia, um aerogerador de três pás dispõe de um rotor cujo raio (comprimento de cada pá) é de $65\text{ m}$. O rotor gira a uma velocidade angular constante de $14\text{ rpm}$ (rotações por minuto).

1. a) Modele a velocidade angular $\omega$ do rotor, expressando-a em $\text{rad/s}$ (apresente tanto a fração exata em múltiplos de $\pi$ quanto o valor decimal aproximado com três algarismos significativos).
2. b) Determine a velocidade linear $v$ com que se desloca a ponta externa de cada pá em $\text{m/s}$ e converta-a para $\text{km/h}$. Compare de forma fundamentada este resultado com a velocidade máxima permitida em uma rodovia brasileira ($120\text{ km/h}$) e interprete as exigências mecânicas que as extremidades das pás sofrem em relação às zonas próximas do eixo.
3. c) Um técnico de manutenção instala um sensor de vibração em um ponto intermediário de uma pá. Se o sensor registrar uma velocidade linear de exatamente $50\text{ km/h}$, calcule a que distância do eixo de rotação ele está colocado e deduza o comprimento total do arco (em quilômetros) que esse sensor terá traçado após uma jornada ininterrupta de funcionamento de $8\text{ horas}$.

Durante uma etapa plana do Tour do Brasil, um ciclista pedala numa bicicleta de competição cuja roda traseira tem um raio exterior total de $35\text{ cm}$ (incluindo o pneu). O sistema de transmissão é composto por uma coroa de raio $r_1 = 10,5\text{ cm}$ e uma catraca traseira de raio $r_2 = 4,2\text{ cm}$, unidas por uma corrente esticada e inextensível que não escorrega.

1. a) Deduza algebricamente a relação entre a velocidade angular da coroa $\omega_{\text{prato}}$ e a velocidade angular da roda traseira $\omega_{\text{roda}}$, apoiando-se no fato de a corrente transmitir a mesma velocidade linear às bordas de ambas as engrenagens ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Raciocine se essa redução mecânica multiplica a velocidade angular ou a força do ciclista.
2. b) A bicicleta se desloca pelo asfalto a uma velocidade linear constante de $42\text{ km/h}$. Por meio de uma abordagem inversa, calcule a velocidade angular da roda traseira em $\text{rad/s}$ e a cadência de pedalada do ciclista expressa em rotações por minuto (rpm).
3. c) Se o ciclista percorrer um trecho retilíneo de $2,1\text{ km}$, calcule o ângulo total girado pela roda traseira em radianos e o ângulo total girado pelo eixo dos pedais em radianos. Verifique que o quociente entre os dois ângulos coincide com a relação de transmissão deduzida no item a.