Probabilidade condicional e dependência

Em uma turma de $30$ alunos, $18$ estudam francês, $12$ estudam alemão e $5$ estudam ambos os idiomas. Se um aluno é escolhido ao acaso e se sabe que ele estuda francês, qual é a probabilidade de que também estude alemão?

Lançamos dois dados comuns de seis faces. Sabendo que a soma dos pontos obtidos é $8$, qual é a probabilidade de que em um dos dados tenha saído um $3$?

Em um vilarejo, $45\%$ dos habitantes leem o jornal X, $35\%$ leem o jornal Y, e $15\%$ leem ambos os jornais. Se escolhermos um habitante ao acaso e soubermos que ele lê o jornal X, qual é a probabilidade de que também leia o jornal Y? À luz dos resultados, raciocine se os eventos "ler o jornal X" e "ler o jornal Y" são independentes.

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório. Sabemos que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Verifique matematicamente se os eventos $A$ e $B$ são independentes.

Retira-se uma carta de um baralho espanhol e, em seguida, lança-se uma moeda para cima. Esses dois eventos são dependentes ou independentes? Calcule a probabilidade de obter um "Ás" no baralho e "Cara" na moeda.

O Marcos tem em uma gaveta $5$ meias pretas e $3$ meias azuis, todas soltas e idênticas ao tato. Ele vai retirar duas meias consecutivamente, no escuro e sem reposição. Para calcular a probabilidade de a primeira meia ser preta e a segunda ser azul, o Marcos escreve no caderno:

«$P(\text{Preta na 1.ª}) = \frac{5}{8}$ e $P(\text{Azul na 2.ª}) = \frac{3}{8}$. Como são dois eventos independentes, multiplico ambas as probabilidades: $P(\text{Preta e Azul}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$».

1. a) Aponte o erro conceitual cometido pelo Marcos e explique com suas palavras por que duas retiradas consecutivas sem reposição não podem ser tratadas como eventos independentes.
2. b) Corrija o cálculo aplicando a regra do produto para eventos dependentes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
3. c) Calcule a probabilidade de as duas meias retiradas serem da mesma cor.

Em uma urna há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas azuis. Retiram-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha e a segunda seja azul.

De um baralho espanhol de $40$ cartas, extraem-se duas cartas ao acaso, uma após a outra e sem reposição. Qual é a probabilidade de que ambas as cartas sejam reis?

De uma caixa que contém $10$ lâmpadas, sabe-se que $3$ delas estão queimadas. Retiram-se $3$ lâmpadas sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de que exatamente uma das lâmpadas retiradas esteja queimada?

Em uma estante há $5$ romances e $3$ livros de poesia. Escolhem-se dois livros ao acaso, um após o outro e sem reposição. Se o segundo livro escolhido foi de poesia, qual é a probabilidade de que o primeiro livro escolhido também tenha sido?

Um jogador retira cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas, uma a uma e sem reposição, até que saia uma figura (valete, cavalo ou rei). Qual é a probabilidade de ter que retirar exatamente $3$ cartas para atingir seu objetivo?

Em uma fábrica, a máquina A produz $60\%$ das peças e a máquina B produz os $40\%$ restantes. Sabe-se que $2\%$ das peças produzidas por A são defeituosas, enquanto na máquina B a porcentagem de defeituosas é de $5\%$. Se uma peça for escolhida ao acaso do almoxarifado, qual é a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina B e seja defeituosa?

Um jogador de basquete tem uma porcentagem de acerto de $80\%$ no primeiro lance livre. Se acertar o primeiro, sua confiança aumenta e a probabilidade de acertar o segundo lance livre sobe para $90\%$. No entanto, se errar o primeiro, fica nervoso e a probabilidade de acertar o segundo cai para $60\%$. Calcule a probabilidade de o jogador converter exatamente um lance livre em uma série de dois lançamentos.

Temos duas caixas. A CAIXA I contém $4$ bolas verdes e $2$ amarelas. A CAIXA II contém $3$ bolas verdes e $5$ amarelas. Retiramos uma bola ao acaso da CAIXA I e a introduzimos na CAIXA II. Em seguida, misturamos bem e retiramos uma bola da CAIXA II. Qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam verdes?

De acordo com dados de mobilidade inspirados no Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) para uma operação de saída de feriado, em um estado, $70\%$ dos deslocamentos intermunicipais são realizados por rodovia ($A$) e os restantes $30\%$ por estradas convencionais secundárias ($S$). Sabe-se que a probabilidade de sofrer um congestionamento grave ($R$) é de $0,15$ se a pessoa circular por rodovia, enquanto em estrada secundária essa probabilidade se reduz para $0,05$.

1. a) Modele a situação construindo um diagrama de árvore completo que reflita os eventos de cada etapa e suas probabilidades associadas (a priori e condicionais).
2. b) Utilize o teorema da probabilidade total para calcular a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso nessa viagem sofrer um congestionamento grave.
3. c) Se um motorista chega ao seu destino após ter sofrido um congestionamento grave, qual é a probabilidade de ele ter feito a viagem por rodovia? Interprete por que razão essa porcentagem resulta tão elevada, apesar de as rodovias serem projetadas para suportar maior fluidez de tráfego.

Temos três cofres idênticos por fora. O COFRE A contém $2$ moedas de ouro e $1$ de prata. O COFRE B contém $1$ moeda de ouro e $3$ de prata. O COFRE C contém $4$ moedas de ouro. Lançamos um dado equilibrado: se sair $1$ ou $2$, escolhemos o cofre A; se sair $3$, escolhemos o cofre B; se sair $4$, $5$ ou $6$, escolhemos o cofre C. Em seguida, retiramos uma moeda ao acaso do cofre escolhido. Qual é a probabilidade de que a moeda retirada seja de ouro?

Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de obter Cara é $0,7$. A moeda é lançada duas vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de obter exatamente uma Cara e uma Coroa (em qualquer ordem).

Dois arqueiros atiram uma flecha no mesmo alvo. O arqueiro A acerta com uma probabilidade de $0,7$ e o arqueiro B acerta com uma probabilidade de $0,8$. Seus tiros são totalmente independentes. Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido por pelo menos uma flecha?

Um sistema de segurança da informação tem dois firewalls independentes. A probabilidade de o firewall A falhar diante de um ataque é $0,15$ e a probabilidade de o firewall B falhar é $0,10$. O sistema é comprometido apenas se ambos os firewalls falharem. Qual é a probabilidade de o sistema resistir a um ataque? Se for adicionado um terceiro firewall C idêntico a B e independente dos anteriores, quanto aumenta a probabilidade de o sistema resistir ao ataque?

Em uma urna opaca há $10$ bolas idênticas ao tato, das quais $r$ são vermelhas e as restantes são brancas. Retiram-se ao acaso duas bolas consecutivamente e sem reposição.

1. a) Sabendo que a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas é exatamente igual a $\frac{1}{15}$, formule uma equação algébrica em função de $r$ utilizando a regra do produto para eventos dependentes e resolva-a para determinar quantas bolas de cada cor a urna continha no início.
2. b) Com a composição da urna já deduzida, calcule a probabilidade de a segunda bola ser branca sabendo que a primeira bola retirada foi vermelha, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Demonstre matematicamente se o evento «obter bola branca na segunda retirada» é dependente ou independente do resultado obtido na primeira, comparando $P(B_2 \mid R_1)$ com a probabilidade a priori de obter branca na primeira retirada, $P(B_1)$.

Em uma urna há $x$ bolas vermelhas e $5$ bolas pretas. Extraem-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é exatamente $\frac{1}{6}$, formule uma equação e determine o número de bolas vermelhas $x$ que há na urna.

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um mesmo experimento aleatório tais que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizando as propriedades da probabilidade, encontre o valor da interseção e calcule $P(A|B)$ e $P(B|A)$. $A$ e $B$ são eventos independentes? Justifique sua resposta.

Uma bolsa opaca contém $10$ bilhetes idênticos ao tato: $2$ deles têm prêmio e $8$ estão em branco. Três amigos, Fátima, Bruno e Lucas, retiram consecutivamente e sem reposição um bilhete cada um nessa mesma ordem. Qual é a probabilidade de o primeiro prêmio ser retirado por Lucas?

Num grupo de $30$ estudantes do 4.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (ESO), realiza-se um inquérito sobre passatempos: $18$ jogam habitualmente videojogos, $12$ praticam desporto federado e $6$ realizam ambas as atividades.

1. a) Se se escolher um estudante ao acaso de toda a turma, calcula a probabilidade a priori de que pratique desporto federado, $P(D)$.
2. b) Antes de realizar qualquer cálculo formal, estima fundamentadamente: se escolhermos ao acaso um estudante unicamente de entre os que jogam videojogos, a probabilidade de que pratique desporto federado será maior, igual ou menor do que a obtida na alínea anterior? Justifica a tua previsão comparando a proporção global com a do subgrupo.
3. c) Verifica numericamente a tua estimativa calculando a probabilidade condicionada $P(D \mid V)$ através da sua definição $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$. O resultado exato confirma o teu raciocínio prévio?

Em uma escola, $55\%$ dos alunos são garotas. Sabe-se que $20\%$ das garotas e $25\%$ dos garotos participam ativamente do clube de teatro. Se for escolhido ao acaso um estudante que participa do clube de teatro, qual é a probabilidade de que seja uma garota?

Temos dois dados cúbicos em um copo de dados. O primeiro é um dado normal com as faces numeradas de $1$ a $6$. O segundo é um dado viciado que tem três faces com um $2$, duas faces com um $3$ e uma face com um $5$. Escolhe-se um dado ao acaso (com probabilidade $\frac{1}{2}$ para cada um) e ele é lançado. Se o resultado obtido for um número par, qual é a probabilidade de ter sido lançado o dado viciado?

Em uma clínica é realizado um teste rápido de alergia. Sabe-se que $8\%$ dos pacientes são alérgicos a uma determinada substância. O teste dá um resultado positivo em $90\%$ dos pacientes que realmente são alérgicos. No entanto, também dá um falso positivo em $5\%$ dos pacientes que não são alérgicos. Escolhe-se um paciente ao acaso e realiza-se o teste nele. Qual é a probabilidade de que o resultado seja positivo?

Em uma unidade de saúde escolar, avalia-se a confiabilidade de um teste de diagnóstico rápido para detectar uma infecção assintomática. Os dados epidemiológicos indicam que a prevalência da infecção na população-alvo é de $2\%$ ($0,02$). A sensibilidade do teste é de $95\%$ (se uma pessoa estiver infectada, tem resultado positivo com probabilidade $0,95$) e a taxa de falsos positivos é de $5\%$ (se uma pessoa for saudável, tem resultado positivo por erro com probabilidade $0,05$). Deseja-se calcular a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo estar realmente infectada, $P(I \mid +)$.

Dois estudantes propõem métodos de resolução distintos:

• Método 1 (Formal analítico): Definir os eventos, calcular a probabilidade total $P(+)$ somando os dois ramos da árvore e aplicar o teorema de Bayes: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Método 2 (Tabela de contingência com frequências naturais): Supor uma população hipotética de $10.000$ pessoas, distribuí-las em uma tabela de dupla entrada de $2 \times 2$ de acordo com o estado real e o resultado do teste, e calcular o quociente direto de infectados pelo total de positivos.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos e verifique que se obtém exatamente o mesmo valor numérico (arredonde o resultado a uma casa decimal em porcentagem).
2. b) Compare criticamente os dois caminhos: qual dos dois métodos você considera mais adequado e compreensível para explicar a um paciente sem formação matemática por que um teste com «$95\%$ de acerto» produz uma probabilidade real de estar doente tão inesperadamente baixa? Justifique a sua escolha explicando o papel que os falsos positivos desempenham no denominador.

Em um processo penal, analisa-se uma amostra biológica encontrada no local do crime. O relatório forense conclui que apenas $1$ em cada $100.000$ pessoas escolhidas ao acaso compartilha o referido perfil genético; isto é, a probabilidade de coincidência acidental em um indivíduo inocente é $P(\text{Coincidência} \mid \text{Inocente}) = 0,00001$.

O promotor de justiça no julgamento acusa o suspeito Pedro, argumentando o seguinte: «Dado que o DNA de Pedro coincide plenamente com a amostra, a probabilidade de que seja inocente é de apenas $0,001\%$, pelo que a sua culpa fica provada com uma certeza de $99,999\%$.»

O juiz solicita uma perícia assumindo que o crime foi cometido em uma cidade fechada de $500.000$ habitantes adultos, entre os quais se encontra o único culpado, e sabendo que Pedro foi identificado unicamente por residir na cidade e ter sido submetido a uma triagem geral, sem que existam mais provas contra ele.

1. a) Identifique o grave erro conceitual cometido pelo Ministério Público (conhecido como «falácia do promotor»), explicando com clareza quais as duas probabilidades condicionais distintas que foram confundidas e escrevendo cada uma com a sua notação simbólica $P(\dots \mid \dots)$.
2. b) Utilizando o teorema de Bayes ou deduzindo o número esperado de coincidências na população de $500.000$ habitantes, calcule a probabilidade real de Pedro ser culpado sabendo que o seu DNA coincidiu: $P(\text{Culpado} \mid \text{Coincidência})$.
3. c) Redija uma conclusão dirigida ao tribunal na qual você justifique, apoiando-se no resultado numérico obtido, por que razão a prova de DNA por si só é insuficiente para condenar o réu sem provas adicionais.

Observe o seguinte diagrama de árvore que representa um experimento composto em duas etapas. Calcule a probabilidade de obter o resultado final $C$ passando pelo ramo $A$.