Arranjos
Em uma corrida de $100\text{ m}$ rasos, 8 atletas disputam as medalhas de ouro, prata e bronze. Você não vai ordenar os 8 atletas: vai escolher apenas 3 e colocá-los em posições diferentes. De quantas formas isso pode acontecer? Esse tipo de contagem se chama arranjo.
Arranjos simples
Pense como no princípio fundamental da contagem: para a 1ª posição há $n$ opções; para a 2ª, $n-1$ (um elemento já foi usado); e assim por diante, até a posição $p$, que tem $n-p+1$ opções.
$$A_{n,p} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$$Em uma galeria de arte serão expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção particular de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede…
Em uma galeria de arte serão expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção particular de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede direita. De quantas formas diferentes é possível organizar essa exposição?
Um clube de leitura tem $9$ membros. Eles devem escolher uma diretoria formada por uma presidência, uma vice-presidência e uma secretaria. Como os cargos são distintos e…
Um clube de leitura tem $9$ membros. Eles devem escolher uma diretoria formada por uma presidência, uma vice-presidência e uma secretaria. Como os cargos são distintos e cada pessoa só pode ocupar um, de quantas formas a diretoria pode ser formada?
Uma empresa tem $8$ funcionários e deve atribuir $5$ tarefas diferentes a $5$ funcionários distintos (uma tarefa por pessoa). Sabendo que a primeira tarefa deve ser…
Uma empresa tem $8$ funcionários e deve atribuir $5$ tarefas diferentes a $5$ funcionários distintos (uma tarefa por pessoa). Sabendo que a primeira tarefa deve ser realizada obrigatoriamente pelo funcionário mais antigo, de quantas formas as tarefas podem ser distribuídas?
Arranjos com repetição
E se o mesmo elemento puder aparecer várias vezes? Ao lançar um dado 4 vezes seguidas, o resultado de cada lançamento não depende dos anteriores: o 6 pode sair nas 4 vezes. Nenhuma opção é "gasta".
$$AR_{n,p} = n^p$$Cada uma das $p$ posições tem sempre as mesmas $n$ opções. É o princípio multiplicativo com o mesmo fator $n$ repetido $p$ vezes.
Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e anotamos o resultado de cada lançamento em ordem. Quantos resultados distintos podemos obter no…
Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e anotamos o resultado de cada lançamento em ordem. Quantos resultados distintos podemos obter no total?
Lançamos uma moeda para cima $6$ vezes consecutivas e anotamos a sequência exata de caras e coroas obtidas. Quantas sequências distintas podem ser formadas?
Lançamos uma moeda para cima $6$ vezes consecutivas e anotamos a sequência exata de caras e coroas obtidas. Quantas sequências distintas podem ser formadas?
Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas em uma rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de…
Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas em uma rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de correio diferentes, de quantas formas diferentes podemos pintá-las?
O sistema de placas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$…
O sistema de placas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$ consoantes. Em ambos os blocos é permitida a repetição de caracteres. Quantas placas distintas podem ser emitidas no total com este formato?
Arranjo, permutação ou repetição?
Antes de usar uma fórmula, faça duas perguntas: os elementos podem se repetir? e a ordem importa? (Trocar dois elementos de lugar gera um resultado diferente?)
Muitos problemas têm restrições (um algarismo obrigatório, número par, não começar por zero). A dica é começar pela posição mais restrita e depois preencher as outras.
Em uma corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas as medalhas de ouro, prata e bronze podem ser distribuídas, sabendo que não…
Em uma corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas as medalhas de ouro, prata e bronze podem ser distribuídas, sabendo que não pode haver empates?
Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?
Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?
Quantos números de $4$ algarismos podem ser formados com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?
Quantos números de $4$ algarismos podem ser formados com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?
Quantos números de $4$ algarismos distintos podem ser formados utilizando apenas os dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Considere que, por definição, um número válido não…
Quantos números de $4$ algarismos distintos podem ser formados utilizando apenas os dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Considere que, por definição, um número válido não pode começar pelo algarismo $0$.
Para acessar um banco de dados seguro é necessária uma senha de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais (permite-se…
Para acessar um banco de dados seguro é necessária uma senha de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais (permite-se que se repitam) e os três últimos caracteres devem ser números do $0$ ao $9$ (sem que nenhum se repita). Quantas senhas distintas cumprem este formato?
Equações com arranjos
Às vezes você conhece o resultado e precisa descobrir $n$. Escreva a fórmula, desenvolva e resolva a equação (do 2º grau, como no 9º ano), lembrando de conferir se a solução faz sentido.
Em uma liga de basquetebol participam $14$ equipes. Cada equipe deve jogar contra todas as outras duas vezes ao longo do ano (uma partida em casa e outra como…
Em uma liga de basquetebol participam $14$ equipes. Cada equipe deve jogar contra todas as outras duas vezes ao longo do ano (uma partida em casa e outra como visitante). Quantas partidas serão jogadas no total durante toda a temporada?
Em um torneio de xadrez joga-se em turno e returno (cada jogador enfrenta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Se sabemos que no total foram…
Em um torneio de xadrez joga-se em turno e returno (cada jogador enfrenta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Se sabemos que no total foram disputadas $90$ partidas, elabore a equação correspondente utilizando a fórmula dos arranjos e encontre quantos jogadores participaram do torneio.
Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$…
Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$ a $2$, elabore a equação matemática correspondente e encontre o valor de $x$.
Voltando ao início: as medalhas da corrida de 8 atletas podem ser distribuídas de $A_{8,3} = 336$ formas.