Permutações

Calcule o valor numérico das seguintes expressões com fatoriais: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ e $\frac{12!}{10!}$.

Um grupo de $6$ amigos vai ao teatro e compra ingressos para assentos consecutivos na mesma fileira. De quantas formas distintas eles podem se sentar para apreciar a peça?

Em uma galeria de arte vão ser expostos $5$ quadros de um artista local, pendurados em linha reta em uma parede principal. De quantas maneiras diferentes as obras podem ser ordenadas?

Durante uma competição de atletismo escolar, $7$ corredores chegam à linha de chegada sem que ocorra nenhum empate. Quantas classificações distintas podem ocorrer ao final da corrida?

Um festival de música tem programadas as apresentações de $4$ bandas de rock para a noite de sábado. De quantas formas é possível organizar a ordem em que subirão ao palco para tocar?

Para configurar uma senha segura, um aplicativo exige a utilização exata dos caracteres $A, B, C, 1, 2$, sem repetir nenhum deles. Quantas senhas distintas podem ser criadas no sistema?

Simplifique a seguinte expressão algébrica que envolve fatoriais, expressando o resultado em sua forma mais reduzida: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

Encontre o valor do número natural $x$ que satisfaz a seguinte equação, justificando matematicamente a sua resposta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.

Simplifique as frações algébricas e resolva a seguinte equação que contém fatoriais, encontrando o valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

Cinco amigos vão ao cinema e se sentam em poltronas contíguas. Dois deles, Amina e Pedro, querem sentar-se juntos para compartilhar a pipoca. De quantas maneiras os cinco amigos podem se acomodar cumprindo sempre essa condição?

Na final de uma prova de natação dos Jogos Olímpicos participam $8$ nadadores. Se sabemos com certeza qual nadador ganhou a medalha de ouro e qual chegou em último lugar devido a uma lesão, de quantas formas distintas os demais participantes podem ter se classificado nas posições intermediárias?

Um grupo formado por $3$ meninos e $3$ meninas vai se sentar em uma fileira de $6$ poltronas para ver um show. De quantas maneiras eles podem fazer isso se devem se sentar de modo que os sexos fiquem estritamente alternados (menino-menina-menino... ou menina-menino-menina...)?

Quantas palavras diferentes, com ou sem sentido, podem ser formadas reordenando todas as letras da palavra "ESTATISTICA" de modo que comecem obrigatoriamente pela letra $E$ e terminem pela letra $A$?

Na prateleira de uma biblioteca escolar serão colocados em fileira $4$ livros distintos de Matemática, $3$ livros distintos de Física e $2$ livros distintos de Química. Se a bibliotecária exige que os livros da mesma matéria permaneçam sempre juntos, formando um bloco, de quantas maneiras distintas eles podem ser ordenados na prateleira?

Num simpósio científico organizado na USP participam 6 palestrantes: 3 especialistas em física e 3 em matemática. Eles vão se apresentar de forma consecutiva na mesma sala e a comissão organizadora exige que não haja dois físicos se apresentando seguidos. Para determinar quantas programações válidas existem, dois estudantes propõem caminhos diferentes:

• Júlia propõe o método do complementar: «Calculamos todas as ordenações possíveis dos 6 palestrantes e subtraímos aquelas em que os físicos aparecem juntos».

• Lucas propõe o método dos espaços vagos: «Colocamos primeiro os 3 matemáticos em fila, identificamos os espaços disponíveis entre eles e nas extremidades, e colocamos aí os físicos».

1. a) Analise ambas as propostas e explique com precisão por que a estratégia de Júlia se revela extremamente complexa e propensa a erros neste caso concreto (indique que casos sobrepostos ou diferentes ela teria de distinguir ao tentar subtrair).
2. b) Desenvolva por completo a estratégia de Lucas, decompondo os fatores por meio de permutações, calcule o resultado final e conclua justificando por que este método é mais seguro e eficiente.

Quantas palavras distintas, tenham ou não sentido no dicionário, podem ser formadas reordenando todas as letras da palavra "MUNDO"?

O Marcos quer calcular quantas palavras distintas, tenham ou não sentido, podem ser formadas ordenando todas as letras da palavra «PATATA». Na prova ele escreve o seguinte:

«Como a palavra tem 6 letras, há $6! = 720$ ordenações. Mas como a letra A se repete 3 vezes e a letra T se repete 2 vezes, subtraio-as do total: $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ palavras possíveis».

Identifique o erro conceitual que o Marcos cometeu, explique com suas próprias palavras por que a operação de subtrair fatoriais não faz sentido neste contexto de ordenações e calcule a solução correta aplicando e justificando a fórmula adequada.

Um navio se comunica com outras embarcações por meio de bandeiras coloridas hasteadas verticalmente em um mastro. Se dispõe de $3$ bandeiras vermelhas, $2$ bandeiras azuis e $1$ bandeira amarela, todas do mesmo tamanho, quantas mensagens distintas pode enviar usando todas as bandeiras ao mesmo tempo?

Quantas palavras diferentes, tenham ou não sentido, podem ser formadas utilizando todas as letras da palavra "CAMPANA"?

Um engenheiro de software quer formar códigos numéricos de seis algarismos utilizando exatamente os seguintes dígitos em cada código: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Quantos códigos distintos o sistema pode programar?

Um baralho de treino para cálculo mental contém 8 cartas no total. Duas delas são de cor vermelha, e as restantes são cartas azuis e cartas verdes. Ao dispor todas as cartas em fila sobre a mesa, verifica-se que é possível formar exatamente 420 ordenações distintas considerando apenas a sequência de cores.

1. a) Formule uma equação combinatória que relacione o número de cartas azuis ($a$) e o número de cartas verdes ($v$) com o total de ordenações possíveis.
2. b) Deduza quantas cartas azuis e quantas cartas verdes compõem o baralho. Justifique por que razão surgem duas soluções numéricas simétricas e explique o seu significado prático.

Calcule qual é a soma total de todos os números inteiros de $4$ algarismos distintos que podem ser formados utilizando exclusivamente os dígitos $1, 2, 3$ e $4$.

Se forem geradas todas as palavras possíveis, com ou sem sentido, permutando as letras da palavra "LIVRO" e depois ordenadas estritamente de forma alfabética (como em um dicionário), que posição ocupará exatamente a palavra "LIVRO" nessa lista?

Quatro amigos vão lanchar em um café no centro da cidade. Hesitam entre sentar-se em um balcão com 4 bancos em fila ou sentar-se em uma mesa circular de 4 lugares em que apenas importa a posição relativa entre eles (quem fica à esquerda ou à direita de quem).

1. a) Antes de aplicar qualquer fórmula, estime de forma fundamentada qual das duas situações oferecerá um maior número de ordenações distintas e arrisque qual relação aproximada haverá entre os dois resultados.
2. b) Calcule de forma exata o número de ordenações no balcão ($P_4$) e na mesa redonda ($PC_4$).
3. c) Verifique se o cálculo confirma a sua estimativa inicial e fundamente por que razão o fato de fixar uma pessoa como referência na mesa reduz o total de ordenações exatamente por esse fator.

Uma família de $6$ membros senta-se para jantar ao redor de uma mesa circular em um restaurante. De quantas formas distintas podem se posicionar se importa apenas a posição relativa entre eles e não a cadeira exata que ocupam no salão?

No mapa de uma cidade com ruas dispostas em grade, um entregador de bicicleta deve ir do ponto $A$ até o ponto $B$ deslocando-se apenas para a direita e para cima. Quantos caminhos diferentes de comprimento mínimo pode seguir para realizar a entrega?

Uma van de distribuição dos Correios deve se deslocar pelo traçado em grade de um bairro de São Paulo. Parte de um armazém e deve chegar a um ponto de entrega situado a 4 quarteirões para leste e 3 quarteirões para norte. A van segue sempre trajetos de comprimento mínimo, deslocando-se exclusivamente para leste ($E$) ou para norte ($N$) em cada trecho.

1. a) Modele esta situação por meio de permutações com repetição, justificando por que cada rota possível equivale a uma sequência de letras de comprimento fixo, e calcule o número total de caminhos mínimos distintos.
2. b) Se o cruzamento situado a 2 quarteirões a leste e 1 quarteirão a norte da origem estiver completamente interditado por obras da prefeitura, calcule quantos caminhos mínimos ficam disponíveis que evitem passar por esse cruzamento. Justifique o procedimento que você seguiu.

Oito diplomatas se reúnem em uma cúpula internacional e devem se sentar ao redor de uma grande mesa redonda. Dois dos representantes são fortemente inimigos e o protocolo exige que não se sentem um ao lado do outro. De quantas formas diferentes eles podem se acomodar na mesa cumprindo essa restrição?

Um robô autônomo desloca-se por uma grade logística do nó $A$ até o nó $B$ avançando exclusivamente para a direita e para baixo. Devido a reparos no piso, o nó $C$ está bloqueado e o robô não pode passar por ele. Quantas trajetórias válidas existem para completar o percurso?

Em uma cúpula diplomática realizada em Brasília, organiza-se um jantar para 8 mandatários em uma mesa circular de 8 lugares, em que apenas se considera a posição relativa dos convidados entre si. O serviço de cerimonial impõe duas restrições simultâneas:

1. Os mandatários do Brasil e da Argentina devem sentar-se juntos obrigatoriamente, um ao lado do outro.

2. Os mandatários da França e da Alemanha devem sentar-se em posições diametralmente opostas (frente a frente, diretamente através do centro da mesa).

Elabore uma estratégia rigorosa para contar as configurações possíveis fixando um convidado como referência para quebrar a simetria circular, analise detalhadamente quantas posições compatíveis restam para o bloco formado pelos dois mandatários vizinhos e para as demais delegações, e deduza o número total de formas válidas de sentar os 8 mandatários.