Método de Gauss com matrizes: escalonamento, posto e inversa

Em uma partida de um conhecido jogo de estratégia, as estatísticas de três jogadores (pontos de ataque, defesa e velocidade) foram organizadas na seguinte matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Indique qual operação elementar por linhas você deve realizar em primeiro lugar para obter um zero na posição $a_{21}$ e qual para a posição $a_{31}$, utilizando como linha pivô a primeira linha ($F_1$). Escreva a matriz resultante após aplicar ambas as alterações.

Um analista de redes sociais estuda a interação entre três influencers. A matriz de adjacência $M$ mostra as menções diretas entre eles. Para simplificar o estudo do posto de conexões, é necessário triangularizar a matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Utilize o método de Gauss para transformar $M$ em uma matriz triangular superior.

Dada a matriz $S$, realize os passos do método de Gauss para obter uma matriz escalonada:

$$S = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Recomenda-se, para facilitar os cálculos, trocar primeiro a primeira linha ($F_1$) pela segunda ($F_2$) para trabalhar com um 1 na posição do pivô $a_{11}$. Escreva a matriz final obtida.

No cálculo do posto de uma matriz, é fundamental identificar linhas dependentes. Considere a matriz $C$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$

Aplique o método de Gauss. Quantas linhas não nulas restam após realizar a triangularização? Justifique, a partir do resultado, qual é o posto da matriz $C$.

Uma empresa de logística urbana organiza as rotas das suas vans elétricas de entrega em três bairros. A matriz $D$ descreve as rotas possíveis. Para otimizar o sistema, a equipe técnica precisa conhecer o posto de tal matriz mediante Gauss:

$$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Realize as transformações necessárias para triangularizar a matriz e determine se alguma rota é redundante (se alguma linha depende das demais).

Três servidores de uma rede, $S_1$, $S_2$ e $S_3$, trocam pacotes de dados. A relação de dependências entre os seus fluxos é expressa na matriz $K$. Para analisar a independência dos fluxos, calcule o posto de $K$ aplicando o método de Gauss:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Visualize o problema como um grafo de dependências.

Uma empresa de logística utiliza uma matriz para organizar o estoque de três armazéns regionais ($A_1, A_2, A_3$) em relação a quatro tipos de produtos (eletrônicos, têxteis, casa e alimentos). A matriz de estoque é a seguinte:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 7 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Utilize o método de Gauss para determinar o posto da matriz $M$. O que significa, do ponto de vista do estoque, que o posto não seja máximo?

Dada a seguinte matriz $B$, que representa os níveis de estoque de dois armazéns de uma loja de roupas esportivas:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{pmatrix}$$

Determine o valor do parâmetro real $k$ para que, ao aplicar o método de Gauss para triangularizar a matriz, a segunda linha se torne uma linha de zeros. O que você poderia dizer sobre o posto da matriz nesse caso?

No estudo da estabilidade de uma estrutura metálica, foi obtida a seguinte matriz que depende de um parâmetro real $k$, o qual representa a tensão em um nó:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determine, utilizando o método de Gauss, para quais valores de $k$ o posto da matriz é igual a 2.

Discuta o posto da matriz $A$ segundo os valores do parâmetro $m$ utilizando o método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & m & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$$

Existe algum valor de $m$ para o qual a matriz seja invertível? Justifique sua resposta com base no posto obtido.

Determine o posto da seguinte matriz $A$ em função dos valores do parâmetro real $k$, utilizando exclusivamente o método de Gauss:

$A = \begin{pmatrix} 1 & k & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -k & 2 \\ k & 1 & -1 & k \end{pmatrix}$

Analise detalhadamente os casos em que o posto seja máximo e os valores de $k$ que provocam uma redução no número de linhas linearmente independentes.

Determine a matriz inversa da matriz quadrada $A$ de ordem 2 utilizando o método de Gauss-Jordan:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Calcule a matriz inversa de $A$ mediante o algoritmo de Gauss-Jordan. A matriz representa uma transformação de coordenadas em um software de desenho técnico:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Confirme que o processo está correto verificando que $A \cdot A^{-1} = I$.

Determine a matriz inversa de $B$ pelo método de Gauss-Jordan, sabendo que $B$ é uma matriz escalar modificada por um erro de leitura em uma de suas componentes:

$$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Mostre todos os passos intermediários das operações elementares por linha.

Calcule a matriz inversa de $M$ mediante o método de Gauss-Jordan, mostrando todos os passos intermediários das transformações elementares por linhas:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Uma vez obtida $M^{-1}$, verifique o resultado confirmando que $M \cdot M^{-1} = I$.

Dadas as matrizes $A$ e $B$, resolva a equação matricial $A \cdot X = B$ encontrando primeiro a inversa de $A$ pelo método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Resolva a equação matricial $A \cdot X \cdot A = B$, onde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Para isso, obtenha primeiro a inversa de $A$ mediante o método de Gauss e posteriormente isole $X$ realizando os produtos matriciais correspondentes.

Sabe-se que uma matriz $X$ satisfaz a relação $A \cdot X = B - 2X$, onde $A$ é uma matriz quadrada. Para poder isolar $X$, a matriz $(A + 2I)$ deve ser invertível. Dadas:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

1. Demonstre, com fundamentação, que $(A + 2I)$ é invertível.

2. Calcule a matriz $X$ obtendo a inversa necessária por meio do método de Gauss.