Exercícios: Sistemas de equações com duas e três incógnitas. Classificação de sistemas

Classifique os seguintes sistemas de equações com duas incógnitas de acordo com o número de soluções que apresentam (Sistema Possível Determinado, Sistema Possível Indeterminado ou Sistema Impossível) depois de tentar resolvê-los pelo método que preferir:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

Resolva o seguinte sistema de equações de três incógnitas que já se encontra na forma escalonada:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Dadas as retas $r$ e $s$ representadas no gráfico a seguir, escreva o sistema de equações que define a interseção delas e classifique-o segundo a sua geometria.

Expresse o seguinte sistema de equações lineares em sua forma matricial $A \cdot X = B$, identificando claramente a matriz de coeficientes $A$, a matriz de incógnitas $X$ e a matriz de termos independentes $B$:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Sem realizar cálculos complexos, raciocine por que o seguinte sistema homogêneo é Possível e Indeterminado (SPI) analisando a relação entre as suas equações:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

Verifique se a terna $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ é solução do seguinte sistema de equações:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Geometricamente, uma equação linear com três incógnitas representa um plano no espaço. Observe o esquema e descreva que tipo de sistema (SCD, SCI ou SI) representaria a interseção de dois planos que são paralelos entre si.

Em uma loja de periféricos gamer, três amigos compram produtos diferentes.

• Marcos compra 2 mouses e 1 teclado por $110$ reais.

• Julia compra 1 mouse e 2 teclados por $130$ reais.

Proponha um sistema de equações lineares para determinar o preço de cada artigo e classifique-o segundo o número de soluções que espera obter.

Em uma prova de avaliação contínua, o Carlos classifica o seguinte sistema homogêneo:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Após observar as relações de proporcionalidade entre as equações, o Carlos escreve na sua resolução: «Como a segunda linha é o dobro da primeira e a terceira é a primeira com o sinal trocado, ao condensar fica $0 = 0$. Como as incógnitas se anulam por completo nessa igualdade, o sistema não tem nenhuma solução e, portanto, é um Sistema Impossível (SI)».

1. a) Explique de forma fundamentada os dois erros conceituais cometidos pelo Carlos: um relativo à definição geral dos sistemas homogêneos e outro relativo à interpretação de uma linha nula do tipo $0x + 0y + 0z = 0$.
2. b) Corrija o exercício: escreva a matriz de coeficientes $A$, determine a classificação correta do sistema (SPD, SPI ou SI) e justifique quantas soluções ele tem.

Conceba e escreva um exemplo concreto para cada uma das seguintes situações, justificando sua dedução por meio da relação entre os coeficientes ou da estrutura da matriz ampliada:

1. a) Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que seja impossível (SI), de modo que a primeira equação seja obrigatoriamente $2x - 3y = 5$.
2. b) Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas ($x$ e $y$) que seja possível e indeterminado (SPI) e admita entre suas infinitas soluções a solução particular $(x, y) = (1, -2)$.
3. c) Um sistema homogêneo de duas equações lineares com três incógnitas ($x, y, z$). Justifique, a partir do número de incógnitas e do posto máximo possível da matriz de coeficientes, por que é impossível que este sistema seja possível e determinado (SPD).

Dois drones de vigilância, $D_1$ e $D_2$, deslocam-se em um plano seguindo trajetórias retilíneas dadas pelas seguintes equações:

Drone 1: $2x - 3y = 5$

Drone 2: $x + ky = 2$

Pede-se:

1. a) Determine o valor do parâmetro $k$ para que os drones colidam em um ponto (o sistema seja possível e determinado).

1. b) Existe algum valor de $k$ para o qual os drones sigam trajetórias paralelas, mas nunca se encontrem? Justifique sua resposta usando o conceito de posto (rank) das matrizes.

1. c) Represente graficamente a situação se $k = -1,5$.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Classifique o seguinte sistema de equações lineares quanto ao número de soluções, usando o método de Gauss:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

Caso seja compatível, encontre a solução ou as soluções. Se for indeterminado, escreva a solução na forma paramétrica.

Discuta a compatibilidade do seguinte sistema em função dos valores do parâmetro real $m$, utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius:

$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$

Indique para quais valores de $m$ o sistema é Compatível Determinado, Compatível Indeterminado ou Incompatível.

Dadas as equações de três planos no espaço:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

1. a) Determine o valor de $k$ para que os três planos se intersectem em uma reta (sistema possível e indeterminado).
2. b) Para o valor de $k$ encontrado, obtenha a equação dessa reta.
3. c) Qual é a posição relativa dos planos se $k = 5$?

Uma equipe de eSports ganhou um prêmio de 12.000 reais que deve ser dividido entre os seus três integrantes: o capitão (A), o estrategista (B) e o atirador de elite (C). Sabe-se que:

• A soma do que recebem B e C é igual ao que recebe A.

• Se o estrategista (B) recebesse 1.000 reais a mais, teria exatamente o mesmo que o atirador de elite (C).

1. a) Proponha um sistema de três equações com três incógnitas para determinar quanto cada um recebe.
2. b) Classifique o sistema e resolva-o.

Estude a compatibilidade do seguinte sistema de 4 equações com 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Se o sistema for compatível, encontre a solução única. Caso contrário, indique qual equação gera a incompatibilidade.

Considere o sistema homogêneo dependente do parâmetro $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Classifique o sistema de acordo com os valores de $a$.
2. b) Determine para quais valores de $a$ o sistema admite soluções diferentes da trivial ($x=0, y=0, z=0$).
3. c) Resolva o sistema para $a = -2$.

Escreva um sistema de três equações com três incógnitas que cumpra simultaneamente:

1. Que seja Possível e Indeterminado.

2. Que uma de suas soluções seja $(1, 0, 2)$.

3. Que a matriz de coeficientes seja da forma:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Calcule os valores necessários de $a$ e $b$ e proponha termos independentes coerentes. Justifique a sua construção usando o posto das matrizes.

Para classificar e resolver o sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y = -3 \end{cases}$$

dois alunos propõem estratégias distintas:

• A Irene propõe escrever a matriz ampliada $A^* = (A|B)$ e aplicar o método de eliminação de Gauss até obter um sistema escalonado.

• O David propõe isolar $x$ diretamente na terceira equação ($x = 2y - 3$), substituir essa expressão na primeira e na segunda equação para reduzir o problema a um sistema de duas incógnitas ($y, z$), e resolver por substituição simples.

1. a) Compare de forma fundamentada ambos os métodos para este caso específico: qual requer menor custo algébrico e minimiza o risco de erro aritmético? De que modo a ausência da incógnita $z$ na terceira equação condiciona essa escolha?
2. b) Aplique a estratégia que você considerar mais eficiente para classificar formalmente o sistema e obter a sua solução.
3. c) Se o sistema inicial tivesse 4 equações com 4 incógnitas sem nenhum coeficiente nulo, o método do David manteria a sua competitividade em relação ao algoritmo matricial de Gauss? Justifique a sua resposta em termos de ordem e escalabilidade.

A partir dos dados da pesquisa de transporte urbano do Instituto Nacional de Estadística (INE), uma empresa municipal de transportes na Espanha analisa as vendas mensais de três tipos de bilhetes de transporte: Passe Jovem ($x$), Passe Geral ($y$) e Passe Sênior ($z$). Conhecem-se os seguintes dados de um período de estudo:

• No total, foram emitidos $12\,000$ bilhetes de transporte.

• A tarifa mensal de cada bilhete é de $20$ reais para o Passe Jovem, $40$ reais para o Passe Geral e $10$ reais para o Passe Sênior, alcançando uma receita global de $290\,000$ reais.

• O número de passes jovens vendidos foi exatamente o dobro da soma conjunta dos passes gerais e seniores.

1. a) Modele a situação apresentando o correspondente sistema de três equações lineares com três incógnitas e escreva-o na forma matricial $A \cdot X = B$, identificando com precisão o que representa cada matriz e vetor.
2. b) Escreva a matriz ampliada $A^* = (A|B)$ associada ao problema.
3. c) Escalone a matriz ampliada por meio de operações elementares sobre as linhas para classificar o sistema quanto ao número de soluções (SPD, SPI ou SI). A partir dessa classificação, interprete se os dados fornecidos pela empresa municipal permitem conhecer com certeza a quantidade exata de passes vendidos de cada modalidade ou se a informação é insuficiente ou contraditória.

Discuta o seguinte sistema de equações lineares em função dos diversos valores dos parâmetros reais $a$ e $b$. Resolva-o somente no caso em que o sistema seja possível e indeterminado:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Um laboratório de biotecnologia está desenvolvendo um novo soro combinando três compostos: $A$, $B$ e $C$. O custo por grama de cada composto depende de um fator de importação $k$. O sistema que rege as quantidades necessárias $x, y, z$ (em gramas) para estabilizar 100 ml de soro é:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Determine para quais valores de $k$ o laboratório não pode determinar uma quantidade única de cada composto para fabricar o soro.
2. b) Se $k = -2$, é possível fabricar o soro seguindo estas proporções? Justifique sua resposta com base na compatibilidade do sistema.

Considere os três planos no espaço cujas equações são:

$\pi_1: x + ay + z = 1$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$

$\pi_3: x + ay + (a+1)z = b$

Estude a posição relativa dos três planos segundo os valores dos parâmetros $a$ e $b$. Para quais valores dos parâmetros os três planos se intersectam em uma única reta?

Seja o sistema homogêneo dependente do parâmetro $m$:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Determine o valor de $m$ para o qual o sistema admite soluções diferentes da trivial.
2. b) Para esse valor de $m$, encontre a solução geral e dê uma solução particular diferente da trivial.

Discuta a compatibilidade do seguinte sistema de 4 equações com 3 incógnitas segundo os valores do parâmetro $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$

Nos casos em que seja compatível, determine se a solução é única.

Três empresas de entregas ($P_1, P_2, P_3$) dividem o mercado de uma cidade. A cada mês, 20% dos clientes de $P_1$ passam para $P_2$ e 10% para $P_3$. Dos clientes de $P_2$, 10% passam para $P_1$ e 10% para $P_3$. Dos clientes de $P_3$, 10% passam para $P_1$ e 20% para $P_2$.

Se as participações de mercado atuais são $x, y, z$ e queremos que no próximo mês as participações se mantenham idênticas (estado de equilíbrio), proponha um sistema de equações. Demonstre que este sistema é possível e indeterminado e calcule a relação entre as participações de mercado no equilíbrio.

Dado o sistema de equações:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$

1. a) Adicione uma equação da forma $ax + by + cz = d$ para que o sistema resultante seja possível e determinado e cuja solução seja $(1, 1, 0)$.
2. b) Adicione uma equação para que o sistema seja impossível.
3. c) É possível adicionar uma equação para que o sistema seja possível e indeterminado, mas com uma solução diferente da do sistema original? Justifique a resposta.

Determine os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para os quais o seguinte sistema tem infinitas soluções dependentes de um único parâmetro:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ x + y + az = b \end{cases}$$

Para os valores determinados, escreva a solução na forma paramétrica.

Numa estação de vigilância ambiental do INMET, os registros teóricos normalizados de três parâmetros ($x$: temperatura, $y$: umidade relativa, $z$: pressão) devem satisfazer o seguinte sistema de equações lineares, em que $k$ representa uma leitura transmitida por um sensor auxiliar:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = k \\ -x - 2y + z = -3 \end{cases}$$

1. a) Fase de estimativa: Sem realizar operações de escalonamento formal, analise os coeficientes das incógnitas e os termos independentes das três equações. Estime e fundamente que tipo de sistema você espera obter em duas hipóteses: $k = 6$ e $k \neq 6$. Interprete geometricamente o que representa cada equação (um plano em $\mathbb{R}^3$) e antecipe a posição relativa dos três planos em cada hipótese.
2. b) Fase de verificação: Escreva a matriz ampliada $A^* = (A|B)$ e aplique o método de Gauss por meio de combinações lineares elementares para classificar formalmente o sistema em função do parâmetro $k$.
3. c) Confronto e apreciação crítica: Compare a dedução algébrica obtida em (b) com a sua estimativa prévia em (a). No caso $k = 6$, determine de quantos parâmetros livres depende o conjunto de soluções e explique por que a configuração geométrica real corresponde a planos coincidentes e não a planos que se intersectam em uma reta, matizando a intuição inicial sobre os graus de liberdade do sistema.

Propõe-se a construção analítica e teórica de sistemas de três equações lineares com três incógnitas ($x, y, z$):

1. a) Conceba um sistema linear de três equações com três incógnitas $A \cdot X = B$, exigindo que todos os coeficientes da matriz $A$ sejam números reais não nulos, de modo que o sistema global seja impossível (SI), mas com a condição de que qualquer subsistema formado por duas equações quaisquer seja possível e indeterminado (SPI). Escreva explicitamente as três equações, expresse a matriz ampliada $A^* = (A|B)$ e demonstre que ambas as condições se cumprem rigorosamente.
2. b) Interprete a posição relativa dos três planos representados pelas equações do seu sistema no espaço tridimensional e descreva a figura geométrica que eles delimitam entre si.
3. c) Considere agora o sistema homogêneo associado $A \cdot X = 0$, utilizando exatamente a mesma matriz de coeficientes $A$ que você construiu no item (a). Justifique as seguintes questões sem realizar cálculos algébricos adicionais:

1. Por que razão é estruturalmente impossível que este sistema homogêneo seja impossível?

2. Ele admite unicamente a solução trivial $(0, 0, 0)$ ou tem infinitas soluções? Justifique sua dedução relacionando a dependência linear que você deu às linhas de $A$ no item (a) com a característica dessa matriz.