Exercícios: Teorema de Rouché-Frobenius

Em uma sessão de estudo sobre álgebra, um colega mostra os resultados da análise dos postos de três sistemas de equações diferentes utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius. Indique de forma fundamentada o tipo de sistema (Possível Determinado, Possível Indeterminado ou Impossível) em cada um dos seguintes casos, sabendo que o número de incógnitas é $n = 3$:

1. a) $rg(A) = 3$ e $rg(A^*) = 3$.
2. b) $rg(A) = 2$ e $rg(A*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2$ e $rg(A^*) = 2$.

Dado o seguinte sistema de equações lineares sem parâmetros:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + 4z = 7 \end{cases}$$

Determine o posto da matriz de coeficientes $A$ e o posto da matriz completa $A^*$. Utilize o Teorema de Rouché-Capelli para discutir a existência e o número de soluções do sistema.

Discuta o seguinte sistema de equações em função do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + y = k \end{cases}$$

Determine para quais valores de $k$ o sistema é Possível Determinado e para quais é Impossível ou Possível Indeterminado.

Considere um sistema homogêneo de três equações com três incógnitas cuja matriz de coeficientes é $A$. Se sabemos que o determinante dessa matriz é $|A| = 0$ e que existe um menor de ordem 2 diferente de zero, utilize o Teorema de Rouché-Frobenius para:

1. a) Justificar por que o sistema nunca poderá ser incompatível.
2. b) Classificar o sistema segundo o número de soluções.
3. c) Indicar quantos parâmetros serão necessários para expressar a sua solução geral.

Um "influencer" está analisando o crescimento dos seus seguidores em três redes sociais distintas (TikTok, Instagram e Twitch). Ele propôs um sistema de equações para distribuir o seu orçamento publicitário, mas percebeu que tem mais incógnitas do que equações:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 1000 \\ 2x - y + 3z = 1500 \end{cases}$$

Sendo $x, y, z$ o investimento em reais para cada rede social. Sem resolver o sistema, explique, de forma fundamentada, por meio do Teorema de Rouché-Frobenius, por que este sistema nunca poderá ter uma solução única. Ele poderia ser incompatível?

Associe cada uma das seguintes situações geométricas de três planos no espaço com a discussão do sistema correspondente segundo o Teorema de Rouché-Capelli (assuma $n=3$):

1. Os três planos se cortam em um único ponto.

2. Dois planos são paralelos e o terceiro os corta.

3. Os três planos se cortam em uma reta comum.

Relacione cada caso com uma destas opções:

1. a) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 2$.
2. b) $rg(A) = 3, rg(A^*) = 3$.
3. c) $rg(A) = 2, rg(A^*) = 3$.

Estude a compatibilidade do seguinte sistema de equações dependendo do valor do parâmetro $a$, que afeta unicamente o termo independente da terceira equação:

$$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x = a \end{cases}$$

Existe algum valor de $a$ para o qual o sistema seja Compatível Indeterminado? Justifique sua resposta calculando os postos de $A$ e $A^*$.

Discuta a natureza do sistema formado pelas equações de três retas no plano, sabendo que o sistema é dado por:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 1 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$$

Calcule o posto da matriz de coeficientes e da matriz ampliada. Interprete o resultado obtido: as três retas se cortam em um ponto, são a mesma reta ou há alguma relação de paralelismo?

O Lucas está resolvendo o seguinte sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 1 \\ 3x + 2z = 3 \end{cases}$$

Após calcular o determinante da matriz de coeficientes e obter $|A| = 0$, ele afirma na prova:

«Como o determinante da matriz de coeficientes é zero, as três equações são contraditórias entre si e, pelo Teorema de Rouché-Frobenius, o sistema é impossível, não tendo nenhuma solução».

1. a) Localize e explique de forma fundamentada o erro conceitual que o Lucas comete sobre a relação entre um determinante nulo e a classificação do sistema.
2. b) Sem resolver o sistema, calcule o posto da matriz de coeficientes $A$ e o da matriz ampliada $A^*$, e enuncie a conclusão correta que decorre do Teorema de Rouché-Frobenius.

Considere o seguinte sistema linear de 4 equações com 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 1 \\ 2x + y - z = 3 \\ -x + 7y - 4z = 0 \\ 3x - y = 4 \end{cases}$$

1. a) Estime de forma fundamentada, antes de realizar qualquer cálculo matricial:

• Qual é o posto máximo teórico que podem atingir a matriz de coeficientes $A$ e a matriz ampliada $A^*$?

• Observando com atenção unicamente as duas primeiras equações, seria possível que o sistema fosse possível indeterminado com 2 graus de liberdade (ou seja, com infinitas soluções dependentes de dois parâmetros)? Justifique a sua estimativa.

1. b) Verifique as suas estimativas calculando os postos $rg(A)$ e $rg(A^*)$ através do método de Gauss e classifique o sistema de forma definitiva segundo o Teorema de Rouché-Capelli.

Dado o seguinte sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} x + ky + z = k \\ kx + y + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

Discuta a sua compatibilidade de acordo com os valores de $k$ utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius. Não é necessário resolvê-lo.

Considere os três planos representados no espaço cujas equações são dadas a seguir:

$$\pi_1: x + ay + z = 1$$ $$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$$ $$\pi_3: x + y + z = a + 1$$

Estude a posição relativa dos três planos em função do parâmetro $a$ com base no posto da matriz de coeficientes $A$ e da matriz ampliada $A^*$.

Uma empresa de componentes eletrônicos fabrica três tipos de placas-mãe: Alpha, Beta e Gamma. Sabe-se que:

• O número total de placas fabricadas em um dia é de $150$ unidades.

• O custo de produção de cada placa Alpha é de $50$ reais, o de Beta é de $60$ reais e o de Gamma é de $80$ reais. O custo total diário é de $10.000$ reais.

• A soma das placas Alpha e Beta fabricadas supera em $m$ unidades o número de placas Gamma.

Monte o sistema de equações e discuta, utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius, para quais valores do parâmetro $m$ o problema tem uma solução única.

Seja o sistema de equações lineares:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Discuta o sistema em função dos parâmetros reais $a$ e $b$. Determine sob quais condições o sistema é Compatível Indeterminado e ofereça a interpretação geométrica desse caso.

Estude a compatibilidade do seguinte sistema homogêneo em função do parâmetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ mx + 2y + mz = 0 \\ 2x + my + 4z = 0 \end{cases}$$

Indique para quais valores de $m$ o sistema admite soluções diferentes da trivial $(0, 0, 0)$.

A um sistema de duas equações com três incógnitas que é Possível Indeterminado adiciona-se uma terceira equação.

$$\begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$$

Encontre uma equação da forma $Ax + By + Cz = D$ tal que o sistema resultante seja:

1. Impossível.

2. Possível Determinado.

3. Possível Indeterminado.

Justifique sua resposta analisando os ranques da matriz de coeficientes e da ampliada.

Dada a matriz de coeficientes $A$ e a matriz de termos independentes $B$ de um sistema $AX = B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ m \end{pmatrix}$$

Utilize o determinante de $A$ para discutir o sistema. Existe algum valor de $m$ para o qual o posto da matriz ampliada $A^*$ seja $3$ enquanto o posto de $A$ seja $2$?

Considere o sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

1. Demonstre que o sistema é Possível e Indeterminado calculando os postos pelo método dos menores.

2. Se adicionarmos uma quarta equação $x + y + az = b$, discuta como deve ser a relação entre $a$ e $b$ para que o sistema continue tendo soluções.

Uma delegação esportiva juvenil na Comunidade de Madrid adquire títulos de transporte público para um campeonato. Os títulos são: bilhete simples ($x$), passe de 10 viagens ($y$) e passe mensal ($z$).

• O primeiro grupo compra 2 bilhetes simples, 1 passe de 10 viagens e 1 passe mensal, com um custo total de $34$ reais.

• O segundo grupo adquire 1 bilhete simples, 2 passes de 10 viagens e 1 passe mensal, pagando no total $42$ reais.

• O terceiro grupo compra 5 bilhetes simples, 4 passes de 10 viagens e 3 passes mensais, e na nota fiscal consta um valor total cobrado de $118$ reais.

1. a) Modele a situação por meio de um sistema de equações lineares $A \cdot X = B$.
2. b) Aplique o Teorema de Rouché-Frobenius para determinar se o sistema é possível ou se existe um erro nos valores faturados pela empresa de transportes.
3. c) Se houve um erro na nota fiscal do terceiro grupo, determine de forma fundamentada que quantia exata deveria ter sido cobrada para que o sistema fosse possível indeterminado. Interprete que significado prático teria para a delegação o sistema resultar indeterminado.

Apresenta-se o seguinte sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 3y + k z = 3 \\ x + k y + 3z = 2 \end{cases}$$

Para discutir a compatibilidade do sistema segundo os valores de $k$, dois estudantes propõem duas estratégias diferentes:

• A Carmen propõe utilizar determinantes: calcular $|A|$, encontrar os valores de $k$ que o anulam e depois estudar as características orlando menores na matriz ampliada $A^*$.

• O Daniel propõe aplicar diretamente transformações elementares de Gauss sobre a matriz ampliada $(A|B)$ até deixá-la em escada em função de $k$.

1. a) Compare criticamente ambos os métodos para este sistema em particular. Que riscos algébricos ou operatórios o método de Gauss apresenta ao realizar pivôs com expressões que contêm o parâmetro $k$, em comparação com a segurança do cálculo de determinantes?
2. b) Escolha o método que você considerar mais conveniente e discuta detalhadamente a compatibilidade do sistema para todos os valores reais de $k$ aplicando o Teorema de Rouché-Frobenius.

Considere o seguinte sistema de equações lineares, dependente de dois parâmetros reais $a$ e $b$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = b \\ x + y + az = b^2 \end{cases}$$

Discuta o sistema utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius em função de todos os valores possíveis de $a$ e $b$. Nos casos em que o sistema seja possível e indeterminado, indique o grau de liberdade (número de parâmetros da solução) e descreva a posição relativa dos três planos que representam as equações.

Dado o sistema de quatro equações com três incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 8 \\ 3x + 4y + 2z = k \end{cases}$$

1. a) Determine os valores dos parâmetros $m$ e $k$ para que o sistema seja compatível segundo o Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Existe algum valor de $m$ que faça com que o sistema seja Compatível Indeterminado independentemente de $k$? Justifique sua resposta analisando os postos da matriz de coeficientes e da matriz ampliada.

Um estudo de engenharia ambiental analisa o fluxo de poluentes em três estações de filtragem ($A$, $B$ e $C$). As concentrações de partículas $x$, $y$ e $z$ em cada estação devem satisfazer o seguinte equilíbrio técnico:

$$\begin{cases} e^k x + y + z = 1 \\ x + e^k y + z = e \\ x + y + e^k z = e^2 \end{cases}$$

Discuta a compatibilidade do sistema em função do parâmetro real $k$. Em particular, analise se existe algum valor de $k$ para o qual o posto da matriz de coeficientes seja 1 e explique o que isso significaria geometricamente para as estações de filtragem.

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem 3 tal que o seu determinante é $|A| = m^2 - 4$. Consideramos o sistema de equações lineares $A \cdot X = B$, onde $B$ é um vetor coluna não nulo.

Sabe-se além disso que, para $m = 2$ e para $m = -2$, a matriz $A$ tem posto 2, e que para $m = 2$ o sistema é compatível.

1. a) Discuta a compatibilidade do sistema segundo os valores de $m$ diferentes de $-2$ e classifique-o (determinado ou indeterminado) para $m \neq \pm 2$ e para $m = 2$.

1. b) Se para $m = -2$ o sistema é incompatível, o que podemos afirmar sobre o posto da matriz ampliada $(A|B)$ nesse caso?

1. c) Descreva uma situação geométrica (posições relativas dos três planos) que corresponda ao caso $m = 2$.

Considere o sistema de equações homogêneo:

$$\begin{cases} x + ky + z = 0 \\ kx - y + z = 0 \\ (k+1)x + (k-1)y + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Demonstre que o sistema é compatível para qualquer valor de $k$.
2. b) Utilize o determinante da matriz de coeficientes para encontrar os valores de $k$ que permitem a existência de soluções diferentes da trivial $(0,0,0)$.
3. c) Para os valores encontrados no item b), determine o posto da matriz e o número de parâmetros necessários para expressar a solução geral.

Em um sistema logístico de transporte, definem-se as rotas entre quatro cidades por meio de um sistema de equações em que as variáveis representam as toneladas de carga. O sistema é dado por:

$$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + (a+1)y + az = 2a + 1 \\ ax + y + z = a^2 \end{cases}$$

1. a) Discuta o sistema para os diferentes valores de $a$ utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) Se o sistema for Compatível Indeterminado, é possível que a carga $x$ seja sempre o dobro da carga $y$? Justifique sua resposta.

Determine para quais valores dos parâmetros $p$ e $q$ o seguinte sistema tem:

1. Uma única solução.

2. Infinitas soluções.

3. Nenhuma solução.

$$\begin{cases} x + 2y - z = q \\ px + (p+1)y + z = p \\ px + py + pz = p \end{cases}$$

Para o caso em que seja possível e indeterminado, interprete se os três planos se intersectam em uma reta ou se há dois planos coincidentes.

Seja o sistema de equações:

$$\begin{cases} x + y + mz = m \\ mx + (m-1)y + z = m \\ x + my + z = m \end{cases}$$

1. a) Calcule o valor de $m$ que faz com que o posto da matriz de coeficientes seja igual a 2.
2. b) Para esse valor de $m$ encontrado, estude se o sistema é compatível ou incompatível.
3. c) No caso de ser compatível, podemos afirmar que existe uma solução onde $z = 0$? Justifique a resposta com base na estrutura do sistema.

Desenhe um sistema de 3 equações lineares com 3 incógnitas ($x, y, z$) que dependa de um parâmetro real $\lambda$ e cumpra simultaneamente as três condições seguintes:

1. Para $\lambda = 1$, o sistema é impossível ($rg(A) = 2$ e $rg(A^*) = 3$).

2. Para $\lambda = -2$, o sistema é possível indeterminado com 1 grau de liberdade (a sua solução geral depende de um único parâmetro real).

3. Para qualquer $\lambda \notin \{1, -2\}$, o sistema é possível determinado.

Você deve:

1. a) Escrever explicitamente as três equações que compõem o seu sistema, com os seus coeficientes e termos independentes em função de $\lambda$.
2. b) Justificar formalmente, aplicando o Teorema de Rouché-Capelli (mediante o cálculo de determinantes e características), que o seu sistema satisfaz exatamente as três condições impostas.

Numa prova de avaliação, formula-se a seguinte questão teórica:

«Seja $S$ um sistema possível determinado formado por 3 equações lineares com 3 incógnitas. Se for adicionada uma quarta equação linear não nula, analise de forma fundamentada se o novo sistema ampliado $S'$ pode ser: (i) Possível Determinado, (ii) Possível Indeterminado, ou (iii) Impossível».

O Lucas responde o seguinte:

«Como o sistema resultante tem 4 equações e 3 incógnitas ($m > n$), é impossível que seja determinado porque sobram equações. Portanto, só pode ser possível indeterminado (se a nova equação for combinação linear das anteriores) ou impossível (se contradisser as três primeiras)».

1. a) Identifique os erros conceituais cometidos pelo Lucas e refute-os argumentando a partir do Teorema de Rouché-Capelli e dos limites teóricos do posto para matrizes de ordem $4 \times 3$ e $4 \times 4$.
2. b) Determine quais das três opções ((i), (ii) e (iii)) são matematicamente possíveis e quais impossíveis. Para cada opção possível, construa um exemplo numérico concreto; para a opção impossível, demonstre rigorosamente a sua impossibilidade com base nas propriedades do posto.