Exercícios: Resolução de sistemas e regra de Cramer

Dois amigos, Ana e Marcos, estão comparando as suas assinaturas de plataformas de streaming. A Ana paga por um plano de "Cinema" e dois de "Séries" um total de $16$ reais por mês. O Marcos, por sua vez, tem contratados dois planos de "Cinema" e um de "Séries" por $17$ reais mensais. A figura resume os planos que cada um tem.

1. a) Expresse a situação por meio de um sistema de duas equações com duas incógnitas (chame de $x$ o preço mensal do plano de Cinema e de $y$ o do plano de Séries).

1. b) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes.

1. c) Resolva o sistema utilizando a Regra de Cramer para determinar o preço mensal de cada plano.

Um nutricionista projeta uma dieta personalizada para um atleta combinando três tipos de alimentos ($A, B$ e $C$). As quantidades de proteínas, carboidratos e gorduras por unidade de alimento são dadas pelo seguinte sistema de equações, onde $x, y, z$ representam as unidades de cada alimento necessárias para atingir os objetivos diários:

$\begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases}$

1. a) Escreva a matriz de coeficientes $A$ e a matriz ampliada $A^*$.
2. b) Verifique que o sistema é de Cramer calculando o determinante de $A$.
3. c) Encontre o valor da incógnita $x$ aplicando exclusivamente a Regra de Cramer.

Em um torneio de eSports, são concedidos pontos por partidas ganhas ($x$), empatadas ($y$) e por objetivos secundários cumpridos ($z$). Uma equipe obteve os seguintes resultados em três rodadas:

• Rodada 1: $1$ vitória, $1$ empate e $1$ objetivo secundário = $10$ pontos.

• Rodada 2: $2$ vitórias e $1$ empate = $13$ pontos.

• Rodada 3: $1$ vitória e $2$ objetivos secundários = $11$ pontos.

1. a) Monte o sistema de equações associado.
2. b) Resolva-o pela Regra de Cramer para determinar quantos pontos vale cada conceito.

Determine de forma fundamentada qual dos seguintes sistemas de equações é um Sistema de Cramer e, portanto, possui uma única solução que pode ser encontrada por meio de determinantes:

1. a) $\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y = 3 \end{cases}$

Justifique sua resposta analisando o número de equações, o número de incógnitas e o valor do determinante da matriz de coeficientes.

Dado o sistema de equações lineares:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 1 \\ x + y - 2z = -3 \\ 2x - y - z = 0 \end{cases}$

Utilize a Regra de Cramer para calcular unicamente o valor da incógnita $z$. Indique claramente os dois determinantes que você precisou calcular para obter o resultado.

Na cafeteria de uma escola, um grupo de professores fez dois pedidos:

• Pedido 1: $3$ cafés e $2$ torradas por um total de $7,10$ reais.

• Pedido 2: $2$ cafés e $4$ torradas por um total de $7,40$ reais.

Chame de $x$ o preço de um café e de $y$ o preço de uma torrada (em reais).

1. a) Expresse o problema em forma matricial $A \cdot X = B$, indicando as matrizes $A$, $X$ e $B$.

1. b) Calcule a matriz inversa $A^{-1}$.

1. c) Embora o sistema possa ser resolvido por inversão de matrizes, aplique a regra de Cramer para obter o preço de um café e o de uma torrada, e verifique que coincidem com os que dá $X = A^{-1} \cdot B$.

Considere o sistema de equações dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y = 1 \\ x + ky = k \end{cases}$

1. a) Encontre o determinante da matriz de coeficientes em função de $k$.
2. b) Determine para quais valores de $k$ o sistema não pode ser resolvido aplicando a Regra de Cramer.
3. c) Para $k = 2$, resolva o sistema utilizando essa regra.

Geometricamente, três planos no espaço podem se intersectar em um único ponto. Este ponto representa a solução única de um sistema de três equações com três incógnitas.

Dado o sistema que representa a posição de três planos:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases}$

Demonstre, usando o determinante da matriz de coeficientes, que os três planos se intersectam em um único ponto e encontre suas coordenadas $(x, y, z)$ por meio da Regra de Cramer.

O Hugo está resolvendo o seguinte sistema de duas equações lineares com duas incógnitas por meio da regra de Cramer:

$$\begin{cases} 3x - y = 7 \\ 2y + x = 7 \end{cases}$$

Na prova, ele escreveu o seguinte desenvolvimento:

«Escrevo a matriz de coeficientes $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$. O seu determinante é $|A| = 3\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = 5 \ne 0$, de modo que se trata de um sistema de Cramer.

Substituo a coluna de termos independentes para encontrar a incógnita $x$:

$|A_x| = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 7 & 1 \end{vmatrix} = 7 - (-7) = 14$.

Portanto, aplicando a fórmula de Cramer: $x = \dfrac{|A|}{|A_x|} = \dfrac{5}{14}$».

1. a) Identifique e explique detalhadamente os dois erros conceituais cometidos pelo Hugo na resolução.
2. b) Escreva a matriz de coeficientes correta $A$, calcule o seu determinante e justifique por que o sistema é possível e determinado de acordo com o critério de Cramer.
3. c) Aplique corretamente a regra de Cramer para calcular a solução exata e completa $(x, y)$ do sistema.

Numa propriedade agrícola de estufas em Petrolina (Pernambuco), preparam-se soluções de adubo combinando dois fertilizantes líquidos, $A$ e $B$. O fertilizante $A$ contém $10\,\%$ de nitrogênio e o fertilizante $B$ contém $30\,\%$. A equipe técnica precisa obter exatamente $100$ litros de uma mistura que contenha $25\,\%$ de nitrogênio no total. A situação é modelada por meio do sistema:

$$\begin{cases} x + y = 100 \\ 0,10x + 0,30y = 25 \end{cases}$$

onde $x$ representa o volume em litros do fertilizante $A$ e $y$ o volume do fertilizante $B$.

1. a) Estime de forma fundamentada: Sem resolver o sistema, observe que a concentração final pretendida ($25\,\%$) está muito mais próxima da do fertilizante $B$ ($30\,\%$) do que da do $A$ ($10\,\%$). Você espera que o volume necessário de $B$ seja maior ou menor do que o de $A$? Ultrapassará os $50$ litros? Justifique a sua resposta qualitativa antes de fazer os cálculos.
2. b) Justifique que o sistema é um sistema de Cramer calculando o determinante da matriz de coeficientes.
3. c) Aplique a regra de Cramer para calcular os litros exatos de cada fertilizante ($x$ e $y$) e confira se o resultado numérico coincide com a sua estimativa prévia.

Resolva o seguinte sistema de equações lineares utilizando a Regra de Cramer:

$\begin{cases} 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = 8 \end{cases}$

Para isso, identifique primeiro a matriz de coeficientes $A$ e calcule o seu determinante. Em seguida, obtenha os determinantes das matrizes auxiliares $A_x$, $A_y$ e $A_z$ para encontrar o valor das incógnitas.

Uma empresa de logística utiliza três tipos de drones ($D_1$, $D_2$ e $D_3$) para entregar pacotes em uma cidade. Sabe-se que:

• Em uma hora, 2 drones $D_1$, 1 drone $D_2$ e 3 drones $D_3$ podem entregar um total de 28 pacotes.

• Se operarem 1 drone $D_1$, 3 drones $D_2$ e 2 drones $D_3$, entregam 25 pacotes.

• Com 3 drones $D_1$, 2 drones $D_2$ e 1 drone $D_3$, a capacidade é de 27 pacotes.

Monte um sistema de equações em que as incógnitas sejam a capacidade de entrega por hora de cada tipo de drone e resolva-o utilizando a Regra de Cramer.

Dado o sistema dependente do parâmetro real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. a) Demonstre que para $k = 2$ o sistema é um sistema de Cramer.
2. b) Resolva o sistema para esse valor de $k = 2$ aplicando o método de Cramer.

Um data center consome energia de três fontes: solar ($x$), eólica ($y$) e hídrica ($z$). Os custos por MWh e a produção total devem satisfazer o seguinte equilíbrio financeiro:

$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 5x + 10y + 15z = 950 \\ 2x - y + 3z = 110 \end{cases}$

Calcule a quantidade de MWh necessários de cada fonte utilizando a Regra de Cramer. Justifique se o resultado obtido é coerente com o contexto (quantidades não negativas).

Determine a matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ e utilize-a para resolver o sistema de equações $AX = B$, sendo $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

Relacione este método com a Regra de Cramer comentando qual papel o determinante da matriz desempenha em ambos os procedimentos.

Três planos no espaço são dados pelas seguintes equações:

$\pi_1 \equiv x + y + z = 2$

$\pi_2 \equiv 2x - y + 3z = 9$

$\pi_3 \equiv 3x + 2y - z = -1$

Determine a posição relativa dos três planos resolvendo o sistema por Cramer. Se o sistema tiver solução única, o que esse ponto representa geometricamente em relação aos três planos?

Em um laboratório de química, deseja-se fabricar 10 litros de uma solução com uma concentração específica misturando três produtos $A, B$ e $C$ cujas concentrações de álcool são de $10\%$, $20\%$ e $40\%$, respectivamente.

• Deseja-se que a mistura final tenha uma concentração de $25\%$.

• A quantidade de produto $C$ deve ser igual à soma das quantidades de $A$ e $B$.

Monte o sistema de equações e utilize a Regra de Cramer para encontrar quantos litros de cada produto são necessários.

Considere o seguinte sistema de equações lineares homogêneo:

$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \\ 2x - y + kz = 0 \end{cases}$

1. a) Determine o valor de $k$ para que o sistema seja Compatível Determinado.
2. b) Para um valor de $k$ que faça com que o sistema seja de Cramer (por exemplo, $k=1$), verifique por meio da Regra de Cramer que a única solução é a trivial $(0, 0, 0)$.
3. c) Explique graficamente o que significa a única solução ser a trivial em termos de planos que passam pela origem.

Uma empresa de telecomunicações analisa o tráfego de dados entre três nós centrais ($N_1$, $N_2$ e $N_3$). As latências médias $x$, $y$ e $z$ (em milissegundos) satisfazem o seguinte sistema:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 3x + y = 4 \\ 2x + z = 5 \end{cases}$$

Para configurar com urgência o firewall da rede, a equipe de suporte técnico apenas precisa conhecer o valor do atraso $z$, sem precisar dos valores de $x$ nem de $y$.

1. a) Verifique que se trata de um sistema de Cramer calculando o determinante da matriz de coeficientes $A$.
2. b) Escolha o método: Compare a estratégia de resolver todo o sistema pelo método de Gauss com o uso da regra de Cramer para este propósito específico. Explique por que a presença de coeficientes nulos nas equações e a necessidade de calcular uma única incógnita tornam a regra de Cramer computacionalmente mais direta aqui.
3. c) Aplique a regra de Cramer para calcular o valor exato de $z$ avaliando unicamente os determinantes estritamente necessários.

Uma vinícola com denominação de origem La Rioja comercializa três tipos de vinho: Crianza ($x$), Reserva ($y$) e Gran Reserva ($z$). Durante uma campanha de distribuição nacional, as vendas a três redes comerciais apresentam os seguintes dados:

• A distribuidora de Madrid adquire $100$ garrafas de Crianza, $50$ de Reserva e $20$ de Gran Reserva por um montante total de $1940$ reais.

• A distribuidora de Barcelona compra $60$ garrafas de Crianza, $80$ de Reserva e $40$ de Gran Reserva por um montante total de $2480$ reais.

• A distribuidora de Bilbau compra $40$ garrafas de Crianza, $40$ de Reserva e $60$ de Gran Reserva com uma nota fiscal de $2200$ reais.

1. a) Modele o sistema de três equações lineares com três incógnitas que descreve o faturamento e simplifique cada uma das equações dividindo-a pelo respectivo fator comum numérico.
2. b) Demonstre que o sistema simplificado é um sistema de Cramer calculando o determinante da matriz dos coeficientes. O que garante este resultado sobre os preços unitários das garrafas?
3. c) Resolva o sistema por meio da regra de Cramer para determinar o preço por garrafa em reais de cada tipo de vinho ($x$, $y$, $z$).

Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente do parâmetro real $k$:

$$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$$

1. a) Discuta o sistema segundo os diferentes valores de $k$ utilizando o Teorema de Rouché-Frobenius.
2. b) No caso de o sistema ser possível e indeterminado, obtenha a solução geral expressa de forma paramétrica. O que representa geometricamente esse conjunto de soluções no espaço $\mathbb{R}^3$?
3. c) Resolva o sistema para $k = 0$ utilizando a Regra de Cramer.

Dadas as matrizes $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ m & 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Determine os valores do parâmetro real $m$ para os quais a matriz $A$ é invertível.
2. b) Para $m = 0$, resolva a equação matricial $A \cdot X + B = 2B$, em que $X$ é uma matriz de dimensões adequadas.
3. c) Proponha um sistema de equações que permita calcular a primeira coluna da matriz $X$ e resolva-o usando a Regra de Cramer.

Uma empresa de logística aeroespacial projeta três tipos de contêineres de carga ($C_1, C_2, C_3$) para uma missão a Marte. Cada contêiner requer uma quantidade específica de três materiais críticos: Alumínio ($Al$), Titânio ($Ti$) e Fibra de Carbono ($Fc$). As necessidades por unidade estão detalhadas na seguinte tabela:

Material	$C_1$	$C_2$	$C_3$
Alumínio ($kg$)	$2$	$1$	$3$
Titânio ($kg$)	$1$	$2$	$1$
Fibra ($kg$)	$3$	$3$	$k$

1. a) Se se dispõe de um total de $150\,kg$ de Alumínio e $120\,kg$ de Titânio, proponha um sistema de equações para determinar quantos contêineres de cada tipo podem ser fabricados se for consumido todo o estoque.
2. b) Discuta a existência de soluções em função do estoque de Fibra de Carbono disponível ($S_{Fc}$) e da constante estrutural $k$.
3. c) Para $k = 4$ e um estoque de $270\,kg$ de Fibra, é possível fabricar uma combinação de contêineres tal que o número de unidades de $C_1$ seja o dobro das de $C_2$? Justifique a sua resposta resolvendo pelo método de Gauss ou Cramer.

Seja o sistema homogêneo dependente do parâmetro $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$$

1. a) Determine os valores de $a$ para os quais o sistema admite soluções distintas da trivial.
2. b) Para os valores encontrados no item anterior, descreva o conjunto de soluções (reta ou plano que passa pela origem).
3. c) Se $a = -2$, verifique que o posto da matriz de coeficientes é $2$. Escreva a solução geral e identifique quantos parâmetros livres são necessários.

Considere o sistema de 4 equações com 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + 4y + 2z = 5 \\ x - y + 2z = a \end{cases}$$

1. a) Discuta a compatibilidade do sistema em função do valor de $a$.
2. b) Resolva-o em função de $a$ utilizando a Regra de Cramer sobre um subsistema adequado de $3 \times 3$.
3. c) Explique o significado geométrico deste sistema de 4 equações: como estão situados os quatro planos no espaço?

Um investidor divide $10.000$ reais entre três produtos financeiros: criptomoedas, ações tecnológicas e títulos do governo. Chamamos de $x$, $y$ e $z$ os reais investidos em criptomoedas, ações e títulos, respectivamente.

• Ao final de um ano, as criptomoedas subiram $20\%$, as ações caíram $5\%$ e os títulos renderam $3\%$. O lucro total foi de $540$ reais.

• O investidor percebe que, se tivesse investido em ações tecnológicas uma quantia igual à soma do investido em criptomoedas e em títulos (deixando $x$ e $z$ como estão), o seu lucro total teria sido de $250$ reais (mantendo as mesmas rentabilidades).

1. a) Formule um sistema de equações lineares para determinar quanto foi investido em cada produto.

1. b) Resolva o sistema utilizando o método da matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

1. c) O que aconteceria se a rentabilidade dos títulos fosse de $5\%$ em vez de $3\%$? Analise se o sistema continuaria a ter uma solução única.

Dado o sistema de equações:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + az = b \end{cases}$$

1. a) Encontre a relação que deve existir entre $a$ e $b$ para que o sistema seja compatível indeterminado.
2. b) Se $a = 1$ e $b = 3$, raciocine se é possível encontrar uma solução do sistema tal que a soma de suas componentes seja zero ($x + y + z = 0$). Em caso afirmativo, calcule-a usando Cramer.
3. c) Para $a=1$ e $b=0$, determine o posto da matriz ampliada e descreva a posição relativa dos três planos.

Demonstre as seguintes propriedades teóricas sobre sistemas de equações:

1. a) Se $A$ é uma matriz quadrada de ordem 3 tal que $\det(A) = 5$, e consideramos o sistema $AX = B$. Se alterarmos a coluna dos termos independentes $B$ pelo seu dobro $2B$, que relação existe entre a solução do sistema original e a do novo sistema? Justifique utilizando a Regra de Cramer.
2. b) Se um sistema de 3 equações e 3 incógnitas tem $(1, 0, 1)$ e $(0, 1, 2)$ como soluções, prove fundamentadamente que o sistema deve ser possível e indeterminado e encontre uma terceira solução diferente das anteriores.
3. c) É possível que um sistema de equações lineares tenha exatamente duas soluções distintas? Justifique a resposta com base na estrutura da solução geral de um sistema possível e indeterminado.

Problema inverso: Pretende-se conceber um sistema de três equações lineares com três incógnitas dependente de um parâmetro real $m$, da forma $A(m) \cdot X = B$, que cumpra simultaneamente as seguintes especificações:

1. O sistema deve ser um sistema de Cramer para todos os valores reais de $m$, exceto para $m = 2$ e $m = -2$.

2. Para qualquer valor de $m \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, o valor da incógnita $z$ na solução deve ser identicamente nulo ($z = 0$).

3. Para o valor particular $m = 1$, a única solução do sistema deve ser exatamente $(x, y, z) = (1, -1, 0)$.

1. a) Conceba de forma fundamentada uma matriz de coeficientes $A(m)$ e um vetor de termos independentes $B$ que satisfaçam essas três condições. Justifique como você selecionou os elementos de $A(m)$ para que o seu determinante se anule unicamente em $m = \pm 2$.
2. b) Demonstre, a partir das propriedades dos determinantes, que a matriz auxiliar $A_z$ da sua construção cumpre $|A_z| = 0$ independentemente do valor de $m$, garantindo que $z = 0$ sempre que o sistema seja de Cramer.
3. c) Substitua $m = 1$ no seu sistema e calcule, por meio de determinantes, os valores de $|A|$ e $|A_x|$ para verificar que a regra de Cramer conduz de fato a $x = 1$.

Durante uma aula de Matemática II, a Sara afirma categoricamente:

«Se num sistema de três equações com três incógnitas o determinante da matriz de coeficientes for zero ($|A| = 0$) e, simultaneamente, os três determinantes associados às incógnitas também se anularem ($|A_x| = 0$, $|A_y| = 0$ e $|A_z| = 0$), o sistema nunca pode ser impossível; tem forçosamente de ser possível e indeterminado».

1. a) Erro de outrem e contraexemplo: Demonstre de forma fundamentada que a afirmação da Sara é FALSA. Para isso, construa um contraexemplo numérico simples (um sistema $3 \times 3$ que represente três planos paralelos não coincidentes) em que se cumpra $|A| = |A_x| = |A_y| = |A_z| = 0$ e demonstre, aplicando o Teorema de Rouché-Frobenius, que o referido sistema é impossível.
2. b) Explique algebricamente por que razão o cálculo exclusivo de determinantes de ordem 3 se revela insuficiente para determinar a compatibilidade de um sistema quando a característica da matriz de coeficientes é 1.
3. c) Adaptação de Cramer a sistemas indeterminados: Se um sistema $3 \times 3$ for possível e indeterminado com característica 2, descreva o procedimento para selecionar um menor de ordem 2 não nulo e aplicar a regra de Cramer para exprimir as soluções em função de um parâmetro. Ilustre a sua explicação resolvendo passo a passo o seguinte sistema:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y - 2z = 2 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}$$