Exercícios: Retas e pontos notáveis de um triângulo

Calcule as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são $A(1, 2)$, $B(3, -4)$ e $C(-1, 5)$.

Encontre a equação explícita da mediana que parte do vértice $A$ no triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, -2)$ e $C(2, 6)$.

Determine a equação geral da altura traçada a partir do vértice $B$ no triângulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ e $C(1, -5)$.

Calcule a equação geral da mediatriz do lado $AB$ de um triângulo sabendo que seus vértices correspondentes são $A(2, 5)$ e $B(-4, 1)$.

Encontre as coordenadas do ortocentro do triângulo retângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ e $C(0, 4)$.

Calcule as coordenadas do circuncentro do triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(8, 0)$ e $C(0, 6)$.

Verifique analiticamente se o ponto $P(1, 2)$ é o baricentro do triângulo de vértices $A(2, 3)$, $B(-1, 4)$ e $C(5, 1)$.

Calcule as equações das duas bissetrizes dos ângulos formados pelas retas que contêm os lados de um triângulo, cujas equações são $3x-4y+1=0$ e $4x+3y-5=0$.

Em uma prova de Matemática da 1ª série do Ensino Médio, pede-se para determinar a equação geral da altura correspondente ao vértice $A$ no triângulo de vértices $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ e $C(4, -1)$.

O Marcos entrega a seguinte resolução:

1º Determine o ponto médio do lado $BC$: $M = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1, 0)$.

2º Calcule o coeficiente angular do lado $BC$: $m_{BC} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

3º Deduza o coeficiente angular perpendicular: $m_\perp = 3$.

4º Escreva a reta com coeficiente angular $3$ que passa por $M(1, 0)$: $y - 0 = 3(x - 1) \implies 3x - y - 3 = 0$.

Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual cometido pelo Marcos: que reta notável ele calculou na realidade em vez da altura? Em seguida, redija o procedimento correto e obtenha a equação geral da altura que foi pedida.

Em um triângulo $\triangle ABC$, conhecem-se dois de seus vértices: $A(-3, 2)$ e $B(5, -4)$. Sabe-se ainda que o baricentro (centro de gravidade) está no ponto $G(1, 1)$.

1. a) Formule as equações vetoriais ou analíticas necessárias e determine, de forma fundamentada, as coordenadas do terceiro vértice $C$.
2. b) Com as coordenadas dos três vértices já calculadas, classifique o triângulo quanto ao comprimento de seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno), justificando sua resposta com o cálculo explícito dos módulos.
3. c) Determine a equação contínua da reta que contém a mediana que parte do vértice $C$.

Três árvores em uma plantação agrícola estão situadas nos pontos $A(1, 1)$, $B(5, 3)$ e $C(1, 5)$ (coordenadas expressas em dezenas de metros). Deseja-se instalar um aspersor que fique à mesma distância das três árvores. Calcule as coordenadas do ponto onde ele deve ser colocado (circuncentro) e o raio de alcance da água necessário para irrigá-las.

Três antenas de telecomunicações formam um triângulo com vértices em $A(-4, 0)$, $B(2, -2)$ e $C(5, 5)$. Calcule a localização do centro de gravidade (baricentro) para colocar um transmissor central, e determine a distância exata entre esse transmissor e a antena $C$.

Em um triângulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 4)$ e $C(a, b)$, sabe-se que o baricentro é o ponto $G(2, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$ e a equação simétrica da reta da mediana que parte desse vértice.

Um edifício tem uma planta triangular com vértices nos pontos $A(-1, -1)$, $B(5, -1)$ e $C(2, 5)$. Calcule as coordenadas do ortocentro de tal triângulo.

O ortocentro de um triângulo é o ponto $H(2, 2)$. Sabe-se que dois de seus vértices são $A(-1, 3)$ e $B(4, 1)$. Calcule as coordenadas do vértice $C$.

Dado o triângulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(2, 6)$, encontre as coordenadas de seu baricentro e de seu ortocentro. A seguir, obtenha a equação geral da reta de Euler que passa por ambos os pontos.

Um triângulo tem vértices $A(1, 1)$ e $B(5, 1)$. O vértice $C$ encontra-se sobre a reta de equação $y = x+2$. Sabendo que o triângulo é isósceles e que o lado desigual é $AB$, encontre as coordenadas do vértice $C$ e de seu circuncentro.

Três abrigos de montanha estão situados nas coordenadas $A(0, 4)$, $B(4, 0)$ e $C(-2, -2)$ (expressas em quilômetros). Um helicóptero de resgate se mantém em voo estacionário no circuncentro do triângulo formado pelos abrigos. Calcule as coordenadas do helicóptero e o raio da circunferência que abrange os três abrigos.

Considere o triângulo de vértices $A(-4, 0)$, $B(4, 0)$ e $C(0, 6)$.

1. a) Estime antes de calcular: Observando as coordenadas e a simetria do triângulo em relação ao eixo das ordenadas, sobre que reta devem se situar necessariamente o baricentro $G$, o ortocentro $H$ e o circuncentro $O$? Classifique também o ângulo no vértice $C$ (calculando o sinal do produto escalar $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$) para fundamentar se o ortocentro e o circuncentro ficarão dentro ou fora do triângulo.
2. b) Calcule: Obtenha analiticamente as coordenadas do circuncentro $O$ (por meio da interseção de mediatrizes ou da condição de equidistância aos vértices) e do ortocentro $H$ (intersectando duas alturas).
3. c) Verifique: Determine as coordenadas do baricentro $G$ por meio da fórmula direta e verifique se as suas estimativas do item a) estavam corretas. Verifique numericamente se a relação da reta de Euler $\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$ se cumpre.

O dispositivo de combate a incêndios florestais de Castela-La Mancha (Plano INFOCAM) analisa a localização de um posto de comando avançado helitransportado para coordenar três torres de vigia situadas nos pontos $A(1, 3)$, $B(8, 10)$ e $C(9, 3)$, cujas coordenadas são dadas em quilômetros em relação ao centro da região. A comissão técnica pondera dois critérios:

• Critério 1 (Equidistância): Situar o posto no circuncentro $O$, de modo que a distância em linha reta a qualquer uma das três torres seja exatamente a mesma.

• Critério 2 (Centro de massa): Situar o posto no baricentro $G$, de modo a minimizar o deslocamento médio habitual do helicóptero.

1. a) Modele analiticamente ambos os critérios calculando as coordenadas exatas da base de acordo com o Critério 1 e de acordo com o Critério 2.
2. b) Se o helicóptero de reconhecimento tem um raio de ação garantido de $6\text{ km}$ sem reabastecer a partir do seu posto de comando, determine de forma justificada se ambas as localizações permitem alcançar as três torres dentro desse limite de segurança.

Dado um triângulo retângulo genérico cujos vértices se situam em $A(0,0)$, $B(a,0)$ e $C(0,b)$ com $a, b > 0$, demonstre analiticamente que seu ortocentro coincide com a origem das coordenadas e seu circuncentro é exatamente o ponto médio da hipotenusa.

Os vértices de um triângulo são $A(1, 0)$, $B(3, 0)$ e $C(t, 2t)$, onde $t$ é um parâmetro real que determina a posição do vértice $C$ sobre uma reta. Encontre a equação do lugar geométrico que descreve o baricentro do triângulo ao variar $t$.

De um triângulo $ABC$ conhece-se o vértice $A(1, 3)$ e as equações de duas de suas medianas: $x-2y+1=0$ e $y-1=0$. Calcule as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Dados os vértices de um triângulo $A(-2, -1)$, $B(4, -1)$ e $C(1, 5)$, encontre as coordenadas do ortocentro $H$, do baricentro $G$ e do circuncentro $O$. Demonstre analiticamente que a distância entre o ortocentro e o baricentro é o dobro da distância entre o baricentro e o circuncentro ($HG = 2GO$).

Três estradas se cruzam formando um triângulo delimitado pelas retas $x=0$, $y=0$ e $3x+4y-12=0$. Calcule as coordenadas do incentro para situar uma rotatória tangente às três vias, e o raio de tal rotatória.

Em um triângulo $ABC$, o vértice $A$ tem coordenadas $(-1, 2)$. As alturas traçadas a partir dos vértices $B$ e $C$ estão contidas nas retas de equações $x-y+1=0$ e $2x+y-4=0$, respectivamente. Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Conhece-se o vértice $A(2, 5)$ de um triângulo $ABC$. As mediatrizes dos lados $AB$ e $AC$ têm como equações $x-y+2=0$ e $2x+y-3=0$, respectivamente. Encontre as coordenadas dos vértices $B$ e $C$.

Determine as coordenadas dos vértices $B$ e $C$ de um triângulo sabendo que o vértice $A$ é $(-3, 1)$, o circuncentro dele é o ponto $O(5, 2)$ e o baricentro dele é $G(4, 2)$.

Para calcular as coordenadas do circuncentro $O$ do triângulo de vértices $A(1, 5)$, $B(-1, 1)$ e $C(5, -2)$, três estudantes propõem estratégias distintas:

• Estratégia A: Obter as equações de duas mediatrizes (calculando pontos médios e vetores normais) e resolver o sistema linear $2 \times 2$.

• Estratégia B: Exigir a igualdade de distâncias $d(O, A)^2 = d(O, B)^2 = d(O, C)^2$ para um ponto genérico $O(x, y)$, desenvolver os produtos notáveis e resolver o sistema linear resultante.

• Estratégia C: Verificar primeiro as propriedades geométricas particulares do triângulo (calculando os produtos escalares entre os vetores dos seus lados) para o caso de ser um triângulo retângulo, situação em que uma propriedade teórica permite determinar o circuncentro de forma direta.

1. a) Compare criticamente as estratégias A e B: quantas etapas algébricas cada uma requer e em qual é mais fácil cometer erros de sinal ou de cálculo?
2. b) Aplique a Estratégia C: calcule os vetores $\vec{BA}$ e $\vec{BC}$, efetue o produto escalar deles $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ e interprete geometricamente o resultado obtido.
3. c) Apoiando-se na conclusão do item b), obtenha as coordenadas do circuncentro $O$ com o mínimo de cálculo possível e justifique por que essa estratégia se revela muito superior às outras duas para este triângulo específico.

Em um triângulo não equilátero $\triangle ABC$, foram extraviadas no plano de trabalho as coordenadas dos vértices $B$ e $C$, mas conhecem-se com certeza os seguintes dados:

• O circuncentro do triângulo é $O(1, -2)$.

• O ortocentro do triângulo é $H(7, 4)$.

• Um dos vértices é $A(-1, 2)$.

1. a) Deduza de forma fundamentada as coordenadas do baricentro $G$ utilizando a propriedade vetorial da reta de Euler ($\vec{HG} = 2\,\vec{GO}$), demonstrando que não é necessário conhecer previamente os vértices $B$ e $C$.
2. b) Sabendo que o baricentro divide a mediana que parte de $A$ na razão $2:1$ a partir desse vértice (ou seja, $\vec{AG} = 2\,\vec{GM_A}$, onde $M_A$ é o ponto médio do lado $BC$), determine as coordenadas de $M_A$.
3. c) Justifique por que a reta que passa pelo circuncentro $O$ e pelo ponto médio $M_A$ é necessariamente a mediatriz do segmento $BC$. Escreva a equação geral dela e deduza, a partir disso, o coeficiente angular da reta que contém o lado $BC$.
4. d) Explique de forma fundamentada como se poderiam determinar com exatidão as coordenadas dos dois vértices que faltam, $B$ e $C$, a partir da interseção da reta que contém o lado $BC$ com a circunferência circunscrita de centro $O$ e raio $R = d(O, A)$ (não é necessário resolver a equação do segundo grau resultante, basta formular o procedimento e justificar por que ele fornece exatamente duas soluções).

Desafio do tema. Onde você localizaria um heliporto de emergência para atender de forma ótima três municípios do seu estado?

1. Coleta de dados: Acesse o Google Maps ou o visualizador do IBGE e escolha três localidades que formem um triângulo. Fixe uma origem de coordenadas cartesianas (em km) para obter as coordenadas dos três vértices: $A$, $B$ e $C$.

2. Construção e retas notáveis: Passe os pontos para o GeoGebra. Encontre analiticamente os pontos médios dos lados e as equações reduzidas e gerais de duas mediatrizes. Analise a posição relativa delas e calcule o ponto de interseção para encontrar o circuncentro (centro de evacuação equidistante).

3. Métrica e ângulos: Determine a distância euclidiana do heliporto a cada município e a distância à reta que une $A$ e $B$. Encontre também o ângulo do vértice $A$ tanto em graus sexagesimais quanto em radianos ($rad$) a partir dos vetores diretores dos lados.

4. Proposta fundamentada: Elabore um relatório de uma página com o gráfico do GeoGebra que justifique se é mais conveniente construir a base no circuncentro ou no baricentro.

Será avaliado:

• Rigor no cálculo analítico de equações, distâncias e conversão de ângulos.

• Correção ao encontrar pontos médios, pontos notáveis e posições relativas.

• Uso preciso do GeoGebra e coerência na justificativa territorial escolhida.