Exercícios: Posição relativa de duas retas

Determine a posição relativa das retas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ e $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando diretamente os seus coeficientes.

Dadas as retas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ e $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indique a posição relativa delas, justificando sua resposta a partir do valor de seus coeficientes angulares.

Estude a posição relativa da reta $r$, que passa pelos pontos $A(1, 2)$ e $B(3, 5)$, e da reta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.

Calcule as coordenadas exatas do ponto de intersecção das retas concorrentes $r: x + 2y - 4 = 0$ e $s: 3x - y - 5 = 0$.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que as retas $r: kx + 4y - 2 = 0$ e $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sejam estritamente paralelas.

Dois drones de exploração seguem trajetórias retilíneas descritas pelas equações $r: x - y + 2 = 0$ e $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcule as coordenadas do ponto do plano onde suas trajetórias se cruzam.

Determine a posição relativa das retas dadas na forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.

Determine o valor de $m$ para que as retas $r: mx - 6y + 1 = 0$ e $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sejam concorrentes e não paralelas.

A Ana deve determinar a posição relativa das retas $r: 4x - 6y + 3 = 0$ e $s: \dfrac{x - 1}{3} = \dfrac{y + 2}{2}$. Na sua prova, escreve o seguinte raciocínio:

«A reta $r$ tem coeficiente angular $m_r = -\dfrac{4}{6} = -\dfrac{2}{3}$. Para a reta $s$, o seu vetor diretor é $\vec{v}_s = (3, 2)$, de modo que o seu coeficiente angular é $m_s = \dfrac{2}{3}$. Como os coeficientes angulares têm sinais diferentes ($-\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{2}{3}$), concluo que as retas são concorrentes e se intersectam num único ponto; se tivessem o mesmo sinal, seriam paralelas».

Identifique e explique de forma fundamentada os dois erros (um de cálculo algébrico e outro de conceito) que a Ana cometeu. Em seguida, resolva o exercício corretamente, determinando a verdadeira posição relativa das duas retas por meio da comparação de seus vetores diretores ou de seus coeficientes angulares.

Dada a reta $r: 3x - 4y + 12 = 0$, formule e obtenha as equações gerais de duas retas distintas, $s$ e $t$, que satisfaçam de forma inversa as seguintes condições geométricas:

1. a) A reta $s$ deve ser paralela a $r$ e passar exatamente pela origem das coordenadas $(0, 0)$.
2. b) A reta $t$ deve ser paralela a $r$, mas o seu coeficiente linear deve ser o triplo do coeficiente linear de $r$.

Justifique algebricamente por que razão nenhuma das três retas ($r$, $s$ e $t$) é coincidente com as restantes, analisando a proporcionalidade dos seus coeficientes.

Em um sistema de segurança, dois feixes de laser são modelados em um plano cartesiano. O primeiro feixe segue a reta $r: x + y - 6 = 0$ e o segundo passa pelos emissores localizados em $P(2, 1)$ e $Q(-2, -1)$. Determine se os feixes de laser são paralelos, coincidentes ou concorrentes. Se forem concorrentes, determine o ponto exato de interseção.

As trajetórias de dois aviões na tela de um radar bidimensional são dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ e $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Verifique se as rotas se cruzam e, em caso afirmativo, calcule o ponto de interseção das trajetórias no plano.

Discuta a posição relativa das retas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ e $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ em função dos possíveis valores do parâmetro $m$.

Calcule o valor de $k$ para que as retas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ e $t: 3x + ky - 2 = 0$ se intersectem exatamente no mesmo ponto do plano.

Um arquiteto projeta duas passarelas retas em um parque. A passarela A segue a direção do vetor $\vec{u} = (4, -2)$ e passa pela fonte localizada em $F(0, 5)$. A passarela B é dada pela equação $x + 2y - 10 = 0$. Demonstre analiticamente que ambas as passarelas se sobrepõem, sendo na verdade a mesma reta.

Determine as coordenadas dos vértices do triângulo formado pela interseção das três retas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ e $t: x + 4y - 12 = 0$.

Dadas as retas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ e $s: 3x - 2y + k = 0$, verifique se existe algum valor do parâmetro $k$ para o qual as retas sejam coincidentes. Justifique a sua resposta de forma analítica.

Um raio de luz em um experimento de óptica segue a trajetória descrita pela reta $r: x - 2y + 4 = 0$. Um espelho plano está posicionado exatamente sobre o eixo das abscissas ($y = 0$). Determine as coordenadas do ponto de incidência do raio sobre o espelho.

Dadas as retas $r: 3x - 2y + 7 = 0$ e $s: \begin{cases} x = 1 - 4\lambda \\ y = 2 - 6\lambda \end{cases}$ (com $\lambda \in \mathbb{R}$), deseja-se determinar a posição relativa delas e encontrar o ponto de interseção, se existir. Para resolver, propõem-se duas estratégias:

• Método A: Transformar a reta $s$ na equação geral implícita $Ax + By + C = 0$ e comparar a proporcionalidade dos coeficientes $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ e $\frac{C_1}{C_2}$.

• Método B: Substituir diretamente as expressões paramétricas de $x(\lambda)$ e $y(\lambda)$ da reta $s$ na equação geral de $r$ e resolver a equação do primeiro grau resultante em $\lambda$.

Aplique ambos os métodos passo a passo para classificar a posição relativa das retas e justifique qual dos dois procedimentos se revela mais direto, eficiente e com menor risco de erro neste caso particular.

O centro de Salvamento Marítimo em Tarifa monitora duas embarcações em águas do Estreito por meio de coordenadas cartesianas (onde $1\text{ unidade} = 1\text{ milha náutica}$). Uma lancha de salvamento navega em linha reta seguindo a trajetória da reta $r$, que passa pelo ponto $A(-1, 3)$ e tem a direção do vetor $\vec{u} = (2, -1)$. Ao mesmo tempo, um navio cargueiro mantém uma rota descrita pela equação $s: x + 2y - 15 = 0$.

1. a) Determine de forma fundamentada a posição relativa de ambas as trajetórias. Existe risco de colisão entre elas se ambas as embarcações seguirem seu rumo indefinidamente? Se elas se intersectarem, determine as coordenadas do ponto de encontro.
2. b) Devido a uma avaria no leme, o cargueiro altera sua trajetória e passa a seguir a reta $s_k: kx + 6y - 10 = 0$. Calcule o valor exato de $k$ para que o novo rumo seja estritamente paralelo ao da lancha de salvamento e analise se existe algum valor de $k$ que torne ambas as trajetórias coincidentes.

Discuta a posição relativa das retas $r: ax + y - b = 0$ e $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando uma análise exaustiva em função dos parâmetros simultâneos $a$ e $b$.

Três rodovias retas são modeladas em um plano topográfico mediante as equações $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ e $t: ax + y - 2 = 0$. Determine os valores do parâmetro $a$ para os quais as três rodovias se intersectam em um único ponto ou são paralelas entre si, impedindo que se forme um triângulo delimitado por elas.

Um paralelogramo tem dois de seus lados sobre as retas $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: x - 2y - 6 = 0$. Outro de seus lados encontra-se sobre a reta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabendo que um dos vértices do paralelogramo é o ponto $P(4, 4)$, calcule a equação da reta que contém o quarto lado e determine as coordenadas exatas dos quatro vértices.

Determine o valor ou valores de $k$ para que o ponto de interseção das retas concorrentes $r: 2x + ky - 6 = 0$ e $s: x - y + 2 = 0$ pertença à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes ($y = x$).

Considere a família ou feixe de retas definido pela expressão matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demonstre que todas as retas que compõem este feixe se intersectam em um mesmo ponto fixo e calcule as suas coordenadas. A seguir, determine a equação geral da reta deste feixe que é paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.

Uma bola de bilhar segue a trajetória dada pela reta $r: x - y + 2 = 0$ e rebate na tabela representada pela reta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, calcule as coordenadas do ponto exato onde a bola impacta na tabela e determine a equação da reta que descreve a trajetória após o rebote.

Dadas as retas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ e $s: ax + by - 5 = 0$, calcule os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que ambas as retas sejam idênticas. Posteriormente, determine a equação geral de uma reta perpendicular a ambas que passe pela origem das coordenadas.

As órbitas projetadas de dois cometas em um plano espacial seguem as trajetórias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ e $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determine se existe algum momento (valor de $m$) em que as trajetórias sejam estritamente paralelas. Para quais valores de $m$ as órbitas se cruzam em um único ponto?

Consideram-se as retas $r: x - 2y + 4 = 0$ e $s: 3x + y - 9 = 0$.

1. a) Estime: Sem resolver o sistema de equações algebricamente nem representá-las em escala milimétrica, deduza de forma fundamentada em que quadrante do plano cartesiano essas duas retas necessariamente se intersectarão, e demonstre por que a abscissa desse ponto de interseção deve pertencer estritamente ao intervalo aberto $(0, 3)$. Baseie a sua estimativa exclusivamente no sinal dos coeficientes angulares e nos pontos de interseção de cada reta com os eixos cartesianos.
2. b) Verifique: Resolva analiticamente o sistema formado pelas equações de $r$ e $s$ para determinar as coordenadas exatas do ponto de interseção $P(x, y)$.
3. c) Avalie: Confronte o resultado analítico obtido com a sua estimativa inicial e reflita sobre como a análise qualitativa prévia permite detectar incoerências em cálculos algébricos.

No plano afim consideram-se duas retas fixas, $r: x - y - 1 = 0$ e $s: 2x + y - 5 = 0$, juntamente com uma terceira reta que depende de um parâmetro real: $t_k: kx + y - 7 = 0$.

Pretende-se investigar sob que condições as três retas delimitam um triângulo no plano.

1. a) Explique de forma dedutiva quais são as duas únicas causas geométricas pelas quais três retas coplanares (sabendo que $r$ e $s$ já são concorrentes) NÃO formam um triângulo.
2. b) Imponha as condições algébricas de posição relativa para calcular os valores de $k$ que fazem com que $t_k$ seja paralela à reta $r$ ou paralela à reta $s$. Verifique também se, para algum desses valores, $t_k$ chega a ser coincidente com elas.
3. c) Determine o valor de $k$ para o qual as três retas são concorrentes no mesmo ponto, ou seja, passam simultaneamente pelo mesmo ponto.
4. d) A partir das alíneas anteriores, determine com precisão o conjunto de valores de $k \in \mathbb{R}$ para os quais as três retas formam EFETIVAMENTE um triângulo.