Exercícios: Dependência

Em uma urna há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas azuis. Retiram-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Calcule a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha e a segunda seja azul.

De um baralho espanhol de $40$ cartas, extraem-se duas cartas ao acaso, uma após a outra e sem reposição. Qual é a probabilidade de que ambas as cartas sejam reis?

Considere dois eventos $A$ e $B$ de um experimento aleatório. Sabemos que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ e $P(A \cap B) = 0,2$. Verifique matematicamente se os eventos $A$ e $B$ são independentes.

Lançamos dois dados comuns de seis faces. Sabendo que a soma dos pontos obtidos é $8$, qual é a probabilidade de que em um dos dados tenha saído um $3$?

Observe o seguinte diagrama de árvore que representa um experimento composto em duas etapas. Calcule a probabilidade de obter o resultado final $C$ passando pelo ramo $A$.

Em uma turma de $30$ alunos, $18$ estudam francês, $12$ estudam alemão e $5$ estudam ambos os idiomas. Se um aluno é escolhido ao acaso e se sabe que ele estuda francês, qual é a probabilidade de que também estude alemão?

Retira-se uma carta de um baralho espanhol e, em seguida, lança-se uma moeda para cima. Esses dois eventos são dependentes ou independentes? Calcule a probabilidade de obter um "Ás" no baralho e "Cara" na moeda.

Uma moeda é viciada de forma que a probabilidade de obter Cara é $0,7$. A moeda é lançada duas vezes consecutivas. Calcule a probabilidade de obter exatamente uma Cara e uma Coroa (em qualquer ordem).

O Marcos tem em uma gaveta $5$ meias pretas e $3$ meias azuis, todas soltas e idênticas ao tato. Ele vai retirar duas meias consecutivamente, no escuro e sem reposição. Para calcular a probabilidade de a primeira meia ser preta e a segunda ser azul, o Marcos escreve no caderno:

«$P(\text{Preta na 1.ª}) = \frac{5}{8}$ e $P(\text{Azul na 2.ª}) = \frac{3}{8}$. Como são dois eventos independentes, multiplico ambas as probabilidades: $P(\text{Preta e Azul}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$».

1. a) Aponte o erro conceitual cometido pelo Marcos e explique com suas palavras por que duas retiradas consecutivas sem reposição não podem ser tratadas como eventos independentes.
2. b) Corrija o cálculo aplicando a regra do produto para eventos dependentes: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
3. c) Calcule a probabilidade de as duas meias retiradas serem da mesma cor.

Num grupo de $30$ estudantes do 4.º ano do Ensino Secundário Obrigatório (ESO), realiza-se um inquérito sobre passatempos: $18$ jogam habitualmente videojogos, $12$ praticam desporto federado e $6$ realizam ambas as atividades.

1. a) Se se escolher um estudante ao acaso de toda a turma, calcula a probabilidade a priori de que pratique desporto federado, $P(D)$.
2. b) Antes de realizar qualquer cálculo formal, estima fundamentadamente: se escolhermos ao acaso um estudante unicamente de entre os que jogam videojogos, a probabilidade de que pratique desporto federado será maior, igual ou menor do que a obtida na alínea anterior? Justifica a tua previsão comparando a proporção global com a do subgrupo.
3. c) Verifica numericamente a tua estimativa calculando a probabilidade condicionada $P(D \mid V)$ através da sua definição $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$. O resultado exato confirma o teu raciocínio prévio?

Em uma fábrica, a máquina A produz $60\%$ das peças e a máquina B produz os $40\%$ restantes. Sabe-se que $2\%$ das peças produzidas por A são defeituosas, enquanto na máquina B a porcentagem de defeituosas é de $5\%$. Se uma peça for escolhida ao acaso do almoxarifado, qual é a probabilidade de que tenha sido fabricada pela máquina B e seja defeituosa?

Um jogador de basquete tem uma porcentagem de acerto de $80\%$ no primeiro lance livre. Se acertar o primeiro, sua confiança aumenta e a probabilidade de acertar o segundo lance livre sobe para $90\%$. No entanto, se errar o primeiro, fica nervoso e a probabilidade de acertar o segundo cai para $60\%$. Calcule a probabilidade de o jogador converter exatamente um lance livre em uma série de dois lançamentos.

Em um vilarejo, $45\%$ dos habitantes leem o jornal X, $35\%$ leem o jornal Y, e $15\%$ leem ambos os jornais. Se escolhermos um habitante ao acaso e soubermos que ele lê o jornal X, qual é a probabilidade de que também leia o jornal Y? À luz dos resultados, raciocine se os eventos "ler o jornal X" e "ler o jornal Y" são independentes.

Temos duas caixas. A CAIXA I contém $4$ bolas verdes e $2$ amarelas. A CAIXA II contém $3$ bolas verdes e $5$ amarelas. Retiramos uma bola ao acaso da CAIXA I e a introduzimos na CAIXA II. Em seguida, misturamos bem e retiramos uma bola da CAIXA II. Qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam verdes?

De uma caixa que contém $10$ lâmpadas, sabe-se que $3$ delas estão queimadas. Retiram-se $3$ lâmpadas sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de que exatamente uma das lâmpadas retiradas esteja queimada?

Em uma clínica é realizado um teste rápido de alergia. Sabe-se que $8\%$ dos pacientes são alérgicos a uma determinada substância. O teste dá um resultado positivo em $90\%$ dos pacientes que realmente são alérgicos. No entanto, também dá um falso positivo em $5\%$ dos pacientes que não são alérgicos. Escolhe-se um paciente ao acaso e realiza-se o teste nele. Qual é a probabilidade de que o resultado seja positivo?

Dois arqueiros atiram uma flecha no mesmo alvo. O arqueiro A acerta com uma probabilidade de $0,7$ e o arqueiro B acerta com uma probabilidade de $0,8$. Seus tiros são totalmente independentes. Qual é a probabilidade de o alvo ser atingido por pelo menos uma flecha?

Em uma estante há $5$ romances e $3$ livros de poesia. Escolhem-se dois livros ao acaso, um após o outro e sem reposição. Se o segundo livro escolhido foi de poesia, qual é a probabilidade de que o primeiro livro escolhido também tenha sido?

De acordo com dados de mobilidade inspirados no Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) para uma operação de saída de feriado, em um estado, $70\%$ dos deslocamentos intermunicipais são realizados por rodovia ($A$) e os restantes $30\%$ por estradas convencionais secundárias ($S$). Sabe-se que a probabilidade de sofrer um congestionamento grave ($R$) é de $0,15$ se a pessoa circular por rodovia, enquanto em estrada secundária essa probabilidade se reduz para $0,05$.

1. a) Modele a situação construindo um diagrama de árvore completo que reflita os eventos de cada etapa e suas probabilidades associadas (a priori e condicionais).
2. b) Utilize o teorema da probabilidade total para calcular a probabilidade de um motorista escolhido ao acaso nessa viagem sofrer um congestionamento grave.
3. c) Se um motorista chega ao seu destino após ter sofrido um congestionamento grave, qual é a probabilidade de ele ter feito a viagem por rodovia? Interprete por que razão essa porcentagem resulta tão elevada, apesar de as rodovias serem projetadas para suportar maior fluidez de tráfego.

Em uma urna opaca há $10$ bolas idênticas ao tato, das quais $r$ são vermelhas e as restantes são brancas. Retiram-se ao acaso duas bolas consecutivamente e sem reposição.

1. a) Sabendo que a probabilidade de as duas bolas retiradas serem vermelhas é exatamente igual a $\frac{1}{15}$, formule uma equação algébrica em função de $r$ utilizando a regra do produto para eventos dependentes e resolva-a para determinar quantas bolas de cada cor a urna continha no início.
2. b) Com a composição da urna já deduzida, calcule a probabilidade de a segunda bola ser branca sabendo que a primeira bola retirada foi vermelha, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Demonstre matematicamente se o evento «obter bola branca na segunda retirada» é dependente ou independente do resultado obtido na primeira, comparando $P(B_2 \mid R_1)$ com a probabilidade a priori de obter branca na primeira retirada, $P(B_1)$.

Temos três cofres idênticos por fora. O COFRE A contém $2$ moedas de ouro e $1$ de prata. O COFRE B contém $1$ moeda de ouro e $3$ de prata. O COFRE C contém $4$ moedas de ouro. Lançamos um dado equilibrado: se sair $1$ ou $2$, escolhemos o cofre A; se sair $3$, escolhemos o cofre B; se sair $4$, $5$ ou $6$, escolhemos o cofre C. Em seguida, retiramos uma moeda ao acaso do cofre escolhido. Qual é a probabilidade de que a moeda retirada seja de ouro?

Em uma escola, $55\%$ dos alunos são garotas. Sabe-se que $20\%$ das garotas e $25\%$ dos garotos participam ativamente do clube de teatro. Se for escolhido ao acaso um estudante que participa do clube de teatro, qual é a probabilidade de que seja uma garota?

Em uma urna há $x$ bolas vermelhas e $5$ bolas pretas. Extraem-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas é exatamente $\frac{1}{6}$, formule uma equação e determine o número de bolas vermelhas $x$ que há na urna.

Um sistema de segurança da informação tem dois firewalls independentes. A probabilidade de o firewall A falhar diante de um ataque é $0,15$ e a probabilidade de o firewall B falhar é $0,10$. O sistema é comprometido apenas se ambos os firewalls falharem. Qual é a probabilidade de o sistema resistir a um ataque? Se for adicionado um terceiro firewall C idêntico a B e independente dos anteriores, quanto aumenta a probabilidade de o sistema resistir ao ataque?

Um jogador retira cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas, uma a uma e sem reposição, até que saia uma figura (valete, cavalo ou rei). Qual é a probabilidade de ter que retirar exatamente $3$ cartas para atingir seu objetivo?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um mesmo experimento aleatório tais que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizando as propriedades da probabilidade, encontre o valor da interseção e calcule $P(A|B)$ e $P(B|A)$. $A$ e $B$ são eventos independentes? Justifique sua resposta.

Uma bolsa opaca contém $10$ bilhetes idênticos ao tato: $2$ deles têm prêmio e $8$ estão em branco. Três amigos, Fátima, Bruno e Lucas, retiram consecutivamente e sem reposição um bilhete cada um nessa mesma ordem. Qual é a probabilidade de o primeiro prêmio ser retirado por Lucas?

Temos dois dados cúbicos em um copo de dados. O primeiro é um dado normal com as faces numeradas de $1$ a $6$. O segundo é um dado viciado que tem três faces com um $2$, duas faces com um $3$ e uma face com um $5$. Escolhe-se um dado ao acaso (com probabilidade $\frac{1}{2}$ para cada um) e ele é lançado. Se o resultado obtido for um número par, qual é a probabilidade de ter sido lançado o dado viciado?

Em uma unidade de saúde escolar, avalia-se a confiabilidade de um teste de diagnóstico rápido para detectar uma infecção assintomática. Os dados epidemiológicos indicam que a prevalência da infecção na população-alvo é de $2\%$ ($0,02$). A sensibilidade do teste é de $95\%$ (se uma pessoa estiver infectada, tem resultado positivo com probabilidade $0,95$) e a taxa de falsos positivos é de $5\%$ (se uma pessoa for saudável, tem resultado positivo por erro com probabilidade $0,05$). Deseja-se calcular a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo estar realmente infectada, $P(I \mid +)$.

Dois estudantes propõem métodos de resolução distintos:

• Método 1 (Formal analítico): Definir os eventos, calcular a probabilidade total $P(+)$ somando os dois ramos da árvore e aplicar o teorema de Bayes: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Método 2 (Tabela de contingência com frequências naturais): Supor uma população hipotética de $10.000$ pessoas, distribuí-las em uma tabela de dupla entrada de $2 \times 2$ de acordo com o estado real e o resultado do teste, e calcular o quociente direto de infectados pelo total de positivos.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos e verifique que se obtém exatamente o mesmo valor numérico (arredonde o resultado a uma casa decimal em porcentagem).
2. b) Compare criticamente os dois caminhos: qual dos dois métodos você considera mais adequado e compreensível para explicar a um paciente sem formação matemática por que um teste com «$95\%$ de acerto» produz uma probabilidade real de estar doente tão inesperadamente baixa? Justifique a sua escolha explicando o papel que os falsos positivos desempenham no denominador.

Em um processo penal, analisa-se uma amostra biológica encontrada no local do crime. O relatório forense conclui que apenas $1$ em cada $100.000$ pessoas escolhidas ao acaso compartilha o referido perfil genético; isto é, a probabilidade de coincidência acidental em um indivíduo inocente é $P(\text{Coincidência} \mid \text{Inocente}) = 0,00001$.

O promotor de justiça no julgamento acusa o suspeito Pedro, argumentando o seguinte: «Dado que o DNA de Pedro coincide plenamente com a amostra, a probabilidade de que seja inocente é de apenas $0,001\%$, pelo que a sua culpa fica provada com uma certeza de $99,999\%$.»

O juiz solicita uma perícia assumindo que o crime foi cometido em uma cidade fechada de $500.000$ habitantes adultos, entre os quais se encontra o único culpado, e sabendo que Pedro foi identificado unicamente por residir na cidade e ter sido submetido a uma triagem geral, sem que existam mais provas contra ele.

1. a) Identifique o grave erro conceitual cometido pelo Ministério Público (conhecido como «falácia do promotor»), explicando com clareza quais as duas probabilidades condicionais distintas que foram confundidas e escrevendo cada uma com a sua notação simbólica $P(\dots \mid \dots)$.
2. b) Utilizando o teorema de Bayes ou deduzindo o número esperado de coincidências na população de $500.000$ habitantes, calcule a probabilidade real de Pedro ser culpado sabendo que o seu DNA coincidiu: $P(\text{Culpado} \mid \text{Coincidência})$.
3. c) Redija uma conclusão dirigida ao tribunal na qual você justifique, apoiando-se no resultado numérico obtido, por que razão a prova de DNA por si só é insuficiente para condenar o réu sem provas adicionais.