Exercícios: Eventos compostos

Lançamos duas moedas ao ar de forma independente. Calcule a probabilidade de obter exatamente duas coroas.

Em uma caixa há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas azuis. Retira-se uma bola, anota-se a cor dela, devolve-se à caixa e retira-se uma segunda bola. Determine a probabilidade de as duas bolas serem vermelhas.

Lançamos um dado cúbico equilibrado (com as faces numeradas de $1$ a $6$) e uma moeda. Qual é a probabilidade de obter um número par no dado e cara na moeda?

De um baralho espanhol de $40$ cartas, retiram-se duas cartas consecutivamente sem reposição. Calcule a probabilidade de as duas cartas serem Reis.

Em um restaurante, $60\%$ dos clientes pedem prato feito e $40\%$ pedem à la carte. Dos que pedem prato feito, $70\%$ comem sobremesa. Dos que pedem à la carte, $50\%$ comem sobremesa. Calcule a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso pedir prato feito e comer sobremesa.

Em uma turma do 10º ano há $12$ meninos e $18$ meninas. Sabe-se que $4$ meninos e $6$ meninas usam óculos. Se escolhermos um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de ser uma menina que usa óculos?

Giramos as duas roletas independentes mostradas na figura. Calcule a probabilidade de a primeira roleta marcar o número $3$ e a segunda roleta marcar a cor verde (V).

Em uma rua há dois semáforos independentes. A probabilidade de o primeiro estar no verde é de $0,4$ e a probabilidade de o segundo estar no verde é de $0,5$. Determine a probabilidade de encontrar os dois semáforos no verde ao passar por essa rua.

Em uma caixa há $6$ canetas azuis e $4$ canetas pretas. Retiramos duas canetas consecutivamente e sem reposição. Queremos calcular a probabilidade de as duas canetas retiradas serem da mesma cor.

O Sergio faz a seguinte resolução:

«Como há duas cores possíveis, primeiro calculo a probabilidade de duas azuis: $\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$. Depois a de duas pretas: $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100}$. Por último, como serve qualquer um dos dois casos, multiplico ambos os resultados: $\frac{36}{100} \cdot \frac{16}{100} = 0,0576$, ou seja, $5,76\,\%$».

1. a) Identifique e explique os dois erros conceituais que o Sergio cometeu: um relativo à dependência entre etapas consecutivas e outro à combinação dos ramos finais.
2. b) Corrija o raciocínio e calcule a probabilidade exata de obter duas canetas da mesma cor, na forma de fração irredutível e como porcentagem.

Num jogo de tabuleiro, para ultrapassar um obstáculo você deve lançar um dado de seis faces duas vezes seguidas. A regra estabelece que você ultrapassa o obstáculo se obtiver pelo menos um número maior do que $4$ (ou seja, um $5$ ou um $6$) em qualquer um dos dois lançamentos.

1. a) Estime: Antes de fazer qualquer cálculo matemático exato, reflita e responda: você acha que a probabilidade final de superar o desafio será menor do que $50\,\%$, exatamente $50\,\%$ ou maior do que $50\,\%$? Escreva uma frase justificando a sua intuição.
2. b) Verifique: Modele o lançamento duplo como um evento composto. Calcule primeiro a probabilidade do evento complementar («não obter mais de 4 em nenhum lançamento») aplicando a regra do produto e, a partir dela, obtenha a probabilidade real de superar o obstáculo na forma de fração irredutível e porcentagem.
3. c) Compare o resultado com a sua estimativa inicial: coincidiu com o que você tinha pensado? Raciocine sobre por que, ao encadear duas oportunidades, a probabilidade global acumulada resulta visivelmente maior do que a de um único lançamento individual (que é $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,3\,\%$).

Retiram-se três cartas consecutivamente e sem reposição de um baralho de $40$ cartas, com quatro naipes (ouros, copas, espadas e paus). Calcule a probabilidade de obter três cartas do naipe de ouros.

Em um centro esportivo, oferecem-se aulas de tênis e padel. Há $120$ sócios inscritos nessas aulas, e cada sócio pratica apenas um esporte. Sabe-se que $70$ sócios jogam padel e que há $50$ mulheres no total. Além disso, $30$ mulheres jogam tênis. Se for escolhido um sócio ao acaso, calcule a probabilidade de ser um homem que joga padel.

Temos duas urnas. A urna $A$ contém $4$ bolas brancas e $2$ pretas. A urna $B$ contém $3$ bolas brancas e $5$ pretas. Lançamos uma moeda equilibrada; se sair cara, retiramos uma bola da urna $A$, e se sair coroa, retiramos uma bola da urna $B$. Determine a probabilidade de a bola retirada ser branca.

Uma fábrica de componentes eletrônicos tem duas máquinas. A máquina $M_1$ produz $60\%$ dos componentes e a máquina $M_2$ produz os $40\%$ restantes. Sabe-se que $2\%$ dos componentes produzidos por $M_1$ são defeituosos, enquanto $5\%$ dos produzidos por $M_2$ são defeituosos. Se for selecionado um componente ao acaso no armazém, qual é a probabilidade de ele ser defeituoso?

Duas jogadoras de basquete, Marta e Laura, lançam um lance livre cada uma. A probabilidade de Marta acertar é $0,8$ e a probabilidade de Laura acertar é $0,7$. Os lançamentos delas são eventos independentes. Calcule a probabilidade de pelo menos uma das duas acertar o lance livre.

Em um jogo, um participante retira primeiro uma carta de um baralho de $40$ cartas. Se a carta retirada for do naipe de copas, ele lança um dado cúbico equilibrado (do $1$ ao $6$). Se a carta NÃO for de copas, ele lança uma moeda. Qual é a probabilidade de o participante terminar obtendo um $5$ no dado?

Temos duas caixas. A caixa 1 contém $3$ fichas vermelhas e $2$ verdes. A caixa 2 contém $1$ ficha vermelha e $4$ verdes. Retira-se uma ficha ao acaso da caixa 1 e, sem olhar a cor dela, coloca-se na caixa 2. Em seguida, retira-se uma ficha ao acaso da caixa 2. Calcule a probabilidade de essa segunda ficha ser vermelha.

Um arqueiro tem uma probabilidade de $0,85$ de acertar o centro do alvo em cada disparo. Se ele realizar três disparos consecutivos e independentes, determine a probabilidade de errar os três disparos.

Um atirador de precisão tem uma probabilidade fixa de $0,7$ de acertar o alvo em cada tiro. Se realizar $3$ tiros de forma totalmente independente, queremos calcular a probabilidade de acertar o alvo pelo menos uma vez.

Para resolver este problema, podem-se adotar duas estratégias distintas:

• Método A (direto): Identificar todos os resultados favoráveis (acertar exatamente uma vez, acertar exatamente duas vezes ou acertar os três tiros), calcular a probabilidade de cada ramo da árvore e somá-las.

• Método B (evento complementar): Calcular a probabilidade de errar os três tiros consecutivamente e subtrair esse valor de $1$.

1. a) Compare os dois caminhos: quantos ramos do diagrama de árvore você teria de calcular e somar com o Método A em relação às operações necessárias com o Método B? Justifique qual é mais eficiente e seguro contra deslizes algébricos.
2. b) Aplique o método mais conveniente para calcular a probabilidade pedida, expressando o resultado final em formato decimal e como porcentagem.
3. c) Se o atirador realizasse $5$ tiros em vez de $3$, raciocine sobre como mudaria a quantidade de cálculos necessários no Método A em comparação com o Método B.

Segundo os registros de uma diretoria provincial de trânsito na Espanha relativos aos candidatos que obtêm a carteira de motorista da categoria B:

• A probabilidade de um aluno ser aprovado no exame teórico na primeira tentativa é de $70\,\%$.

• Entre os que são aprovados no exame teórico de primeira, a probabilidade de ser aprovado no exame de direção de primeira é de $60\,\%$.

• Entre os que são reprovados no exame teórico na primeira tentativa (e são aprovados em tentativas posteriores), a probabilidade de ser aprovado na direção de primeira é de $40\,\%$.

1. a) Modele o processo descrevendo as etapas do experimento composto e as probabilidades atribuídas a cada ramo.
2. b) Se um candidato for escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de ser aprovado tanto no exame teórico quanto no de direção na primeira tentativa.
3. c) Calcule a probabilidade total de um candidato escolhido ao acaso ser aprovado no exame de direção de primeira, independentemente de ter sido aprovado no teórico de primeira ou de ter precisado de mais tentativas. Explique por que é necessário somar as probabilidades de dois caminhos distintos da árvore.

Um teste médico para detectar uma doença tem as seguintes características: se uma pessoa estiver doente, o teste dá positivo em $95\%$ dos casos. Se a pessoa estiver saudável, o teste dá positivo (falso positivo) em $3\%$ dos casos. Sabe-se que $2\%$ da população tem essa doença. Se for escolhida uma pessoa ao acaso e for realizado o teste, qual é a probabilidade de o resultado ser positivo?

Duas equipes de e-sports, Alpha e Beta, jogam a final de um torneio à melhor de três partidas (a primeira que ganhar duas partidas é a campeã). A probabilidade de Alpha ganhar uma partida é $0,6$ e a de Beta ganhar é $0,4$ (não há empates). Os resultados das partidas são independentes. Calcule a probabilidade de a equipe Alpha ganhar o torneio.

Uma urna contém $x$ bolas brancas e $5$ bolas pretas. Retiram-se duas bolas consecutivamente e sem reposição. Se sabemos que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é de $\frac{1}{6}$, elabore uma equação do segundo grau e determine o número inicial de bolas brancas $x$ que havia na urna.

O esquema a seguir mostra um sistema de tubulações com três válvulas $A$, $B$ e $C$. A água flui da esquerda para a direita. Para que a água chegue ao final, deve passar pela válvula $A$ ou pelo ramo inferior que contém as válvulas $B$ e $C$ em série. As probabilidades de as válvulas estarem abertas são $P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,8$ e $P(C) = 0,9$. Sabendo que o funcionamento de cada válvula é independente, calcule a probabilidade de a água conseguir atravessar o sistema.

Em um congresso internacional, $40\%$ dos participantes são europeus e $60\%$ são americanos. Sabe-se que $30\%$ dos europeus e $20\%$ dos americanos são bilíngues. Se selecionarmos dois participantes ao acaso com reposição, qual é a probabilidade de exatamente um dos dois ser bilíngue?

Retiram-se cartas de um baralho espanhol de $40$ cartas uma a uma e sem reposição, até que apareça o primeiro Ás. O experimento termina no momento em que sai um Ás ou quando tiverem sido retiradas $3$ cartas, no máximo. Calcule a probabilidade de o experimento terminar tendo encontrado um Ás.

Um dardo é lançado no alvo da figura, formado por dois círculos concêntricos de raios $R$ e $2R$. O dardo sempre acerta o alvo e a probabilidade de acertar uma região é proporcional à sua área. Se forem lançados dois dardos de forma independente, calcule a probabilidade de um dardo cair na zona central (A) e o outro na zona externa (B).

Temos duas urnas. A urna $U_1$ contém $2$ bolas vermelhas e $2$ bolas pretas. A urna $U_2$ está inicialmente vazia. Retiram-se simultaneamente duas bolas de $U_1$ e colocam-se em $U_2$. Em seguida, retira-se uma bola ao acaso de $U_2$. Calcule a probabilidade de a bola retirada de $U_2$ ser vermelha.

Numa gaveta estão guardadas exatamente $10$ meias idênticas ao tato: $n$ delas são de cor azul e as $10 - n$ restantes são de cor cinza. Uma pessoa retira no escuro e de forma consecutiva duas meias, sem reposição.

Sabendo que a probabilidade de as duas meias retiradas serem de cor diferente é exatamente igual a $\frac{8}{15}$:

1. a) Modele a experiência como um evento composto de duas etapas consecutivas e escreva a expressão algébrica dessa probabilidade em função de $n$.
2. b) Formule uma equação a partir do dado conhecido e resolva algebricamente o valor de $n$ para determinar quantas meias azuis pode haver na gaveta.
3. c) Interprete o fato de você obter duas soluções matemáticas distintas: por que razão faz pleno sentido lógico no contexto físico do problema existirem dois valores válidos para $n$?

Um museu protege uma escultura valiosa por meio de um sistema de segurança composto por dois sensores independentes: uma barreira perimétrica de infravermelho (Sensor A) e uma base de pressão sob o pedestal (Sensor B). Em caso de intrusão real, o Sensor A é ativado com probabilidade de $0,90$, enquanto o Sensor B é ativado com probabilidade de $0,85$.

A empresa de segurança propõe duas configurações técnicas possíveis para disparar o alarme geral:

• Configuração em paralelo (redundante): O alarme toca se for ativado pelo menos um dos dois sensores.

• Configuração em série (restritiva): O alarme toca somente se ambos os sensores forem ativados simultaneamente (pensada para minimizar falsos alarmes provocados por correntes de ar ou poeira).

1. a) Modele a configuração em paralelo por meio de eventos compostos e calcule a probabilidade de o alarme tocar se entrar um intruso (use a regra do produto com os eventos complementares).
2. b) Modele a configuração em série e calcule a probabilidade de ativação dela diante de uma intrusão.
3. c) A direção do museu hesita entre manter a configuração em paralelo ou substituir todo o equipamento por um único sensor a laser de última geração, cuja confiabilidade de detecção individual é de $0,96$. Com base nos seus cálculos anteriores, justifique matematicamente qual opção oferece maior proteção real contra roubos e argumente que inconveniente operacional apresenta o sistema mais sensível em relação a falsos alarmes.