Exercícios: Árvores

Uma caixa contém $4$ bolas vermelhas e $6$ bolas azuis. Retira-se uma bola ao acaso, anota-se a cor dela, devolve-se à caixa e retira-se uma segunda bola. Desenhe o diagrama de árvore correspondente e calcule a probabilidade de obter duas bolas azuis.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma lanchonete, oferecem dois tipos de prato executivo: $60\,\%$ dos clientes escolhem o prato do dia e $40\,\%$ escolhem o prato vegetariano. Dos que escolhem o prato do dia, $70\,\%$ pedem café de sobremesa. Dos que escolhem o prato vegetariano, $80\,\%$ pedem chá. Calcule a probabilidade de um cliente escolhido ao acaso ter consumido o prato do dia e também ter pedido café.

Complete o seguinte diagrama de árvore que representa o lançamento de uma moeda viciada duas vezes consecutivas, sabendo que a probabilidade de obter cara é $\frac{1}{3}$. A partir da árvore, calcule a probabilidade de obter primeiro cara e depois coroa.

Em um armário há $5$ camisetas brancas e $3$ pretas. Escolhem-se duas camisetas ao acaso, uma após a outra e sem devolver a primeira ao armário. Calcule a probabilidade de que ambas as camisetas sejam brancas.

Lançamos um dado de seis faces e, em seguida, retiramos uma carta de um baralho espanhol de $40$ cartas. Se no dado sair um número par, ganhamos se retirarmos um Rei. Se no dado sair um número ímpar, ganhamos se retirarmos um Ás. Calcule a probabilidade de sair um número par no dado e, além disso, ganhar.

Para ir ao trabalho, Yasmin pode ir de ônibus (com probabilidade $0,7$) ou de bicicleta (com probabilidade $0,3$). Se for de ônibus, a probabilidade de chegar atrasada é $0,2$. Se for de bicicleta, a probabilidade de chegar atrasada é $0,05$. Qual é a probabilidade de Yasmin ir de bicicleta e chegar pontualmente?

Em uma urna há $2$ bolas verdes e $3$ bolas amarelas. Retiramos uma bola, olhamos para ela e a deixamos fora. Depois retiramos outra bola. Qual é a probabilidade de a primeira ser verde e a segunda amarela?

Um jogador de basquete tem uma probabilidade de $0,8$ de converter um lance livre. Se lançar dois lances livres de forma independente, desenhe a árvore de probabilidades e determine qual é a probabilidade de que erre os dois lançamentos.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um saco há $3$ fichas pretas e $2$ brancas. Retiram-se duas fichas sucessivamente e sem reposição. Para calcular a probabilidade de a segunda ficha ser branca, o Lucas desenha um diagrama de árvore. Na segunda etapa, observa dois ramos que terminam em «branca»: um com probabilidade $\frac{1}{4}$ (se a primeira tiver sido branca) e outro com probabilidade $\frac{2}{4}$ (se a primeira tiver sido preta). O Lucas conclui: «Como ambos os ramos terminam em branca, a probabilidade total de a segunda ficha ser branca é $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$».\na) Explique detalhadamente o erro conceitual de raciocínio que o Lucas comete ao somar diretamente esses dois ramos do segundo nível.\nb) Corrija o cálculo dele utilizando adequadamente as probabilidades dos caminhos completos da árvore e compare o resultado com a probabilidade de ter saído branca na primeira retirada. Que conclusão você obtém?

No design de um videogame de aventuras, um baú pode ter uma armadilha (com probabilidade $0,3$) ou conter uma recompensa (com probabilidade $0,7$). Se tiver uma armadilha, a probabilidade de o herói desativá-la com sucesso é de $0,2$. Se contiver uma recompensa, ela pode estar intacta ou deteriorada pela passagem do tempo.\nPara equilibrar a dificuldade, o desenvolvedor precisa que a probabilidade total de o jogador «obter uma recompensa intacta ou desativar a armadilha com sucesso» seja exatamente de $0,62$.\na) Desenhe o diagrama de árvore da situação, identificando as etapas, os ramos e denotando por $p$ a probabilidade condicional de «a recompensa estar intacta, sabendo que não havia armadilha».\nb) Formule e resolva uma equação sobre os ramos da árvore para encontrar o valor exato que $p$ deve ter.

Em uma fábrica de componentes eletrônicos, três máquinas (A, B e C) produzem $50\,\%$, $30\,\%$ e $20\,\%$ das peças, respectivamente. As porcentagens de peças defeituosas produzidas por cada máquina são $2\,\%$, $4\,\%$ e $5\,\%$. Apoie-se no diagrama de árvore para calcular a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa.

Em uma partida de tênis, se o primeiro saque de um jogador entra na quadra (probabilidade $0,6$), ele ganha o ponto com probabilidade $0,7$. Se o primeiro saque falha, realiza um segundo saque que entra com probabilidade $0,8$. Se o segundo saque entra, ganha o ponto com probabilidade $0,5$. Se o segundo saque também falhar, comete dupla falta e perde o ponto automaticamente. Calcule a probabilidade total de o jogador ganhar o ponto nesse serviço.

Temos duas urnas. A urna A contém $3$ bolas vermelhas e $2$ pretas. A urna B contém $4$ bolas vermelhas e $5$ pretas. Lançamos uma moeda: se sair cara, retiramos uma bola da urna A; se sair coroa, retiramos uma bola da urna B. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja vermelha?

Um estudante tem que fazer duas provas no mesmo dia. A probabilidade de ser aprovado na primeira é $0,6$. Se for aprovado na primeira, ele se motiva e a probabilidade de ser aprovado na segunda sobe para $0,8$. No entanto, se for reprovado na primeira, ele se desanima e a probabilidade de ser aprovado na segunda cai para $0,3$. Construa o diagrama de árvore e calcule a probabilidade de ele ser aprovado em pelo menos uma das duas provas.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em um teste de diagnóstico para uma alergia, $5\,\%$ da população realmente tem a alergia. Se uma pessoa tem a alergia, o teste dá positivo $90\,\%$ das vezes. Se não a tem, o teste dá negativo $95\,\%$ das vezes. Desenhe um diagrama de árvore para ilustrar a situação e calcule a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso obtenha um resultado positivo no teste.

Você pode fazer em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma sacola contém $5$ bolas brancas e $4$ bolas pretas. Retiram-se bolas uma a uma, sem reposição, até que saia uma bola preta. Qual é a probabilidade de ser necessário realizar exatamente três retiradas para que o jogo termine?

O clima em uma cidade litorânea segue um padrão curioso: se um dia está ensolarado, a probabilidade de no dia seguinte chover é $0,2$. Se um dia chove, a probabilidade de no dia seguinte continuar chovendo é $0,6$. Sabendo que hoje é segunda-feira e está ensolarado, qual é a probabilidade de na quarta-feira chover? Desenhe o diagrama de árvore correspondente aos dias Terça-feira e Quarta-feira.

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Um baralho espanhol tem $40$ cartas. Três cartas são retiradas consecutivamente, sem reposição. Calcule a probabilidade de as três cartas serem do mesmo naipe (ouros, copas, espadas ou paus).

De acordo com os registros da AEMET em uma localidade do norte, em novembro chove em $10\,\%$ dos dias. Os dados da empresa municipal de transportes indicam que, se chover, a probabilidade de uma linha de ônibus sofrer um atraso considerável é de $0,40$; por outro lado, se não chover, essa probabilidade se reduz para $0,05$.\na) Antes de calcular qualquer coisa, faça uma estimativa intuitiva: se em um dia qualquer de novembro essa linha sofrer um atraso considerável, você acha mais provável que tenha chovido ou que não tenha chovido? Justifique brevemente a sua intuição considerando o peso de cada tipo de dia.\nb) Modele a situação com um diagrama de árvore e calcule a probabilidade total de o ônibus sofrer um atraso considerável em um dia de novembro.\nc) Calcule, por meio do teorema de Bayes, a probabilidade de ter chovido sabendo que o ônibus chegou atrasado. Verifique se a sua estimativa inicial do item a) estava correta ou se você caiu na «falácia da taxa base».

De acordo com dados do Detran sobre o exame de direção prático, em um determinado estado $45\,\%$ dos candidatos são aprovados na primeira tentativa. Aqueles que são reprovados fazem uma segunda tentativa após terem aulas de reforço, conseguindo ser aprovados nessa segunda tentativa $60\,\%$ deles. Os que são reprovados na segunda tentativa não continuam nesse ano.\na) Modele todo o processo por meio de um diagrama de árvore, indicando em cada nó e ramo os eventos («aprovado na 1ª», «reprovado na 1ª», «aprovado na 2ª», «reprovado na 2ª») e as respectivas probabilidades associadas.\nb) Que porcentagem total de candidatos obtém a carteira de motorista em no máximo duas tentativas?\nc) Se selecionarmos ao acaso uma pessoa que tenha obtido a carteira nesse processo, qual é a probabilidade de ela ter conseguido na primeira tentativa? Interprete o que significa esse valor para a gestão das listas de espera da autoescola.

Há duas caixas. A caixa 1 contém $4$ fichas azuis e $2$ vermelhas. A caixa 2 contém $3$ fichas azuis e $5$ vermelhas. Retira-se uma ficha ao acaso da caixa 1 e coloca-se na caixa 2. Em seguida, retira-se uma ficha da caixa 2. Calcule a probabilidade de que a ficha retirada da caixa 2 seja azul.

Em uma urna há $x$ bolas brancas e $4$ bolas pretas. Extraem-se duas bolas sem reposição. Sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é $\frac{1}{3}$, formule a equação correspondente apoiando-se em um diagrama de árvore e determine o número inicial de bolas brancas $x$.

Duas equipes de e-sports, Alpha e Beta, jogam a final de um torneio à melhor de três partidas (a primeira que ganhar duas partidas é a campeã). Alpha é uma equipe melhor, por isso sua probabilidade de ganhar qualquer partida é $0,6$. As partidas não podem terminar em empate. Desenhe o diagrama de árvore dos possíveis desenvolvimentos da final e calcule a probabilidade de a equipe Beta ganhar o torneio.

Você pode fazê-lo no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um sistema de alarme de um cofre-forte tem 3 sensores de movimento. A probabilidade de o sensor A falhar diante de uma intrusão é $0,1$; a de o sensor B falhar é $0,05$; e a de o sensor C falhar é $0,2$. Os sensores atuam de forma totalmente independente. Desenhe o diagrama de árvore correspondente e calcule a probabilidade de que, diante de uma intrusão real, pelo menos um sensor seja ativado e faça soar o alarme.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma cidade, $20\,\%$ dos motoristas são jovens (menores de 25 anos) e $80\,\%$ são adultos. A probabilidade de um motorista jovem ter um acidente em um ano é $0,15$, enquanto para um adulto é $0,05$. Seleciona-se um motorista ao acaso e resulta que ele teve um acidente este ano. Utilizando os ramos de um diagrama de árvore, calcule a probabilidade de esse motorista ser jovem. (Expresse o resultado como fração irredutível).

Em um jogo de tabuleiro, um jogador deve superar um fosso saltando sobre três plataformas sucessivas. A probabilidade de escorregar na primeira plataforma é $\frac{1}{10}$. Se superar a primeira, a probabilidade de escorregar na segunda é $\frac{1}{5}$. Se superar a segunda, a probabilidade de escorregar na terceira é $\frac{1}{4}$. Se escorregar em qualquer plataforma, cai no fosso e perde. Qual é a probabilidade de o jogador atravessar o fosso com sucesso? Se soubermos que o jogador caiu no fosso, qual é a probabilidade de ter caído exatamente na segunda plataforma?

Uma urna contém $5$ bolas numeradas de $1$ a $5$. Extraem-se bolas uma a uma, sem reposição, até que a soma dos números retirados seja maior ou igual a $6$. Desenhe o diagrama de árvore com todos os ramos possíveis sabendo que na primeira extração saiu a bola com o número $2$. A partir da sua árvore, calcule a probabilidade de o jogo terminar exatamente na terceira extração.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Em uma competição, um arqueiro dispõe de um máximo de três flechas para acertar o alvo. A probabilidade de acertar com a primeira flecha é $0,4$. Se errar, ajusta sua mira e a probabilidade de acertar com a segunda é $0,6$. Se voltar a errar, fica nervoso e a probabilidade de acertar com a terceira é $0,3$. O arqueiro para de atirar no momento em que acerta. Calcule a probabilidade de o arqueiro precisar realizar mais de um tiro sabendo que finalmente conseguiu acertar o alvo.

Numa urna há $5$ bolas vermelhas e $3$ bolas brancas. Extraem-se sucessivamente $3$ bolas ao acaso e sem reposição. Deseja-se calcular a probabilidade de obter pelo menos uma bola branca.\nTrês estudantes propõem estratégias distintas usando árvores:\n- O Lucas propõe desenhar a árvore completa das três extrações ($2^3 = 8$ ramos finais), identificar todos os caminhos que contêm uma, duas ou três brancas e somar as suas probabilidades.\n- A Beatriz propõe calcular o evento contrário («nenhuma branca», ou seja, três vermelhas seguidas) por meio de um único ramo da árvore e subtrair a sua probabilidade de $1$.\n- O Carlos propõe uma «árvore podada»: se na primeira ou segunda extração sair branca, interrompe esse ramo (já é sucesso), e só ramifica quando sai vermelha.\na) Desenvolva e calcule a probabilidade pedida utilizando o método da Beatriz e o do Carlos, verificando que ambos levam exatamente à mesma fração irredutível.\nb) Compare com rigor os três métodos: indique quantos caminhos e multiplicações cada um exige calcular e justifique por que o método do Lucas é o menos eficiente e o mais sujeito a erros algébricos.\nc) Se o enunciado pedisse «obter exatamente duas bolas brancas», o método do evento contrário da Beatriz continuaria a ser vantajoso? Justifique qual seria o método ótimo nesse caso.

Um filtro de segurança analisa os e-mails recebidos por uma instituição bancária. Sabe-se que $10\,\%$ dos e-mails recebidos são fraudulentos (phishing) e $90\,\%$ são legítimos. O sistema de detecção classifica corretamente como ameaça $95\,\%$ dos e-mails que são phishing. No entanto, não é infalível com os e-mails legítimos: existe uma probabilidade desconhecida $p$ de «falso positivo» (um e-mail legítimo que o filtro classifica erroneamente como ameaça).\nPara não sobrecarregar a equipe de cibersegurança com falsos alertas, a diretoria exige que, quando o filtro emitir um alerta, a probabilidade de o e-mail ser de fato phishing seja de, pelo menos, $90\,\%$.\na) Modele o problema por meio de um diagrama de árvore, deixando a probabilidade $p$ indicada no ramo correspondente aos falsos positivos.\nb) Obtenha a expressão algébrica, em função de $p$, da probabilidade de um e-mail ser phishing sabendo que o filtro emitiu um alerta.\nc) Formule e resolva uma inequação para determinar o valor máximo admissível de $p$. Explique por que, apesar de o filtro detectar $95\,\%$ do phishing, a taxa de falsos positivos $p$ deve se manter em um valor extraordinariamente baixo.

Desafio do tema. O tempo de ontem prevê o de hoje? Você vai verificar com dados reais se a chuva na sua localidade apresenta eventos dependentes ou independentes.

1. Coleta: Acesse o site do INMET e registre em uma planilha a precipitação diária do seu município durante os últimos $30$ dias. Defina o evento elementar $L$: «dia com chuva» ($>0,1$ mm).

2. Análise: Calcule a probabilidade de $L$ e do seu complementar. Conte pares de dias consecutivos para calcular as probabilidades condicionais $P(L_2|L_1)$ e $P(L_2|\overline{L}_1)$. Compare os valores com $P(L)$ usando a condição de independência $P(L_2|L_1)=P(L)$ e argumente se a sua amostra sugere eventos dependentes ou independentes (é uma estimativa provisória: há apenas $30$ dias; se não houver nenhum dia com chuva ou nenhum sem chuva, amplie o período).

3. Modelagem: Construa um diagrama de árvore com essas probabilidades e calcule a probabilidade do evento composto «chover dois dias seguidos neste fim de semana».

4. Produto: Elabore um relatório breve de uma página com a planilha associada, a árvore resolvida e uma conclusão fundamentada sobre a confiabilidade de prever o clima com este modelo.

Será valorizado:

• Cálculo correto de probabilidades simples e condicionais a partir de dados reais do INMET.

• Justificativa matemática fundamentada da dependência ou independência observada na amostra, reconhecendo seu caráter provisório.

• Construção adequada do diagrama de árvore e resolução do evento composto.

• Clareza na exposição e uso correto da planilha e da notação probabilística.