Exercícios: Arranjos

Em uma corrida de $100\text{ m}$ rasos participam $8$ atletas. De quantas formas distintas as medalhas de ouro, prata e bronze podem ser distribuídas, sabendo que não pode haver empates?

Lançamos um dado cúbico tradicional de $6$ faces $4$ vezes consecutivas e anotamos o resultado de cada lançamento em ordem. Quantos resultados distintos podemos obter no total?

Cinco amigos vão ao cinema e encontram uma fileira com $4$ poltronas livres consecutivas. De quantas formas distintas podem se sentar para ver o filme?

Lançamos uma moeda para cima $6$ vezes consecutivas e anotamos a sequência exata de caras e coroas obtidas. Quantas sequências distintas podem ser formadas?

Em uma galeria de arte serão expostos $2$ quadros selecionados de uma coleção particular de $7$ obras. Um será colocado na parede esquerda da sala e o outro na parede direita. De quantas formas diferentes é possível organizar essa exposição?

Queremos pintar $3$ caixas de correio alinhadas em uma rua. Dispomos de $4$ cores distintas (vermelho, verde, azul e amarelo). Se pudermos repetir cores em caixas de correio diferentes, de quantas formas diferentes podemos pintá-las?

Um clube de leitura tem $9$ membros. Eles devem escolher uma diretoria formada por uma presidência, uma vice-presidência e uma secretaria. Como os cargos são distintos e cada pessoa só pode ocupar um, de quantas formas a diretoria pode ser formada?

Uma prova de múltipla escolha tem $5$ perguntas. Cada pergunta tem $3$ opções de resposta (A, B e C), das quais apenas uma pode ser marcada. Se um aluno responder a todas as perguntas, de quantas formas distintas a prova pode ser preenchida?

Para acessar o armário da academia da escola, a Maria Eduarda deve configurar um código secreto de $3$ algarismos distintos escolhidos exclusivamente entre os números primos menores que $10$, ou seja, do conjunto $\{2, 3, 5, 7\}$. Seu colega Marcos afirma: «Como a ordem dos algarismos importa e dispomos de $4$ elementos para formar grupos de $3$, o número total de códigos possíveis é $VR_{4,3} = 4^3 = 64$».

1. a) Encontre o erro conceitual cometido pelo Marcos e explique claramente que condição do enunciado ele ignorou.
2. b) Corrija o raciocínio dele deduzindo a fórmula adequada e calcule o número real de códigos distintos que a Maria Eduarda pode programar.

Numa turma de 4.º de ESO com $25$ estudantes vai-se eleger a comissão de delegados para o ano letivo, formada por três cargos diferenciados: delegado, subdelegado e secretário. Um mesmo estudante não pode ocupar mais de um cargo.

1. a) Sem realizar o cálculo detalhado com a fórmula, estima fundamentadamente se o número total de comissões possíveis estará mais perto de $1\,000$, de $15\,000$ ou de $100\,000$. Justifica brevemente o arredondamento ou aproximação mental que utilizaste.
2. b) Modela a situação calculando o valor exato através da fórmula de combinatória adequada. Verifica se o resultado confirma a tua estimativa e explica por que razão a ordem de escolha se revela determinante nesta distribuição.

O sistema de placas de veículos de um país é formado por um bloco de $4$ dígitos (do $0$ ao $9$) seguido de um bloco de $2$ letras escolhidas de um alfabeto de $20$ consoantes. Em ambos os blocos é permitida a repetição de caracteres. Quantas placas distintas podem ser emitidas no total com este formato?

Utilizando os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quantos números pares de $3$ algarismos podem ser formados se não for permitido repetir nenhum algarismo no mesmo número?

Na informática, um byte é uma sequência de $8$ bits (onde cada bit pode ser um $0$ ou um $1$). Quantos bytes diferentes existem que comecem exatamente pela sequência $10$?

Uma empresa tem $8$ funcionários e deve atribuir $5$ tarefas diferentes a $5$ funcionários distintos (uma tarefa por pessoa). Sabendo que a primeira tarefa deve ser realizada obrigatoriamente pelo funcionário mais antigo, de quantas formas as tarefas podem ser distribuídas?

Quantos números de $4$ algarismos podem ser formados com os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (podendo repetir algarismos) que sejam estritamente maiores do que $3000$?

Em uma liga de basquetebol participam $14$ equipes. Cada equipe deve jogar contra todas as outras duas vezes ao longo do ano (uma partida em casa e outra como visitante). Quantas partidas serão jogadas no total durante toda a temporada?

Um cadeado de segurança para bicicletas tem $3$ rodas independentes, cada uma numerada do $0$ ao $9$. Calcule a diferença entre o número total de combinações possíveis (permitindo repetição) e o número de combinações nas quais os três dígitos devem ser estritamente distintos.

No código Morse, as letras são representadas mediante sequências de pontos e traços. Quantos sinais distintos podem ser formados utilizando no máximo $3$ símbolos por sinal?

A Agência Estatal de Meteorologia (AEMET) utiliza códigos identificadores para catalogar suas estações automáticas na Espanha. Cada código é composto por uma letra inicial que identifica a demarcação hidrográfica (usam-se $8$ letras possíveis: B, C, D, E, M, N, S ou V) seguida de um bloco de $4$ dígitos numéricos.

1. a) Se os $4$ dígitos forem escolhidos de $0$ a $9$ e puderem se repetir sem restrição, quantos códigos de estação diferentes podem ser gerados para uma mesma demarcação hidrográfica? E no conjunto das $8$ bacias?
2. b) Para uma rede especial de alta montanha, decide-se que os $4$ dígitos devem ser todos distintos e nenhum pode ser o zero. Justifique se esse novo bloco numérico é modelado com arranjos simples ou com repetição, e calcule quantos códigos distintos ficam disponíveis por demarcação sob esse critério.

O departamento de informática de uma escola está criando identificadores temporários de acesso para os alunos. Os códigos são gerados ordenando $k$ algarismos distintos retirados do conjunto de números ímpares $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, sem repetir nenhum algarismo dentro do mesmo código.

1. a) Se o servidor registrou exatamente $60$ identificadores possíveis no total, estabeleça uma equação utilizando a definição de arranjo simples em que a incógnita seja o comprimento $k$ do código, e determine fundamentadamente o seu valor.
2. b) Se as normas de segurança mudassem e agora fosse permitido repetir algarismos, mantendo o mesmo comprimento $k$ obtido no item anterior, quantos códigos no total poderiam ser criados? Compare os dois resultados calculando quantos identificadores adicionais são obtidos e explique por que a repetição aumenta as opções.

Em um torneio de xadrez joga-se em turno e returno (cada jogador enfrenta todos os outros duas vezes, alternando a cor das peças). Se sabemos que no total foram disputadas $90$ partidas, elabore a equação correspondente utilizando a fórmula dos arranjos e encontre quantos jogadores participaram do torneio.

Quantos números de $4$ algarismos distintos podem ser formados utilizando apenas os dígitos $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Considere que, por definição, um número válido não pode começar pelo algarismo $0$.

Um número palíndromo é aquele que se lê da mesma forma da esquerda para a direita e da direita para a esquerda (por exemplo, $35853$). Quantos números palíndromos de $5$ algarismos podem ser formados utilizando apenas os dígitos de $1$ a $9$?

Para acessar um banco de dados seguro é necessária uma senha de $5$ caracteres. Por segurança, o sistema exige que os dois primeiros caracteres sejam vogais (permite-se que se repitam) e os três últimos caracteres devem ser números do $0$ ao $9$ (sem que nenhum se repita). Quantas senhas distintas cumprem este formato?

Uma turma é formada por $6$ meninos e $5$ meninas. Deseja-se escolher uma comissão composta por presidência, vice-presidência e secretaria. A presidência deve ser ocupada obrigatoriamente por uma menina, a vice-presidência por um menino, e a secretaria pode ser ocupada por qualquer um dos alunos restantes. De quantas formas é possível escolher a comissão?

Deseja-se projetar uma bandeira com $4$ faixas verticais. Temos $5$ cores distintas. De quantas maneiras é possível colorir a bandeira se a única condição for que duas faixas adjacentes (vizinhas) não possam ter a mesma cor?

Sabendo que o número de arranjos com repetição de $x$ elementos tomados $2$ a $2$ excede em $12$ o número de arranjos sem repetição dos mesmos $x$ elementos tomados $2$ a $2$, elabore a equação matemática correspondente e encontre o valor de $x$.

Cinco pessoas entram em um vagão de trem em que há $8$ assentos livres. Duas dessas pessoas são um casal e querem se sentar obrigatoriamente em um par de assentos contíguos específicos que ficam junto à janela. Sabendo que para o casal importa quem se senta na janela e quem no corredor, de quantas formas distintas as cinco pessoas podem ocupar os assentos?

Querem-se formar números de $4$ algarismos distintos utilizando unicamente os dígitos $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, com a condição indispensável de que o número resultante seja par. Dois estudantes debatem sobre a melhor estratégia para contá-los:

• Estratégia de Sérgio (método direto): «Primeiro fixamos o último algarismo, que deve ser par ($\{2, 4, 6\}$), e depois completamos as outras $3$ posições escolhendo e ordenando algarismos entre os $6$ restantes».

• Estratégia de Alice (método complementar): «Calculamos todos os números possíveis de $4$ algarismos distintos sem restrições e subtraímos aqueles que terminam em algarismo ímpar».

1. a) Desenvolva por completo ambos os métodos aplicando as fórmulas de arranjos correspondentes e verifique que se chega exatamente ao mesmo número total.
2. b) Se adicionássemos uma segunda restrição simultânea: «o número deve ser par e, além disso, maior do que $5\,000$», analise de forma fundamentada qual dos dois métodos seria mais conveniente e descreva que dificuldades adicionais o método descartado traria.

Na Liga de Debate de um estado, as escolas apresentam equipes formadas inicialmente por $n$ oradores. A competição é composta por duas fases com diferente atribuição de papéis:

• Na fase local, cada escola deve selecionar $2$ dos seus $n$ oradores para desempenhar papéis específicos e diferenciados: «orador de abertura» e «orador de conclusão».

• Na fase regional, a organização permite ampliar a equipe da escola integrando mais $2$ oradores ($n+2$ oradores no total), e devem-se preencher $3$ papéis diferenciados: «abertura», «refutação» e «conclusão», sem que um estudante possa assumir mais de um papel.

A organização constata que o número de ternos possíveis de oradores para a fase regional é exatamente $12$ vezes o número de pares possíveis da fase local.

1. a) Modele a situação estabelecendo uma equação algébrica que relacione ambas as fases por meio da fórmula dos arranjos simples.
2. b) Resolva a equação simplificando os desenvolvimentos fatoriais e obtenha os possíveis valores de $n$.
3. c) Sabendo que o regulamento exige que, para a fase local, a equipe conte com pelo menos $3$ oradores para garantir suplentes ($n \ge 3$), determine de forma fundamentada qual é o número $n$ de oradores iniciais e verifique que a solução satisfaz a condição teórica $k \le n$ em ambas as fases.