Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones

Resuelve el triángulo rectángulo de la figura, es decir, calcula todos sus lados y todos sus ángulos.

Resuelve un triángulo rectángulo en el que un cateto mide $7$ cm y su ángulo opuesto es $40^\circ$.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $5$ cm y $9$ cm. Calcula sus ángulos agudos y la hipotenusa.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $15$ cm y uno de sus catetos $9$ cm. Halla sus ángulos agudos y el otro cateto.

Valora si es verdadera o falsa la afirmación: «conociendo los tres ángulos de un triángulo rectángulo se pueden calcular sus tres lados». Justifica tu respuesta con un ejemplo.

Desde un punto del suelo situado a $10$ m del pie de un árbol se ve su copa con un ángulo de elevación de $30^\circ$.

¿Cuánto mide el árbol?

Desde un punto del suelo situado a $25$ m de la fachada de un edificio se ve la azotea con un ángulo de elevación de $50^\circ$. ¿Qué altura tiene el edificio?

Una chimenea de $30$ m de altura se observa desde un punto del suelo situado a $45$ m de su base. ¿Con qué ángulo de elevación se ve su extremo superior?

Un alumno afirma: «desde $30$ m de una torre veo su parte superior con un ángulo de $30^\circ$, luego la torre mide $30 \cdot \sen\ 30^\circ = 15\ \text{m}$». Detecta el error, explica qué razón trigonométrica debería haber usado y calcula la altura correcta.

Desde lo alto de un acantilado de $60$ m se divisa una boya con un ángulo de depresión de $25^\circ$, como muestra la figura.

1. a) ¿A qué distancia del pie del acantilado está la boya? b) ¿A qué distancia del observador?

Desde lo alto de un faro de $45$ m se observan dos barcos alineados con el faro: el más cercano con un ángulo de depresión de $32^\circ$ y el más lejano con $20^\circ$, como muestra la figura.

¿Qué distancia separa a los dos barcos?

Para medir el ancho de un río te colocas frente a un árbol de la otra orilla y caminas $30$ m por tu orilla. Desde ahí, el árbol se ve formando un ángulo de $55^\circ$ con la orilla, como muestra la figura.

¿Cuánto mide el río de ancho?

Un grupo de alumnos quiere medir el ancho de un lago sin cruzarlo. Frente a una boya $B$ situada en la orilla opuesta marcan un punto $P$ en su orilla; desde $P$ avanzan $60$ m por la orilla en dirección perpendicular hasta un punto $Q$, y desde $Q$ miden el ángulo $\widehat{PQB} = 48^\circ$. a) Haz un esquema de la situación. b) Calcula el ancho del lago. c) Si se construyese una pasarela recta de $P$ a $B$ con un $5\ \%$ de longitud adicional por los apoyos, ¿qué longitud tendría la pasarela?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Desde un punto del suelo situado a $20$ m de un edificio, la base de la antena de la azotea se ve con un ángulo de elevación de $38^\circ$ y su extremo superior con $52^\circ$, como muestra la figura.

¿Cuánto mide la antena?

Desde un punto del suelo situado a $30$ m de la base de una columna, el borde superior de la columna se ve con un ángulo de elevación de $25^\circ$ y el extremo de la estatua que la corona con $40^\circ$. a) ¿Cuánto mide la columna? b) ¿Cuánto mide la estatua? c) ¿Con qué ángulo de elevación se vería el conjunto completo desde un punto situado a $50$ m de la base?

Un globo sonda asciende verticalmente desde un punto situado a $400$ m de un observador, como se muestra en la figura.

En un momento dado el observador lo ve con un ángulo de elevación de $45^\circ$ y, un minuto después, con $60^\circ$. a) ¿A qué altura estaba el globo en cada observación? b) ¿Cuánto ascendió en ese minuto? c) ¿Cuál fue su velocidad media de ascenso, en metros por segundo?

Desde cierto punto de un valle, la cumbre de una montaña se ve con un ángulo de elevación de $35^\circ$. Retrocediendo $250$ m en línea recta, la cumbre se ve con un ángulo de $22^\circ$, como se muestra en la figura.

1. a) Plantea un sistema de dos ecuaciones usando la tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos. b) Resuelve el sistema. c) ¿Cuál es la altura de la montaña sobre el nivel del observador?

Ana y Bruno están separados $50$ m en un campo llano. Entre ambos, en su mismo plano vertical, vuela una cometa: Ana la ve con un ángulo de elevación de $55^\circ$ y Bruno con $65^\circ$, como muestra la figura.

1. a) ¿A qué altura vuela la cometa? b) ¿A qué distancia horizontal de Ana se encuentra?

El tobogán de un parque acuático tiene una rampa de $18$ m que forma un ángulo de $25^\circ$ con el suelo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué altura tiene la plataforma de salida? b) ¿Qué distancia horizontal ocupa el tobogán?

La rampa de un skatepark tiene una inclinación de $18^\circ$ y una longitud de $6$ m, como se muestra en la figura.

1. a) ¿Qué desnivel salva la rampa? b) ¿Cuál es su pendiente expresada en porcentaje?

Un globo aerostático está amarrado al suelo con una cuerda tensa de $80$ m que forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo, como se muestra en la figura.

1. a) ¿A qué altura está el globo? b) Si una racha de viento inclina la cuerda hasta formar $45^\circ$ con el suelo, ¿cuántos metros desciende el globo?

Una tirolina une dos torres de $22$ m y $14$ m de altura separadas $60$ m en horizontal, como muestra la figura.

1. a) ¿Qué desnivel hay entre las dos salidas? b) ¿Qué longitud tiene el cable, supuesto tenso y recto? c) ¿Con qué ángulo de descenso se desliza el usuario?

Un puerto de montaña tiene un primer tramo de $2{,}3$ km con una inclinación constante de $9^\circ$ y un segundo tramo de $1{,}8$ km con una inclinación de $6^\circ$. a) ¿Qué desnivel se supera en cada tramo? b) ¿Cuál es el desnivel total del puerto? c) ¿Cuál es la pendiente media del puerto completo, expresada en porcentaje? (Usa las distancias horizontales recorridas.)

Un triángulo isósceles tiene los lados iguales de $10$ cm y el ángulo desigual de $50^\circ$. a) Calcula la altura sobre el lado desigual (pista: esa altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos). b) Calcula el área del triángulo.