Aproximación y errores

En la pantalla de tu calculadora aparece el número irracional $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala realizando las aproximaciones indicadas para ese número:

Estás ayudando a organizar una carrera solidaria en tu liceo. Al calcular la distancia exacta de un tramo del recorrido con el GPS, obtenés 2,3458 km.

Para hacer los carteles informativos, necesitás simplificar esta cifra. Escribí cómo quedaría esta distancia si aproximamos por redondeo:

1. a) A las unidades (km).
2. b) A las décimas.
3. c) A las centésimas.

Ayudate de la siguiente recta numérica para visualizar dónde cae el número:

Fuiste al supermercado a comprar ingredientes para una cena. Los precios reales de los productos son:

• Pasta: 1,85 pesos

• Salsa de tomate: 2,15 pesos

• Queso rallado: 3,48 pesos

• Refresco: 1,25 pesos

1. a) Hacé una estimación rápida del costo total redondeando cada precio a las unidades antes de sumar.
2. b) Calculá la suma exacta de los precios.
3. c) Calculá la diferencia (error absoluto) entre tu estimación y el precio real. ¿Creés que fue una buena estimación para saber si llevabas 10 pesos en el bolsillo?

Mira la siguiente imagen que representa el velocímetro digital de una bicicleta eléctrica:

El velocímetro solo muestra números enteros (sin decimales) y marca 24 km/h mediante redondeo a las unidades.

Esto significa que la velocidad real no es exactamente 24 km/h, sino que está comprendida en un intervalo. ¿Entre qué dos valores (cota inferior y cota superior) se encuentra la velocidad real de la bicicleta?

En las noticias han anunciado que a una manifestación han acudido "aproximadamente 25.000 personas".

1. a) Si sabemos que esa cifra se ha obtenido redondeando a los millares, ¿cuál es el número máximo y mínimo de personas que podrían haber asistido realmente?
2. b) Representa este intervalo en la recta numérica.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto máximo que se podría estar cometiendo con ese titular?

Al medir la longitud de tu mesa de estudio, el valor real de fábrica es de 120 cm. Vos usás una cinta métrica y obtenés una medida de 119 cm.

1. a) Calculá el error absoluto ($E_a$) cometido en tu medición. Recordá que el error absoluto es la diferencia en valor positivo entre el valor real y el aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Si tu compañero mide el pasillo del liceo, que mide realmente 5000 cm, y obtiene 4999 cm, su error absoluto es de 1 cm, igual que el tuyo. ¿Significa esto que ambas mediciones tienen la misma precisión? Razoná tu respuesta (podés apoyarte en el concepto de error relativo).

Vamos a calcular el error relativo ($E_r$) para comparar dos pesajes distintos. Recuerda que la fórmula es $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesas una manzana cuyo peso real es 200 g y tu balanza marca 205 g.

2. Caso B: Pesas a tu perro cuyo peso real es 20.000 g (20 kg) y la báscula marca 20.005 g.

Calcula el error relativo en ambos casos (puedes expresarlo en forma decimal o porcentaje) e indica qué medición ha sido más precisa (de mayor calidad).

Dos estudiantes realizan mediciones distintas para un proyecto de ciencias.

• Lucía mide la longitud de una cancha de fútbol y obtiene $105$ m, con un error absoluto de $0,5$ m.

• Marcos mide la longitud de la pantalla de un celular y obtiene $15$ cm, con un error absoluto de $0,1$ cm.

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa (tiene mayor calidad)? Justificá tu respuesta calculando los errores relativos de ambas medidas.

Las básculas de baño digitales suelen tener una precisión de $100$ gramos ($0,1$ kg). Esto significa que si la báscula marca $54,2$ kg, el peso real podría estar un poco por encima o un poco por debajo, pero redondeado a ese decimal.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles para un peso medido de $54,2$ kg.
2. b) ¿Cuál es la cota de error absoluto de esta báscula?

Tenemos un depósito de agua con forma de ortoedro (caja rectangular). Medimos sus dimensiones con una cinta métrica que solo marca los decímetros, por lo que nuestras medidas tienen una cota de error absoluto de $0,5 \text{ dm}$ (es decir, el valor real podría ser 0,5 dm mayor o menor).

Las medidas obtenidas son:

• Largo: $20 \text{ dm}$

• Ancho: $10 \text{ dm}$

• Alto: $15 \text{ dm}$

Calculá el volumen del depósito ($V = \text{largo} \times \text{ancho} \times \text{alto}$) y determiná entre qué dos valores (intervalo) se encuentra el volumen real del depósito, considerando las cotas de error de cada medida.

Calcula paso a paso la cota de error absoluto y la cota de error relativo en la siguiente operación combinada, teniendo en cuenta el orden de operaciones.

Dados los números $A = 2,86$ y $B = 4,13$, aproximaciones de unos valores reales desconocidos, pero sabiendo que ambos han sido redondeados a las centésimas.

1. a) Calcula el valor de $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Razona: ¿cuál es la cota de error absoluto del resultado $C$? (Pista: piensa en el valor máximo y mínimo que podrían tener $A$ y $B$ antes de ser redondeados).

1. c) Calcula la cota de error relativo de $C$, dividiendo la cota de error absoluto entre el valor de $C$.

Queremos calcular el área de un círculo cuyo radio hemos medido con una regla.

La medida del radio es $r = 5$ cm.

Sabemos que el área de un círculo es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3$, ¿cuál es el área calculada?
2. b) Si utilizamos la aproximación de $\pi \approx 3,14$, ¿cuál es el área calculada?
3. c) Sabiendo que el valor "real" (usando la tecla $\pi$ de la calculadora) es aproximadamente 78,54 cm², calcula el error absoluto cometido en el apartado a y en el apartado b. ¿Qué aproximación de $\pi$ es más adecuada usar en matemáticas de 3º de ESO?

Queremos calcular el área de un rectángulo cuya base mide $\sqrt{5}$ cm y su altura mide $\sqrt{3}$ cm.

1. a) Calcula el área exacta utilizando radicales.
2. b) Aproxima $\sqrt{5}$ y $\sqrt{3}$ a las centésimas y calcula el área aproximada con esos valores.
3. c) Determina el error absoluto cometido al usar los valores aproximados respecto al valor exacto del apartado a.

Queremos pintar una pista de aterrizaje para helicópteros (helipuerto) que tiene forma circular. Para calcular la cantidad de pintura necesaria, medimos el radio y obtenemos $r = 12,5 \text{ m}$. Sabemos que la fórmula del área es $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcula el área "exacta" utilizando la tecla $\pi$ de tu calculadora.
2. b) Calcula el área aproximada utilizando el valor redondeado $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcula el error absoluto y el error relativo cometido al usar la aproximación de $\pi$ respecto al valor de la calculadora.
4. d) Si un bote de pintura cubre $5 \text{ m}^2$, ¿afecta el error cometido al número de botes que debemos comprar?