Perímetro, longitud y área de figuras planas
Un plano de la Ciudad Vieja dibujado a escala muestra una manzana de $12\text{ cm}^2$. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la manzana real? ¿Alcanza con multiplicar por la escala? Si ampliás una foto al doble de ancho y de alto, ¿gastás el doble de tinta? Al final de la página vas a poder responder las dos preguntas.
De la longitud al área: razón al cuadrado
Dos figuras son semejantes cuando una es una ampliación o reducción de la otra. El número por el que se multiplican todas las longitudes es la razón de semejanza $k$.
Un pentágono tiene un perímetro de $45\text{ cm}$. Si se construye otro pentágono semejante con una razón de semejanza $k = 3$, calcula el perímetro del nuevo pentágono.
Un pentágono tiene un perímetro de $45\text{ cm}$. Si se construye otro pentágono semejante con una razón de semejanza $k = 3$, calcula el perímetro del nuevo pentágono.
La superficie de una señal de tráfico triangular es de $1200\text{ cm}^2$. Si se fabrica una réplica a escala con una razón de semejanza $k = \frac{1}{4}$, determina el…
La superficie de una señal de tráfico triangular es de $1200\text{ cm}^2$. Si se fabrica una réplica a escala con una razón de semejanza $k = \frac{1}{4}$, determina el área de la réplica.
Dos triángulos isósceles son semejantes. El lado desigual del primero mide $8\text{ cm}$ y su área es $24\text{ cm}^2$. Si el lado desigual del segundo mide…
Dos triángulos isósceles son semejantes. El lado desigual del primero mide $8\text{ cm}$ y su área es $24\text{ cm}^2$. Si el lado desigual del segundo mide $24\text{ cm}$, ¿cuál es su área?
Áreas en planos y mapas
En un plano a escala $1:n$, las longitudes reales son $n$ veces las del dibujo. Pero las áreas reales son $n^2$ veces las del dibujo: es fácil olvidarlo y multiplicar solo por $n$.
Para distancias, la escala se usa directamente. Con una escala $1:500.000$, $8\text{ cm}$ del mapa son $8 \cdot 500.000 = 4.000.000\text{ cm}$ reales, es decir $40\text{ km}$ (porque $100.000\text{ cm} = 1\text{ km}$).
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de $8\text{ cm}$. Si la escala del mapa es $1:500\,000$, calcula la distancia real en kilómetros.
En un mapa, la distancia entre dos ciudades es de $8\text{ cm}$. Si la escala del mapa es $1:500\,000$, calcula la distancia real en kilómetros.
En el plano de un arquitecto, dibujado a escala $1:150$, el salón de una casa ocupa una superficie de $12\text{ cm}^2$. Calcula el área real del salón en metros…
En el plano de un arquitecto, dibujado a escala $1:150$, el salón de una casa ocupa una superficie de $12\text{ cm}^2$. Calcula el área real del salón en metros cuadrados.
En un parque hay un estanque circular. En un plano del parque, el estanque tiene un área de $15\text{ cm}^2$. Si el plano está a escala $1:2000$, determina el área real…
En un parque hay un estanque circular. En un plano del parque, el estanque tiene un área de $15\text{ cm}^2$. Si el plano está a escala $1:2000$, determina el área real del estanque en hectáreas ($1\text{ ha} = 10\,000\text{ m}^2$).
Ampliar fotografías y carteles
Ampliar una foto a un cartel es construir una figura semejante. El área crece mucho más rápido que las dimensiones: por eso una ampliación modesta en los lados puede necesitar mucha más tinta, pintura o lienzo.
Una fotografía de $10\text{ cm}$ de ancho por $15\text{ cm}$ de alto se amplía multiplicando sus dimensiones por $2,5$. Calcula el área de la fotografía ampliada.
Una fotografía de $10\text{ cm}$ de ancho por $15\text{ cm}$ de alto se amplía multiplicando sus dimensiones por $2,5$. Calcula el área de la fotografía ampliada.
Un artista pinta un boceto en un lienzo de $20\text{ cm}$ de ancho por $30\text{ cm}$ de alto usando $15\text{ ml}$ de pintura azul. Si luego reproduce exactamente el…
Un artista pinta un boceto en un lienzo de $20\text{ cm}$ de ancho por $30\text{ cm}$ de alto usando $15\text{ ml}$ de pintura azul. Si luego reproduce exactamente el mismo dibujo en un mural semejante de $3\text{ m}$ de alto, ¿cuántos litros de pintura azul necesitará?
Proporcionalidad real: el precio según el área
Cuando un precio o una cantidad de material depende del área (no del lado), dos figuras semejantes con razón $k$ tienen precios en razón $k^2$. Es la trampa de «la pizza grande, de doble diámetro, debería costar el doble».
Una pizzería vende una pizza mediana de $20\text{ cm}$ de diámetro por $\$8…
Una pizzería vende una pizza mediana de $20\text{ cm}$ de diámetro por $\$8$. Si el precio es estrictamente proporcional a la cantidad de pizza (su área), ¿cuánto debería costar una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diámetro elaborada con la misma receta?
Observa la figura:
Sabiendo que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es $\frac{3}{5}$, ¿cuál será la razón entre sus áreas?
Sabiendo que la razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es $\frac{3}{5}$, ¿cuál será la razón entre sus áreas?
Razonar al revés: del área a la razón $k$
Si el problema da la razón de áreas y pide longitudes, hay que deshacer el cuadrado con una raíz cuadrada.
Dos hexágonos irregulares son semejantes. El perímetro del primero es $60\text{ cm}$ y el del segundo es $15\text{ cm}$. Halla la razón de semejanza para pasar del…
Dos hexágonos irregulares son semejantes. El perímetro del primero es $60\text{ cm}$ y el del segundo es $15\text{ cm}$. Halla la razón de semejanza para pasar del hexágono grande al pequeño.
El área de un rectángulo es $50\text{ cm}^2$ y el área de un rectángulo semejante a él es $200\text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus lados?
El área de un rectángulo es $50\text{ cm}^2$ y el área de un rectángulo semejante a él es $200\text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza de sus lados?
Se tienen dos rombos semejantes. La suma de sus perímetros es $140\text{ cm}$ y la razón de semejanza entre ellos es $k = 2,5$. Determina el perímetro de cada uno de los…
Se tienen dos rombos semejantes. La suma de sus perímetros es $140\text{ cm}$ y la razón de semejanza entre ellos es $k = 2,5$. Determina el perímetro de cada uno de los rombos.
La razón entre las áreas de dos octógonos regulares es $\frac{16}{9}$. Si la apotema del octógono menor mide $6\text{ cm}$, calcula la longitud de la apotema del…
La razón entre las áreas de dos octógonos regulares es $\frac{16}{9}$. Si la apotema del octógono menor mide $6\text{ cm}$, calcula la longitud de la apotema del octógono mayor.
Problemas combinados
Muchos problemas mezclan datos de longitud, perímetro y área. El plan es siempre el mismo: encontrar $k$ (o $k^2$) con el dato que tengas y usarlo en lo que se pide.
Una situación frecuente: un segmento paralelo a un lado de un triángulo lo corta en un triángulo pequeño semejante al grande. Las alturas, los lados y los perímetros están en razón $k$, y las áreas en razón $k^2$. El área del trapecio que queda es la diferencia entre las dos áreas.
Cuando el problema da una diferencia o una suma de áreas, planteá las áreas como $A$ y $k^2 A$ y resolvé la ecuación. Por ejemplo, si la razón de perímetros es $\dfrac{4}{3}$, la de áreas es $\dfrac{16}{9}$: las áreas son $16x$ y $9x$, y su diferencia es $7x$.
Un triángulo $\triangle ABC$ de área $72\text{ cm}^2$ es cortado por un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, formando un triángulo más pequeño $\triangle ADE$ en la…
Un triángulo $\triangle ABC$ de área $72\text{ cm}^2$ es cortado por un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, formando un triángulo más pequeño $\triangle ADE$ en la parte superior. Si la altura del triángulo pequeño es la tercera parte de la altura del triángulo original, calcula el área del trapecio $DBCE$.
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo con un área de $4500\text{ m}^2$. Se divide en dos parcelas mediante una valla recta paralela a uno de sus lados, de modo…
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo con un área de $4500\text{ m}^2$. Se divide en dos parcelas mediante una valla recta paralela a uno de sus lados, de modo que la parcela resultante que comparte un vértice con la original es un triángulo semejante al terreno completo. Si la longitud de la valla es $\frac{2}{3}$ de la longitud del lado al que es paralela, calcula el área de cada una de las dos parcelas resultantes.
Si se duplica el área de un polígono regular manteniendo su forma (es decir, creando uno semejante), ¿en qué porcentaje aproximado se incrementa su perímetro?
Si se duplica el área de un polígono regular manteniendo su forma (es decir, creando uno semejante), ¿en qué porcentaje aproximado se incrementa su perímetro?
Un proyector de cine emite una imagen rectangular sobre una pantalla. A una distancia $d$, la imagen tiene un área de $2,4\text{ m}^2$. Si alejamos el proyector…
Un proyector de cine emite una imagen rectangular sobre una pantalla. A una distancia $d$, la imagen tiene un área de $2,4\text{ m}^2$. Si alejamos el proyector $1,5\text{ m}$ más de la pantalla, el área de la imagen proyectada pasa a ser de $5,4\text{ m}^2$. Sabiendo que la razón de semejanza de las longitudes de la imagen es proporcional a la distancia a la pantalla, calcula la distancia inicial $d$.
La diferencia entre las áreas de dos polígonos semejantes es de $105\text{ cm}^2$. Si se sabe que la razón entre sus perímetros es $\frac{4}{3}$, determina el área de…
La diferencia entre las áreas de dos polígonos semejantes es de $105\text{ cm}^2$. Si se sabe que la razón entre sus perímetros es $\frac{4}{3}$, determina el área de cada uno de los polígonos.
La cubierta de un libro antiguo mide $15\text{ cm} \times 22\text{ cm}$. Se quiere hacer una edición de bolsillo semejante a la original. Para ahorrar costos, el área de…
La cubierta de un libro antiguo mide $15\text{ cm} \times 22\text{ cm}$. Se quiere hacer una edición de bolsillo semejante a la original. Para ahorrar costos, el área de la cubierta de la edición de bolsillo debe ser exactamente el $60\%$ del área original. Calculá las dimensiones de la cubierta de la edición de bolsillo redondeando a dos cifras decimales.
Semejanza escondida en otras figuras
A veces la semejanza no está a la vista y hay que encontrarla: figuras que se repiten dentro de otras, rectángulos inscritos, triángulos formados al trazar una altura. Buscá siempre los ángulos iguales o los lados paralelos que aseguren la semejanza; después calculá $k$ y usá $k$ o $k^2$.
Dos hexágonos regulares son siempre semejantes. Si los vértices de uno están en los puntos medios de los lados de otro, la razón entre los lados es $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, y entre las áreas es $\dfrac{3}{4}$ (al ser $k^2$).
Dos hexágonos regulares están dispuestos de manera concéntrica como se muestra en la figura. El hexágono menor tiene sus vértices en los puntos medios de los lados de un…
Dos hexágonos regulares están dispuestos de manera concéntrica como se muestra en la figura. El hexágono menor tiene sus vértices en los puntos medios de los lados de un hexágono intermedio, y este a su vez tiene sus vértices en los puntos medios de los lados del hexágono mayor. Si el área del hexágono menor es $12\text{ cm}^2$, halla el área del hexágono mayor.
En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$, rectángulo en $A$, se traza la altura $AH$ sobre la hipotenusa $BC$. Esto divide al triángulo original en dos triángulos…
En un triángulo rectángulo $\triangle ABC$, rectángulo en $A$, se traza la altura $AH$ sobre la hipotenusa $BC$. Esto divide al triángulo original en dos triángulos semejantes $\triangle HBA$ y $\triangle HAC$. Si el cateto $AB$ mide $15\text{ cm}$ y el cateto $AC$ mide $20\text{ cm}$, calcula el área de los dos triángulos pequeños utilizando la razón de semejanza entre ellos.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Un rombo tiene diagonales que miden $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Se inscribe un rectángulo dentro del rombo de forma que sus lados sean paralelos a las diagonales y…
Un rombo tiene diagonales que miden $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Se inscribe un rectángulo dentro del rombo de forma que sus lados sean paralelos a las diagonales y sus vértices se apoyen sobre los lados del rombo. Si el rectángulo inscrito es semejante a otro rectángulo de dimensiones $4\text{ cm}$ y $3\text{ cm}$, determina el área de dicho rectángulo inscrito.
La figura muestra la construcción descrita:
Volvamos al principio: la manzana del plano de $12\text{ cm}^2$ no se pasa a metros cuadrados multiplicando por la escala, sino por la escala al cuadrado; y la foto ampliada al doble de ancho y alto necesita $4$ veces más tinta.