Te conviene dominar: Semejanza de triángulos (8.° grado de Educación Básica Integrada (2.° de liceo))
Te conviene dominar: Teorema de Thales (8.° grado de Educación Básica Integrada (2.° de liceo))
¿Cómo se mide la altura de la Torre de las Telecomunicaciones sin subirse a ella? Con una sombra, una regla y un poco de semejanza. Ya reconocías figuras semejantes en 8.°. Ahora lo hacemos con precisión: en los triángulos alcanza con comprobar una sola de tres condiciones, y eso da una herramienta potente para medir lo que no se puede medir directamente.
Los tres criterios de semejanza
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Comprueba si un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $35^\circ$ es semejante a otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $55^\circ$. Justifica tu respuesta…
Comprueba si un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $35^\circ$ es semejante a otro triángulo rectángulo con un ángulo agudo de $55^\circ$. Justifica tu respuesta utilizando los criterios de semejanza.
Una vez que sabés que dos triángulos son semejantes, $k$ te permite calcular cualquier lado que falte: multiplicás o dividís, sin volver a mirar los ángulos.
Un caso muy frecuente es el de las rectas paralelas. Si $BC \parallel DE$, los triángulos $ABC$ y $ADE$ comparten el ángulo en $A$, y las paralelas forman ángulos iguales con los lados. Son semejantes por AA. Es la situación del teorema de Thales.
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Los lados de un triángulo miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Se construye un triángulo semejante a él cuyo lado menor mide $15 \text{ cm}$. Calcula…
Los lados de un triángulo miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Se construye un triángulo semejante a él cuyo lado menor mide $15 \text{ cm}$. Calcula la longitud de los otros dos lados del nuevo triángulo.
En la figura adjunta, el segmento $BC$ es paralelo a $DE$. Sabiendo que $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 8 \text{ cm}$ y $DE = 12 \text{ cm}$, calcula la longitud del segmento…
En la figura adjunta, el segmento $BC$ es paralelo a $DE$. Sabiendo que $AB = 6 \text{ cm}$, $BC = 8 \text{ cm}$ y $DE = 12 \text{ cm}$, calcula la longitud del segmento $BD$ (marcado como $x$).
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, con $M$ en $AB$ y $N$ en $AC$. Las longitudes de los segmentos formados son: $AM = x$,…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, con $M$ en $AB$ y $N$ en $AC$. Las longitudes de los segmentos formados son: $AM = x$, $MB = x+2$, $AN = x+1$ y $NC = x+4$. Determina el valor de $x$ y las longitudes totales de los lados $AB$ y $AC$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El truco de las sombras es el ejemplo más clásico de semejanza AA. A una misma hora, los rayos del sol son paralelos, así que todo objeto vertical forma con su sombra un triángulo rectángulo con el mismo ángulo en el suelo.
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Un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$ sobre el suelo plano. En ese mismo instante, un edificio cercano proyecta una sombra…
Un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$ sobre el suelo plano. En ese mismo instante, un edificio cercano proyecta una sombra de $12 \text{ m}$. Calcula la altura del edificio.
Una persona que mide $1,70 \text{ m}$ de altura se aleja de una farola. Cuando se encuentra a $3 \text{ m}$ de la base de la farola, su sombra, proyectada en el suelo,…
Una persona que mide $1,70 \text{ m}$ de altura se aleja de una farola. Cuando se encuentra a $3 \text{ m}$ de la base de la farola, su sombra, proyectada en el suelo, mide $2 \text{ m}$. Calcula la altura total de la farola.
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo en el suelo a $15 \text{ m}$ de la base del edificio. Retrocede $2 \text{ m}$ hasta que, de pie,…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo en el suelo a $15 \text{ m}$ de la base del edificio. Retrocede $2 \text{ m}$ hasta que, de pie, puede ver la cima del edificio reflejada en el espejo. Si los ojos del estudiante están a $1,6 \text{ m}$ del suelo, calcula la altura $h$ del edificio.
La misma idea sirve en otros montajes. Siempre se busca un par de triángulos semejantes y se plantea una proporción entre lados correspondientes.
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Dos topógrafos quieren medir la anchura de un río (distancia $d$ entre orillas paralelas). Clavan estacas en su orilla separadas $20 \text{ m}$. En la orilla opuesta,…
Dos topógrafos quieren medir la anchura de un río (distancia $d$ entre orillas paralelas). Clavan estacas en su orilla separadas $20 \text{ m}$. En la orilla opuesta, identifican dos árboles separados $40 \text{ m}$. Trazan visuales cruzadas que se intersecan en un punto $P$. Si la distancia perpendicular desde $P$ hasta la orilla de los topógrafos es de $15 \text{ m}$, ¿cuál es la anchura total $d$ del río? (Nota: asume que los segmentos de $20 \text{ m}$ y $40 \text{ m}$ son paralelos entre sí).
Una cámara de fotos tiene su sensor a una distancia de $50 \text{ mm}$ del centro óptico de la lente. Si se enfoca a un árbol que tiene una altura de $4 \text{ m}$ y la…
Una cámara de fotos tiene su sensor a una distancia de $50 \text{ mm}$ del centro óptico de la lente. Si se enfoca a un árbol que tiene una altura de $4 \text{ m}$ y la imagen proyectada invertida en el sensor tiene una altura de $10 \text{ mm}$, ¿a qué distancia de la lente se encuentra el árbol?
Un conductor está sentado en su auto. Sus ojos se encuentran a $1,2 \text{ m}$ del suelo. La trompa del auto es horizontal, tiene una longitud de $1,5 \text{ m}$…
Un conductor está sentado en su auto. Sus ojos se encuentran a $1,2 \text{ m}$ del suelo. La trompa del auto es horizontal, tiene una longitud de $1,5 \text{ m}$ (distancia horizontal desde los ojos hasta el extremo delantero) y una altura de $0,8 \text{ m}$. Calculá la distancia mínima $d$ por delante del auto a la que debe estar un objeto en el suelo para que el conductor pueda verlo (es decir, la longitud del "punto ciego" delantero).
Si dos triángulos son semejantes con razón $k$, las longitudes se multiplican por $k$. El perímetro es una suma de longitudes, así que también se multiplica por $k$. El área mide una superficie, con dos dimensiones (base y altura), y cada una se multiplica por $k$.
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El perímetro de un triángulo $T_1$ es de $24 \text{ cm}$. Se construye un triángulo $T_2$ semejante a $T_1$ con una razón de semejanza $k = 3$. ¿Cuál es el perímetro del…
El perímetro de un triángulo $T_1$ es de $24 \text{ cm}$. Se construye un triángulo $T_2$ semejante a $T_1$ con una razón de semejanza $k = 3$. ¿Cuál es el perímetro del triángulo $T_2$?
El área de un triángulo es de $10 \text{ cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante en el que cada lado mide el doble que los lados del original, ¿cuál será el área del…
El área de un triángulo es de $10 \text{ cm}^2$. Si dibujamos un triángulo semejante en el que cada lado mide el doble que los lados del original, ¿cuál será el área del nuevo triángulo?
Un campo de forma triangular tiene un área de $450 \text{ m}^2$ y su base mide $30 \text{ m}$. Se quiere dibujar un plano del campo en el que el área del triángulo…
Un campo de forma triangular tiene un área de $450 \text{ m}^2$ y su base mide $30 \text{ m}$. Se quiere dibujar un plano del campo en el que el área del triángulo dibujado sea de $18 \text{ cm}^2$. ¿Cuánto medirá la base del triángulo en el plano?
Muchos problemas no traen dos triángulos dibujados. Hay que encontrarlos dentro de otra figura: un triángulo cortado por una paralela, un cuadrado inscripto, un cono, dos postes con cables cruzados.
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El logotipo de una empresa es un triángulo isósceles cuyos lados miden $10 \text{ cm}$, $10 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$ (base). Por motivos de diseño, se traza una…
El logotipo de una empresa es un triángulo isósceles cuyos lados miden $10 \text{ cm}$, $10 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$ (base). Por motivos de diseño, se traza una línea paralela a la base a una distancia de $3 \text{ cm}$ del vértice opuesto. Calcula el área del pequeño triángulo que se forma en la parte superior.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un triángulo rectángulo de catetos $8 \text{ cm}$ y $6 \text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $8 \text{ cm}$ y $6 \text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula la longitud del lado $x$ del cuadrado utilizando semejanza de triángulos.
En un trapecio $ABCD$ con bases $AB = 10 \text{ cm}$ y $CD = 4 \text{ cm}$, las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $O$. Si el área del triángulo $COD$ es…
En un trapecio $ABCD$ con bases $AB = 10 \text{ cm}$ y $CD = 4 \text{ cm}$, las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $O$. Si el área del triángulo $COD$ es de $12 \text{ cm}^2$, calcula el área del triángulo $AOB$ y demuestra tu razonamiento.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa lo divide en dos triángulos más chicos. Los dos son semejantes entre sí y semejantes al triángulo grande: todos tienen un ángulo recto y comparten un ángulo agudo con el grande. De esas semejanzas salen dos fórmulas.
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En el triángulo rectángulo de la figura, la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de longitudes $4 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Calcula el…
En el triángulo rectángulo de la figura, la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de longitudes $4 \text{ cm}$ y $9 \text{ cm}$. Calcula el valor de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10 \text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Aplica el teorema del…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10 \text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para calcular la longitud de dicho cateto.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $15 \text{ cm}$ y $20 \text{ cm}$. Calcula la longitud de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa utilizando…
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $15 \text{ cm}$ y $20 \text{ cm}$. Calcula la longitud de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa utilizando relaciones de semejanza o los teoremas derivados de ellas.
Estos teoremas se llevan bien con Pitágoras y con el área del triángulo. Con dos datos del triángulo rectángulo, casi siempre podés encontrar todo lo demás.
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En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $4,8 \text{ cm}$ y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Calcula el…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $4,8 \text{ cm}$ y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $3,6 \text{ cm}$. Calcula el perímetro completo del triángulo rectángulo original.
Demuestra, utilizando el teorema del cateto y el teorema de la altura (o el área del triángulo), que en cualquier triángulo rectángulo de catetos $b$ y $c$, y altura…
Demuestra, utilizando el teorema del cateto y el teorema de la altura (o el área del triángulo), que en cualquier triángulo rectángulo de catetos $b$ y $c$, y altura sobre la hipotenusa $h$, se cumple la siguiente relación:
Volvé al principio: para medir la Torre de las Telecomunicaciones basta con la sombra de una regla y la sombra de la torre. La razón entre las sombras es la razón entre las alturas.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado