Ecuaciones de primer grado

En matemáticas, es fundamental distinguir entre una expresión algebraica y una ecuación. Observa la siguiente lista e identifica cuáles son ecuaciones de primer grado. Para las que lo sean, indica cuál es su primer miembro y cuál es su incógnita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Comprobar si un número es solución de una ecuación consiste en sustituir la incógnita y ver si la igualdad se cumple. Dado el siguiente conjunto de valores: $\{-2, 0, 3\}$, indica razonadamente cuál de ellos es la solución de la ecuación:

$5x - (x + 4) = 8$

Resuelve las siguientes ecuaciones básicas utilizando la transposición de términos (lo que está sumando pasa restando y viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

Una balanza está en equilibrio. En el platillo de la izquierda hay $3$ cajas iguales (de peso $x$) y una pesa de $2$ kg. En el platillo de la derecha hay una pesa de $14$ kg.

Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja.

Resuelve estas ecuaciones de primer grado eliminando primero los paréntesis. Recuerda aplicar la propiedad distributiva con cuidado:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado asegurándote de simplificar todos los términos y prestar atención a los cambios de signo delante de las fracciones:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado con coeficientes fraccionarios y términos anidados. Presta mucha atención a la gestión de los signos negativos delante de las fracciones:

Dada la ecuación con un coeficiente desconocido $k$:

Calcula el valor que debe tener $k$ para que la solución de la ecuación sea $x = 6$. Una vez hallado $k$, comprueba que la igualdad se cumple sustituyendo ambos valores en la ecuación original.

Halla el valor del lado $x$ en el siguiente rectángulo sabiendo que su perímetro total es de $34$ cm.

En las ecuaciones literales, debemos ser capaces de despejar una variable en función de las demás. Despeja la variable $x$ en la siguiente igualdad, suponiendo que todos los parámetros $a, b, c$ y $d$ son conocidos y diferentes de cero, con $a \neq d$:

Expresa el resultado final como una única fracción.

En el desarrollo de videojuegos, a veces se usan ecuaciones para calcular puntuaciones. Un jugador tiene el triple de puntos que su amigo. Si al jugador le restamos $50$ puntos, ahora tiene exactamente $250$ puntos.

Plantea una ecuación donde $x$ sea la puntuación del amigo y resuélvela para hallar cuántos puntos tiene cada uno.

Traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje algebraico es como aprender un nuevo idioma. Traduce y resuelve la siguiente situación:

"Si al doble de un número le sumas su mitad, obtienes 25".

(Pista: llama $x$ al número desconocido).

En una tienda de tecnología, un ratón inalámbrico, un teclado y unos cascos cuestan en total $4\,400$ pesos. Sabemos que el teclado cuesta el triple que el ratón, y que los cascos cuestan $400$ pesos más que el teclado. Plantea una ecuación de primer grado y calcula el precio de cada artículo.

Halla tres números enteros pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al tercero más $14$ unidades.

Una tienda de tecnología lanza una oferta en tablets y accesorios. Álvaro compra una tablet y un teclado por un total de $\$325$. Sabe que la tablet tiene aplicado un descuento del $20\%$ sobre su precio original, mientras que el teclado, al ser un modelo antiguo, tiene un descuento del $50\%$. Si Álvaro se ha ahorrado en total $\$115$ respecto a los precios originales, ¿cuál era el precio de venta (sin descuento) de la tablet y del teclado?

Busca un número de dos cifras sabiendo que la cifra de las unidades excede en $3$ unidades a la cifra de las decenas. Si a dicho número le sumamos el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, obtenemos como resultado $121$. Plantea una ecuación de primer grado con una sola incógnita para hallar el número original.

Un fabricante de jugos quiere crear una nueva mezcla "Tropical" combinando jugo de ananá que cuesta $48$ pesos/litro con jugo de mango que cuesta $72$ pesos/litro. Si quiere obtener $60$ litros de mezcla a un precio de $56$ pesos/litro, ¿cuántos litros de jugo de ananá debe utilizar?

Dos ciclistas, Lucía y Marcos, participan en una carrera benéfica. Lucía sale de la meta con una velocidad constante de $20$ km/h. Media hora más tarde, Marcos sale desde el mismo punto persiguiéndola a una velocidad de $25$ km/h. ¿Cuánto tiempo tardará Marcos en alcanzar a Lucía desde que él sale? ¿A qué distancia del punto de partida se encontrarán?

Un diseñador de videojuegos está configurando el área de colisión cuadrada de un personaje. Si aumenta uno de los lados en $4\text{ cm}$ y reduce el otro en $2\text{ cm}$, el área del rectángulo resultante es $20\text{ cm}^2$ mayor que el área del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado original?

Ayuda: Aunque aparezcan términos en $x^2$, observa cómo se simplifican al operar.

Para llenar la piscina municipal de un pueblo se utilizan dos tuberías, A y B. La tubería A es capaz de llenar la piscina por sí sola en $10$ horas. Debido a una falla en el sistema de drenaje, hay una fuga en el fondo que vaciaría la piscina llena en $30$ horas si las tuberías estuvieran cerradas. Si abrimos la tubería A y la tubería B simultáneamente, la piscina se llena en exactamente $5$ horas (contando con la fuga abierta). ¿Cuánto tiempo tardaría la tubería B en llenar la piscina sola si no hubiera fuga?

En un laboratorio de química, un estudiante necesita obtener $12$ litros de una solución ácida al $25\%$. En el estante solo dispone de dos botes: uno con una solución al $10\%$ de ácido y otro con una solución muy concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros debe mezclar de cada bote para obtener la mezcla exacta que necesita su experimento?

Dos drones de vigilancia, Helios y Selene, parten de dos bases situadas a una distancia de $150\text{ km}$ el uno del otro. Ambos vuelan en la misma dirección y sentido (Helios persiguiendo a Selene). Helios vuela a una velocidad constante de $90\text{ km/h}$ y Selene a $60\text{ km/h}$. Si ambos despegan al mismo tiempo, ¿cuánto tiempo tardará Helios en alcanzar a Selene y a qué distancia de su base de origen ocurrirá el encuentro?