Semejanza de figuras
Una maqueta de un edificio de la Ciudad Vieja, a escala $1:100$, se pintó con $20\text{ ml}$ de pintura. ¿Cuánta pintura hace falta para el edificio de verdad? Un error común es contestar «$100$ veces más». Al final de la página vas a ver por qué no es así.
¿Cuándo dos figuras son semejantes?
Si te dan el perímetro de la figura semejante, la razón sale de comparar perímetros: los lados son proporcionales, así que sus sumas también.
Observa los dos polígonos semejantes de la figura. Calcula la longitud de los tres lados desconocidos del segundo polígono sabiendo que el lado correspondiente al de…
Observa los dos polígonos semejantes de la figura. Calcula la longitud de los tres lados desconocidos del segundo polígono sabiendo que el lado correspondiente al de $3 \text{ cm}$ mide $6 \text{ cm}$.
Los lados de un cuadrilátero miden $4$, $6$, $7$ y $9 \text{ cm}$. Un cuadrilátero semejante a este tiene un perímetro total de $65 \text{ cm}$. Calcula la longitud de…
Los lados de un cuadrilátero miden $4$, $6$, $7$ y $9 \text{ cm}$. Un cuadrilátero semejante a este tiene un perímetro total de $65 \text{ cm}$. Calcula la longitud de cada uno de los lados del cuadrilátero mayor.
Rectángulos y rombos: ¿son semejantes?
Para decidir si dos polígonos son semejantes hay que comprobar las dos condiciones: ángulos iguales y lados proporcionales. En rectángulos los ángulos ya son iguales ($90^\circ$), así que alcanza con ver si el cociente base/altura es el mismo.
Determina si dos rectángulos son semejantes sabiendo que las dimensiones del primero son $15 \text{ cm}$ de base por $10 \text{ cm}$ de altura, y las del segundo son…
Determina si dos rectángulos son semejantes sabiendo que las dimensiones del primero son $15 \text{ cm}$ de base por $10 \text{ cm}$ de altura, y las del segundo son $24 \text{ cm}$ de base por $16 \text{ cm}$ de altura. Justifica tu respuesta.
Demuestra razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "Todos los rectángulos son semejantes entre sí, ya que todos sus ángulos interiores miden…
Demuestra razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: "Todos los rectángulos son semejantes entre sí, ya que todos sus ángulos interiores miden $90^\circ$". ¿Qué ocurre en el caso de los rombos? Justifica tu respuesta utilizando las condiciones de semejanza de polígonos.
Escalas: de mapas a planos
Una escala $1:n$ dice que la realidad es $n$ veces más grande que el dibujo. El dibujo y la realidad son figuras semejantes con $k = n$.
En un mapa diseñado a escala $1:25 000$, la distancia en línea recta entre dos pueblos es de $8 \text{ cm}$. Calcula cuál es la distancia real entre ambos pueblos…
En un mapa diseñado a escala $1:25 000$, la distancia en línea recta entre dos pueblos es de $8 \text{ cm}$. Calcula cuál es la distancia real entre ambos pueblos expresada en kilómetros.
La distancia real en línea recta entre dos ciudades es de $120 \text{ km}$. Si queremos representarlas en un mapa a escala $1:500 000$, ¿a qué distancia estarán…
La distancia real en línea recta entre dos ciudades es de $120 \text{ km}$. Si queremos representarlas en un mapa a escala $1:500 000$, ¿a qué distancia estarán separadas en el mapa, expresada en centímetros?
Escalas y superficies
Una escala relaciona longitudes. Para un área hay que elevar al cuadrado: si el plano está a escala $1:n$, el área real es $n^2$ veces el área del plano.
En el campo se usa la hectárea: $1\text{ ha} = 10.000\text{ m}^2$.
En un plano topográfico a escala $1:10 000$, una parcela agrícola ocupa un área de $12 \text{ cm}^2$. Calcula el área real de la parcela en hectáreas. (Recuerda que…
En un plano topográfico a escala $1:10 000$, una parcela agrícola ocupa un área de $12 \text{ cm}^2$. Calcula el área real de la parcela en hectáreas. (Recuerda que $1 \text{ hectárea} = 10 000 \text{ m}^2$).
Observa el plano adjunto. Sabiendo que la parcela sombreada tiene un área en el papel de $12 \text{ cm}^2$ y que la escala gráfica indica $1:5000$, calcula el área real…
Observa el plano adjunto. Sabiendo que la parcela sombreada tiene un área en el papel de $12 \text{ cm}^2$ y que la escala gráfica indica $1:5000$, calcula el área real de la parcela en metros cuadrados.
Perímetro y área según $k$
Probá con el deslizador: la figura crece con $k$, pero su superficie crece mucho más rápido.
Dos triángulos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del triángulo menor es de $14 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?
Dos triángulos son semejantes con una razón de semejanza $k = 3$. Si el perímetro del triángulo menor es de $14 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del triángulo mayor?
El área de un cuadrado es de $16 \text{ cm}^2$. Si construimos un cuadrado semejante aplicando una razón de semejanza $k = 2,5$, ¿cuál será el área del nuevo cuadrado?
El área de un cuadrado es de $16 \text{ cm}^2$. Si construimos un cuadrado semejante aplicando una razón de semejanza $k = 2,5$, ¿cuál será el área del nuevo cuadrado?
Para pintar la fachada de una casa de muñecas se han utilizado $50 \text{ ml}$ de pintura. Si queremos pintar la fachada de una casa real que es $12$ veces más grande en…
Para pintar la fachada de una casa de muñecas se han utilizado $50 \text{ ml}$ de pintura. Si queremos pintar la fachada de una casa real que es $12$ veces más grande en todas sus dimensiones lineales, ¿cuántos litros de pintura necesitaremos suponiendo que ambas fachadas son figuras semejantes?
Del área a la razón $k$
A veces te dan la razón entre dos áreas y tenés que deshacer el camino: como el área escala con $k^2$, la razón de longitudes es la raíz cuadrada de la razón de áreas.
Las áreas de dos pentágonos regulares son $25 \text{ cm}^2$ y $100 \text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los lados del pentágono mayor respecto a los lados…
Las áreas de dos pentágonos regulares son $25 \text{ cm}^2$ y $100 \text{ cm}^2$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los lados del pentágono mayor respecto a los lados del pentágono menor?
En una pizzería, una pizza pequeña de $20 \text{ cm}$ de diámetro cuesta $240 \text{ \$}…
En una pizzería, una pizza pequeña de $20 \text{ cm}$ de diámetro cuesta $240 \text{ \$}$. Si el precio es estrictamente proporcional al área de la pizza, ¿cuánto debería costar una pizza familiar de $30 \text{ cm}$ de diámetro?
Al ampliar una fotografía rectangular en un programa de edición, su área se ha incrementado en un $69\%$. Determina cuál es la razón de semejanza $k$ aplicada en la…
Al ampliar una fotografía rectangular en un programa de edición, su área se ha incrementado en un $69\%$. Determina cuál es la razón de semejanza $k$ aplicada en la ampliación y calcula en qué porcentaje ha aumentado el perímetro de la fotografía.
Sólidos semejantes y volumen
La misma idea vale para cuerpos: dos cajas, dos tanques o dos envases con la misma forma son sólidos semejantes y su volumen se multiplica por $k^3$. Como $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$, la capacidad escala igual que el volumen.
Una caja de embalaje con forma de paralelepípedo rectángulo tiene un volumen de $50 \text{ dm}^3$. Si fabricamos una caja semejante cuyas dimensiones son exactamente el…
Una caja de embalaje con forma de paralelepípedo rectángulo tiene un volumen de $50 \text{ dm}^3$. Si fabricamos una caja semejante cuyas dimensiones son exactamente el doble que las de la original, ¿cuál será su volumen?
Una maqueta de un rascacielos está construida a escala $1:200$. Si el volumen de la maqueta es de $1,5 \text{ dm}^3$, calcula el volumen real del rascacielos expresado…
Una maqueta de un rascacielos está construida a escala $1:200$. Si el volumen de la maqueta es de $1,5 \text{ dm}^3$, calcula el volumen real del rascacielos expresado en metros cúbicos.
Un bote cilíndrico de pintura tiene una capacidad de $2 \text{ litros}$ y su altura es de $15 \text{ cm}$. Se quiere fabricar un bote semejante que tenga una capacidad…
Un bote cilíndrico de pintura tiene una capacidad de $2 \text{ litros}$ y su altura es de $15 \text{ cm}$. Se quiere fabricar un bote semejante que tenga una capacidad de $16 \text{ litros}$. ¿Cuál será la altura del nuevo bote?
Del volumen o la masa a la razón $k$
Si te dan la razón de volúmenes (o de masas, si el material es el mismo), la razón de longitudes es la raíz cúbica. Con la calculadora, la tecla $\sqrt[3]{\ }$ o la potencia $1/3$.
Dos esferas son semejantes. El área de la superficie de la esfera mayor es $9$ veces el área de la superficie de la menor. Si el volumen de la esfera menor es de…
Dos esferas son semejantes. El área de la superficie de la esfera mayor es $9$ veces el área de la superficie de la menor. Si el volumen de la esfera menor es de $4 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera mayor?
Una pieza de ingeniería de titanio pesa $4,5 \text{ kg}$. Se va a fabricar una pieza geométricamente semejante pero de tamaño reducido, que debe pesar exactamente…
Una pieza de ingeniería de titanio pesa $4,5 \text{ kg}$. Se va a fabricar una pieza geométricamente semejante pero de tamaño reducido, que debe pesar exactamente $500 \text{ gramos}$. Si la pieza original tiene una longitud máxima de $30 \text{ cm}$, ¿cuál será la longitud máxima de la nueva pieza reducida?
Área y volumen en el mismo problema
Muchos problemas mezclan los dos: la pintura depende del área y el contenido, del volumen. Para cada dato, decidí qué magnitud es y qué potencia de $k$ le corresponde. Si solo te dan una razón de áreas o de volúmenes, calculá $k$ primero.
Cuando $k$ no es exacto, usá la calculadora: si $k^2 = 3$, entonces $k = \sqrt{3}$ y $k^3 = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$.
Un depósito de agua cilíndrico cuesta $4\,800 \text{ \$}$ pintarlo por fuera y llenarlo de agua cuesta $16\,000 \text{ \$}$. Se construye un depósito semejante cuya…
Un depósito de agua cilíndrico cuesta $4\,800 \text{ \$}$ pintarlo por fuera y llenarlo de agua cuesta $16\,000 \text{ \$}$. Se construye un depósito semejante cuya altura es un $50\%$ mayor. Calculá el costo total de pintar y llenar el nuevo depósito, suponiendo que las tarifas por metro cuadrado de pintura y por litro de agua se mantienen constantes.
Una empresa fabrica latas cilíndricas semejantes. La lata A requiere $150 \text{ cm}^2$ de hojalata para su fabricación y contiene $300 \text{ ml}$ de jugo. Si la lata B…
Una empresa fabrica latas cilíndricas semejantes. La lata A requiere $150 \text{ cm}^2$ de hojalata para su fabricación y contiene $300 \text{ ml}$ de jugo. Si la lata B requiere $540 \text{ cm}^2$ de hojalata para ser fabricada, ¿cuántos mililitros de jugo contiene?
Cortes paralelos a la base
Si cortás una pirámide con un plano paralelo a la base, la parte de arriba es una pirámide semejante a la entera. La razón es $k = \dfrac{h}{H}$, con $h$ la altura de la parte menor y $H$ la altura de la pirámide entera. Las bases se comparan con $k^2$ y los volúmenes con $k^3$.
El área de la base de una pirámide es de $45 \text{ cm}^2$ y su volumen es de $180 \text{ cm}^3$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, obteniendo una…
El área de la base de una pirámide es de $45 \text{ cm}^2$ y su volumen es de $180 \text{ cm}^3$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, obteniendo una pirámide deficiente (tronco de pirámide) y una pirámide menor en la parte superior. Si el área de la base de la pirámide menor es de $20 \text{ cm}^2$, calcula su volumen.
Observa la figura donde un cono de altura $H$ y volumen $V$ se corta por un plano paralelo a la base a una altura $h$ medida desde el vértice. Si queremos que el volumen…
Observa la figura donde un cono de altura $H$ y volumen $V$ se corta por un plano paralelo a la base a una altura $h$ medida desde el vértice. Si queremos que el volumen del cono pequeño sea exactamente la mitad del volumen del cono grande ($\frac{V}{2}$), ¿cuál debe ser el valor exacto de la razón $\frac{h}{H}$? Expresa el resultado utilizando radicales.
Sucesiones de figuras semejantes
Si cada figura es semejante a la anterior con razón $k$, el área se multiplica por $k^2$ en cada paso. Es una sucesión donde cada término es el anterior por una razón constante.
Se construye una sucesión de figuras planas de la siguiente manera: la primera figura tiene un área de $100 \text{ cm}^2$. Cada figura posterior es semejante a la…
Se construye una sucesión de figuras planas de la siguiente manera: la primera figura tiene un área de $100 \text{ cm}^2$. Cada figura posterior es semejante a la anterior con una razón de semejanza $k = \frac{3}{4}$. Escribe la expresión del área de la figura $n$-ésima y calcula a partir de qué figura el área será estrictamente menor de $10 \text{ cm}^2$.
Resumen
Volvé al principio: en la maqueta a escala $1:100$, la pintura depende del área, así que se multiplica por $100^2 = 10.000$. Con $20\text{ ml}$ en la maqueta, el edificio real necesita $200.000\text{ ml} = 200\text{ L}$, no $100$ veces más.