Semejanza

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original es un rectángulo que mide $8\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Para la pantalla de carga, necesita crear una versión más grande que sea semejante a la original. Si el ancho de la versión ampliada debe ser de $20\text{ cm}$, ¿cuál será la altura del logotipo en esa pantalla?

En el plano de una vivienda, la escala utilizada es $1:50$. Si el salón tiene una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibujo, calcula cuántos metros mide la longitud real de dicha estancia.

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva marca de ropa. El diseño original es un cuadrilátero con lados que miden $6\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. El cliente le pide una versión más grande para un cartel publicitario, donde el lado que antes medía $9\text{ cm}$ ahora debe medir $45\text{ cm}$.

1. a) Calcula la razón de semejanza $k$ entre el logotipo del cartel y el original.
2. b) Determina la medida de los otros tres lados en el logotipo del cartel.
3. c) Si el perímetro del logotipo original es de $35\text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del logotipo del cartel sin sumar sus lados uno a uno?

Dos triángulos están colocados en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos y miden $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y que el segmento vertical del triángulo menor mide $9\text{ cm}$, calcula el valor del segmento vertical desconocido denotado por $x$ del triángulo mayor.

En la siguiente figura, las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Sabiendo que $y = x + 1$, utiliza el Teorema de Tales para calcular las longitudes desconocidas $x$ e $y$ expresadas en centímetros.

Dos ciudades, A y B, están separadas por un río de orillas paralelas. Para calcular la distancia entre un punto $P$ en la orilla de la ciudad A y un punto $Q$ en la orilla de la ciudad B (situado justo enfrente), un topógrafo recorre $60\text{ m}$ por la orilla de la ciudad A hasta un punto $R$. Desde $R$, camina otros $20\text{ m}$ en la misma dirección hasta un punto $S$. En $S$, gira $90^\circ$ y se aleja del río hasta que los puntos $Q$ y $R$ quedan alineados con su posición actual ($T$). Si la distancia $ST$ es de $15\text{ m}$:

1. a) Calcula la anchura del río ($PQ$).
2. b) Calcula la distancia en línea recta entre el topógrafo en el punto $T$ y el punto $Q$ al otro lado del río.

Indicá si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justificá qué criterio utilizaste (AAA, SSS o SAS):

• Triángulo 1: Ángulos de $40^\circ$ y $70^\circ$.

• Triángulo 2: Ángulos de $70^\circ$ y $70^\circ$.

Considera un triángulo isósceles $ABC$ donde el lado desigual $BC$ mide $12\text{ cm}$ y los lados iguales miden $10\text{ cm}$ cada uno. Inscrito en él, se coloca un cuadrado cuya base descansa sobre el lado $BC$ del triángulo y sus otros dos vértices tocan los lados $AB$ y $AC$.

Utiliza la semejanza entre el triángulo original y el triángulo pequeño que queda por encima del cuadrado para calcular el lado del cuadrado.

Observa el triángulo rectángulo de la figura. La altura $h$ sobre la hipotenusa divide al triángulo original en dos triángulos más pequeños.

1. a) Justifica por qué los tres triángulos (el original y los dos pequeños) son semejantes entre sí.
2. b) Si los segmentos en los que queda dividida la hipotenusa miden $m = 4\text{ cm}$ y $n = 9\text{ cm}$, calcula la altura $h$ utilizando la semejanza de los dos triángulos pequeños.
3. c) Calcula el área del triángulo original.

Un arquitecto está diseñando la fachada de un auditorio moderno. Ha dibujado un triángulo rectángulo principal y, para mejorar la acústica, necesita trazar la altura sobre la hipotenusa. Esta altura divide al triángulo original en otros dos triángulos más pequeños. Sabiendo que los catetos del triángulo original miden $18\text{ m}$ y $24\text{ m}$, utiliza la semejanza de triángulos para calcular:

1. a) La longitud de la altura trazada sobre la hipotenusa.
2. b) Las longitudes de los dos segmentos en los que queda dividida la hipotenusa.

Un estudiante de 3º de ESO mide $1,60\text{ m}$ de altura. En un momento del día, proyecta una sombra sobre el suelo de $2\text{ m}$. Si justo al lado, una farola proyecta una sombra de $5\text{ m}$, ¿cuál es la altura de la farola?

Para calcular la altura de una torre de comunicación que proyecta una sombra muy larga, Marcos, que mide $1,70\text{ m}$, se coloca de pie de forma que el extremo de su propia sombra coincida con el extremo de la sombra de la torre. Si Marcos está a $25\text{ m}$ de la base de la torre y su sombra mide $2,5\text{ m}$, responde:

1. a) ¿Por qué podemos afirmar que los triángulos formados por Marcos y la torre con sus respectivas sombras son semejantes? Menciona el criterio de semejanza utilizado.
2. b) Calcula la altura de la torre.

Para medir la altura de una torre de refrigeración de una central eléctrica, un equipo de ingenieros utiliza un espejo colocado en el suelo. El ingeniero se sitúa de modo que, mirando el espejo, ve reflejada la parte superior de la torre. El espejo está a $45\text{ m}$ de la base de la torre. El ingeniero, cuyos ojos están a una altura de $1,75\text{ m}$, se encuentra a $1,5\text{ m}$ del espejo. Entre el espejo y la torre hay una valla de seguridad de $5\text{ m}$ de altura.

¿A qué distancia mínima del espejo debe estar la valla para que no oculte el reflejo de la parte superior de la torre en los ojos del ingeniero?

Una pizzería ofrece dos tamaños de pizza redonda que son semejantes. La pizza "Pequeña" tiene un radio de $10\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" tiene un radio de $20\text{ cm}$, ¿cuál será su área? (Recuerda la relación entre la razón de semejanza $k$ y las áreas).

Dos rectángulos son semejantes. El primero tiene una base de $12\text{ cm}$ y un área de $96\text{ cm}^2$. El segundo rectángulo tiene un área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula la razón de semejanza entre el segundo y el primer rectángulo. (Pista: utiliza la relación entre áreas).
2. b) Calcula las dimensiones (base y altura) del segundo rectángulo.
3. c) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

Una empresa de impresión 3D ha creado una maqueta a escala de una plaza circular. En la maqueta, el área de la plaza es de $450\text{ cm}^2$. El cliente solicita una segunda maqueta donde el perímetro sea un $20\%$ mayor que el de la primera maqueta.

1. a) ¿Cuál será el área de la plaza en esta segunda maqueta?
2. b) Si la plaza real tiene un radio de $30\text{ m}$, ¿cuál es la escala utilizada en la primera maqueta? (Expresa la escala en formato $1:n$).