Conceptos de probabilidad

Clasificá los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas, justificando brevemente tu respuesta en cada caso:

1. a) Observar si el próximo ómnibus que pase por la parada frente al liceo es de la línea 5.
2. b) Medir el tiempo que tarda un objeto en caer al suelo desde una altura de 2 metros en condiciones de vacío.
3. c) Predecir el ganador del próximo sorteo de la Lotería de Fin de Año.
4. d) Calcular el costo de 3 kg de manzanas si sabemos que el precio es de $60 \text{ \$/kg}$.

Estamos jugando con una ruleta dividida en ocho sectores iguales, numerados del 1 al 8. Escribí el espacio muestral $E$ de este experimento y describí los elementos de los siguientes eventos:

1. a) $A =$ "Obtener un número mayor que 5".
2. b) $B =$ "Obtener un número par".
3. c) $C =$ "Obtener un múltiplo de 3".

En un bolso de deporte hay 4 camisetas rojas, 3 azules y 1 blanca. Si extraemos una camiseta sin mirar, indicá cuál de las siguientes opciones describe mejor la probabilidad de cada evento (usá los términos: muy probable, poco probable, imposible, seguro):

1. a) Sacar una camiseta de color verde.
2. b) Sacar una camiseta que no sea blanca.
3. c) Sacar una camiseta roja, azul o blanca.
4. d) Sacar una camiseta azul.

Consideramos el experimento aleatorio de elegir al azar una letra de la palabra MATEMATICAS. Definí los siguientes conceptos asociados a este experimento:

1. a) El espacio muestral $E$.
2. b) El suceso $V =$ "Elegir una vocal".
3. c) El suceso $C =$ "Elegir una consonante".
4. d) Comprobá si $V$ y $C$ son sucesos contrarios.

Un dado tiene sus caras pintadas de colores: 3 caras son rojas, 2 son verdes y 1 es amarilla. Si tiramos el dado al aire:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de "obtener color rojo"? Expresá el resultado como fracción.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de "no obtener color rojo"?
3. c) ¿Cómo se llama técnicamente el suceso de la parte b) respecto al de la parte a)?

En un bolillero de lotería hay bolillas numeradas del 1 al 20. Si extraemos una bolilla al azar, clasificá los siguientes sucesos en elementales o compuestos:

1. a) $S_1 =$ {obtener el número 13}.
2. b) $S_2 =$ {obtener un número primo menor que 10}.
3. c) $S_3 =$ {obtener un múltiplo de 7}.
4. d) $S_4 =$ {obtener el mayor número par de la bolsa}.

En tu celular tenés instaladas 3 apps de redes sociales, 2 de juegos y 1 de música. Al recibir una notificación, esta puede provenir de cualquiera de estas apps con la misma probabilidad.

1. a) Definí el espacio muestral $E$ de este experimento aleatorio.
2. b) Describí el suceso $A$ = "La notificación no es de una red social".
3. c) Escribí un suceso imposible relacionado con este contexto.

En un juego de cartas coleccionables de fantasía, un mazo contiene las siguientes cartas: 8 de tipo "Guerrero", 6 de tipo "Mago", 4 de tipo "Elfo" y 2 de tipo "Dragón". Si robas una carta al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Sea un "Mago".
2. b) Sea un "Guerrero" o un "Elfo".
3. c) No sea un "Dragón".

En una feria tecnológica hay una ruleta dividida en 12 sectores iguales numerados del 1 al 12. El juego consiste en hacer girar la ruleta y observar el número premiado.

1. a) Halla la probabilidad de obtener un número primo.
2. b) Halla la probabilidad de obtener un número mayor que 4 y menor que 9.
3. c) Si ganamos un premio si sale un múltiplo de 3 o un número impar, ¿cuál es la probabilidad de ganar?

De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al azar. Dados los sucesos $A =$ "Sacar un Rey" y $B =$ "Sacar una carta de Oros", indicá:

1. a) ¿Son $A$ y $B$ sucesos compatibles o incompatibles? ¿Por qué?
2. b) ¿Cuál es el suceso intersección $A \cap B$?
3. c) Describí con palabras el suceso unión $A \cup B$.

Se realiza una encuesta a los 30 alumnos de una clase sobre sus preferencias de streaming. Se sabe que 18 alumnos ven Netflix ($N$), 12 ven Disney+ ($D$) y 5 alumnos ven ambas plataformas. Si elegimos un alumno al azar:

1. a) Utilizá un diagrama de Venn para representar la situación.
2. b) Calculá la probabilidad de que el alumno vea solo Netflix.
3. c) Calculá la probabilidad de que el alumno no vea ninguna de las dos plataformas (evento contrario a la unión).

Consideramos el experimento aleatorio de lanzar dos dados cúbicos y sumar sus puntos. Sean los eventos:

• $A$ = "La suma es un número par".

• $B$ = "La suma es un múltiplo de 5".

1. a) Calculá $P(A)$ y $P(B)$.
2. b) ¿Son los eventos $A$ y $B$ compatibles o incompatibles? Justificá tu respuesta encontrando los elementos de $A \cap B$.
3. c) Calculá la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$.

En un instituto de Madrid, el $60\%$ de los alumnos de 3º ESO utiliza la plataforma Twitch, el $50\%$ utiliza TikTok y el $20\%$ no utiliza ninguna de las dos. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) Que utilice ambas plataformas.

1. b) Que utilice TikTok pero no Twitch.

1. c) ¿Son los sucesos "Usar Twitch" y "Usar TikTok" incompatibles? Justifica tu respuesta utilizando los valores de las probabilidades.

Se lanzan dos monedas al aire y se anota el resultado (C para Cara, X para Cruz).

1. a) Usá un diagrama de árbol para hallar todos los resultados posibles.
2. b) Escribí el espacio muestral del experimento.
3. c) ¿Cuál es el suceso elemental "sacar dos caras"?

Para ir a un festival, Lucía tiene en su armario 3 sudaderas (negra, blanca y roja) y 2 pantalones (vaquero y chándal). Elige al azar una sudadera y un pantalón, todas las opciones con la misma probabilidad.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las combinaciones posibles de vestimenta (sudaderas y pantalones).
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que Lucía elija la sudadera roja?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que no elija el pantalón de chándal?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una convención de videojuegos, se clasificó a 200 asistentes según su edad y su consola preferida, obteniendo la siguiente tabla de contingencia:

Si seleccionamos un asistente al azar, halla la probabilidad de que:

1. a) Prefiera Nintendo.
2. b) Sea mayor de 14 años.
3. c) Sea menor de 14 años y prefiera PlayStation.
4. d) Sabiendo que prefiere Nintendo, sea menor de 14 años.

Un grupo de amigos crea una clave de seguridad para su servidor de videojuegos. La clave debe tener 3 caracteres distintos elegidos entre las letras $\{A, B, C\}$ y los números $\{1, 2, 3\}$.

1. a) Describe el espacio muestral $\Omega$ si el primer carácter debe ser obligatoriamente una letra y el último un número.

1. b) Si se elige una clave al azar de entre todas las posibles (sin las restricciones del apartado anterior, pero manteniendo que los 3 caracteres sean distintos), ¿cuál es la probabilidad de que la clave esté formada solo por números?

En un campeonato de E-sports, se analizan los periféricos que usan 120 participantes. Se sabe que 75 usan teclado mecánico y el resto de membrana. De los que usan teclado mecánico, 45 usan también ratón inalámbrico. En total, hay 65 participantes que usan ratón inalámbrico.

1. a) Organiza estos datos en una tabla de contingencia.

1. b) Si elegimos un participante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que use teclado de membrana y ratón con cable?

1. c) Si sabemos que un participante usa ratón inalámbrico, ¿cuál es la probabilidad de que su teclado sea de membrana?

Dos populares streamers, Alba y Brais, van a realizar una colaboración. Tienen una urna con 4 tarjetas de retos físicos y 6 tarjetas de retos mentales. Deciden sacar dos tarjetas sucesivamente y sin devolución.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente todas las posibilidades y asigna la probabilidad a cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que el segundo reto extraído sea mental, sabiendo que el primero fue físico.

1. c) ¿Cuál es la probabilidad de que realicen un reto de cada tipo?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un juego de mesa consiste en lanzar una moneda y, según el resultado, hacer lo siguiente:

• Si sale cara, se lanza un dado de 4 caras (numeradas del 1 al 4).

• Si sale cruz, se extrae una bola de una urna que contiene 2 bolas rojas y 3 bolas verdes.

1. a) Representá el experimento mediante un diagrama de árbol.

1. b) Calculá la probabilidad de obtener un número par en el dado si la moneda salió cara.

1. c) ¿Cuál es la probabilidad total de que el resultado final del experimento sea una bola roja?

En una final de un torneo de tenis entre Carlos y Rafa, gana el primero que consiga vencer en 3 sets. El torneo se interrumpe por lluvia cuando Carlos va ganando 2 sets a 1. Sabiendo que ambos tienen la misma probabilidad de ganar cada set restante:

1. a) Utiliza un diagrama de árbol para calcular la probabilidad que tiene cada uno de ganar el torneo si se hubiera seguido jugando.

1. b) Si el premio total es de $12.000$ pesos, ¿cómo debería repartirse de forma justa según las probabilidades de victoria de cada uno en el momento de la interrupción?

Un creador de contenido ha lanzado 500 veces un dado de 8 caras (octaedro) para comprobar si está trucado. Los resultados obtenidos para la cara con el número "8" se muestran en la siguiente tabla:

1. a) Calcula las frecuencias relativas para cada etapa del experimento.

1. b) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la probabilidad de obtener un "8"?

1. c) Si el dado fuera perfecto (regular), ¿cuál debería ser su probabilidad teórica según la ley de Laplace?

Un dron de entrega debe aterrizar en una parcela cuadrada de $10$ metros de lado. Dentro de la parcela hay una zona circular de seguridad (donde no debe aterrizar) con un radio de $2$ metros, y una zona de aterrizaje óptimo que es un pequeño cuadrado central de $1$ metro de lado.

Suponiendo que el dron aterriza en cualquier punto de la parcela con la misma probabilidad:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el dron aterrice en la zona de aterrizaje óptimo?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que aterrice fuera de la zona circular de seguridad? (Usa $\pi \approx 3,14$).

Lanzamos un dado de seis caras que sospechamos que está trucado. Tras lanzarlo 500 veces, obtuvimos las siguientes frecuencias: el número 6 salió 125 veces, el número 1 salió 40 veces, y los números 2, 3, 4 y 5 salieron con la misma frecuencia entre ellos.

1. a) Calculá la frecuencia relativa del evento "Obtener un 6".

1. b) Según la Ley de los Grandes Números, ¿qué probabilidad le asignarías al evento "Obtener un número menor que 6"?

1. c) Si el dado no estuviera trucado, ¿cuál sería la probabilidad teórica de obtener un 6? Compará ambos resultados.