Función de proporcionalidad inversa

De las siguientes relaciones, indica cuáles son de proporcionalidad inversa y, en ese caso, escribe su ecuación en la forma $y = \frac{k}{x}$:

1. a) $y = \frac{3}{x}$

1. b) $y = \frac{x}{3}$

1. c) $x \cdot y = 10$

1. d) $y = -5x$

1. e) $y = \frac{1}{2x}$

Sin representarlas, indica en qué cuadrantes se encuentran las ramas de cada una de estas hipérbolas y razona por qué:

1. a) $y = \frac{7}{x}$

1. b) $y = \frac{-4}{x}$

1. c) $y = \frac{1}{5x}$

¿De qué depende los cuadrantes que ocupa una hipérbola $y = \frac{k}{x}$?

En la figura aparecen las hipérbolas $y = \frac{3}{x}$ e $y = \frac{12}{x}$ para valores positivos de $x$, como se muestra a continuación.

1. a) Asocia cada curva con su ecuación.

1. b) ¿Qué efecto tiene el valor de $k$ en la posición de la hipérbola respecto al origen?

1. c) ¿Dónde dibujarías $y = \frac{6}{x}$? Justifícalo.

Considera la función $y = \frac{12}{x}$.

1. a) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad inversa $k$?

1. b) Copia y completa en tu cuaderno la tabla para $x = 1$, $2$, $3$, $4$, $6$ y $12$.

1. c) ¿Qué ocurre con los valores de $y$ a medida que $x$ se hace más grande?

La gráfica de la figura representa una función de proporcionalidad inversa, como se muestra a continuación.

1. a) ¿Cuánto vale $y$ cuando $x = 2$? ¿Y cuando $x = 6$?

1. b) Usando los valores anteriores, calcula la constante $k$ y escribe la ecuación de la función.

1. c) ¿Cuánto vale $y$ cuando $x = 12$?

Una función de proporcionalidad inversa pasa por el punto $P(4, 6)$.

1. a) Calcula su constante $k$ y escribe su ecuación.

1. b) Completa una tabla de valores con $x = 1$, $2$, $3$, $6$, $8$ y $12$.

1. c) Representa la hipérbola en tu cuaderno para valores positivos de $x$.

1. d) ¿Pasa también por el punto $(-3, -8)$? Compruébalo con la ecuación.

Considera la función $y = \frac{8}{x}$.

1. a) ¿Corta su gráfica al eje $X$? ¿Y al eje $Y$? Justifica tus respuestas usando la ecuación.

1. b) ¿Qué valores toma $y$ cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha ($x = 1$, $0,1$, $0,01$…)? ¿Y cuando $x$ se hace muy grande?

1. c) Explica con tus palabras qué significa que los ejes de coordenadas sean asíntotas de la hipérbola.

Un grupo de ciclistas debe recorrer $240\ \text{km}$ entre dos etapas. La velocidad media $v$ a la que rueden determinará el tiempo $t$ que tarden.

1. a) Escribe la función que da el tiempo $t$ en función de la velocidad $v$.

1. b) Completa en tu cuaderno la tabla para $v = 10$, $15$, $20$, $30$ y $40\ \text{km/h}$.

1. c) ¿Es una función de proporcionalidad inversa? ¿Cuánto vale $k$?

Unos pintores tienen que pintar una valla. Un solo pintor tardaría $12$ días trabajando al mismo ritmo.

1. a) Escribe la función que relaciona el número de pintores $x$ con los días $y$ que tardan.

1. b) ¿Cuánto tardan $4$ pintores? ¿Y $6$?

1. c) ¿Tiene sentido dar valores decimales a $x$ en este contexto? ¿Y valores negativos? Explica qué valores puede tomar $x$.

En un experimento de física, un émbolo comprime un gas a temperatura constante y se comprueba que la presión $p$ y el volumen $V$ verifican $p \cdot V = 6$, con el volumen en litros y la presión en atmósferas, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función que da la presión en función del volumen.

1. b) ¿Qué presión ejerce el gas cuando ocupa $1,5\ \text{L}$?

1. c) ¿Qué volumen ocupa cuando la presión es de $0,5\ \text{atm}$?

1. d) ¿Qué le ocurre a la presión si el volumen se hace muy pequeño? ¿Podría llegar a ser $V = 0$?

En un concurso de pasteles de una comarca, el premio de $\$600$ se reparte a partes iguales entre todos los ganadores, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la función que da el premio por persona $y$ en función del número de ganadores $x$.

1. b) ¿Cuánto recibe cada uno si hay $3$ ganadores? ¿Y si hay $8$?

1. c) La gráfica de esta función no es una hipérbola completa, sino solo algunos puntos de ella. Explica por qué.

Una batería externa de $20.000\ \text{mAh}$ se descarga según el consumo del dispositivo que alimenta. La duración $t$ en horas depende del consumo medio $c$ en $\text{mA}$: cuanto mayor es el consumo, menos dura.

1. a) Sabiendo que $t = \frac{20.000}{c}$, calcula cuántas horas dura con un consumo de $800\ \text{mA}$.

1. b) ¿Cuál es el consumo si la batería ha durado $40$ horas?

1. c) Si el consumo se duplica, ¿qué le ocurre a la duración? Justifícalo con la ecuación.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un ejemplo o un contraejemplo:

1. a) «Toda función decreciente es de proporcionalidad inversa.»

1. b) «En la función $y = \frac{k}{x}$, si el valor de $x$ se duplica, el valor de $y$ se reduce a la mitad.»

1. c) «La hipérbola $y = \frac{10}{x}$ corta a la recta $y = 10$ en un único punto.»

1. d) «Las funciones $y = \frac{2}{x}$ e $y = \frac{-2}{x}$ son simétricas respecto al eje $X$.»

Tarea de decisión. La comisión de padres de un liceo alquila un ómnibus de $54$ asientos para una excursión al museo de ciencias. El ómnibus cuesta $\$15\,120$ y su precio se reparte en partes iguales entre los alumnos que se anoten, como se muestra en la figura.

1. a) Escribí la función que da el precio por alumno $y$ en función del número de asistentes $x$. ¿Qué valores puede tomar $x$?

1. b) ¿Cuántos alumnos deben anotarse para que el precio por persona no supere los $\$560$?

1. c) El primer día se anotan $21$ alumnos. ¿Cuánto pagaría cada uno? Si después se anotan $6$ más, ¿cuánto se le devolvería a cada uno?

1. d) ¿Por qué la gráfica de esta función se acerca cada vez más al eje $X$ sin tocarlo? ¿Qué significa eso en este contexto?

Para levantar un cubo de agua con una palanca se aplica la ley de la palanca: $F \cdot d = 600$, donde $F$ es la fuerza en newtons y $d$ la distancia del punto de apoyo al extremo donde se empuja, en centímetros.

1. a) Escribe la función que da la fuerza en función de la distancia.

1. b) ¿Qué fuerza hay que aplicar empujando a $50\ \text{cm}$? ¿Y a $150\ \text{cm}$?

1. c) Un niño puede aplicar como máximo $80\ \text{N}$. ¿A qué distancia mínima del punto de apoyo debe empujar?

1. d) Interpreta la asíntota vertical de la gráfica: ¿qué ocurriría al empujar muy cerca del punto de apoyo?

Investiga si la recta $y = x + 1$ corta a la hipérbola $y = \frac{6}{x}$:

1. a) Plantea la ecuación $\frac{6}{x} = x + 1$ y transfórmala en una ecuación de segundo grado.

1. b) Resuélvela y escribe las coordenadas de los puntos de corte.

1. c) Comprueba gráficamente el resultado representando ambas funciones en tu cuaderno.

1. d) ¿Cortaría la recta $y = x + 8$ a la misma hipérbola? Justifícalo sin resolver la ecuación.