Soluciones de un sistema
Una cooperativa agropecuaria de Salto plantea tres ecuaciones con tres incógnitas para repartir su producción. ¿Siempre habrá una única forma de repartirla? Puede haber una, infinitas o ninguna. Antes de lanzarte a resolver con escalerización o con la inversa, conviene que sepás reconocer en qué caso estás y qué significa cada uno, tanto algebraica como geométricamente.
Clasificación de un sistema: SCD, SCI, SI
Con tres incógnitas pasa lo mismo, pero con planos: pueden cortarse en un punto (SCD), en una recta o coincidir (SCI), o no tener ningún punto común (SI), por ejemplo tres planos paralelos o que se cortan de a dos formando un "prisma".
Probá con el gráfico: las rectas $x+2y=4$ y $x-y=1$ se cortan en un solo punto.
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Clasificar sin graficar: comparar coeficientes
Para dos ecuaciones con dos incógnitas, $a_1x+b_1y=c_1$ y $a_2x+b_2y=c_2$, no hace falta dibujar: alcanza con comparar los cocientes de los coeficientes. Dos rectas son paralelas o coincidentes justamente cuando sus coeficientes de $x$ e $y$ son proporcionales (tienen la misma dirección).
Observa la representación gráfica de las dos ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas. Basándote en el dibujo, indica cuál es la solución del sistema…
Observa la representación gráfica de las dos ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas. Basándote en el dibujo, indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible).
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según su interpretación geométrica en el plano. Para ello, analiza la relación entre los coeficientes de las incógnitas y…
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según su interpretación geométrica en el plano. Para ello, analiza la relación entre los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes:
$\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$
Justifica tu respuesta indicando qué posición relativa tienen las rectas representadas.
¿Es esta tupla la solución?
Para comprobar si una tupla es solución de un sistema, la sustituís en todas las ecuaciones: tiene que cumplirlas todas a la vez, no solo una.
Dos amigos han ido a una tienda de videojuegos. El primero compra 2 juegos de acción y 1 de estrategia por $3\,200$ pesos. El segundo compra 1 de acción y 3 de…
Dos amigos han ido a una tienda de videojuegos. El primero compra 2 juegos de acción y 1 de estrategia por $3\,200$ pesos. El segundo compra 1 de acción y 3 de estrategia por $3\,600$ pesos. Comprueba si el par $(x, y) = (1\,200, 800)$, donde $x$ es el precio del juego de acción e $y$ el de estrategia, es la solución del sistema que describe esta situación.
En una cafetería, el precio de un café ($x$), una tostada ($y$) y un jugo ($z$) están relacionados por el siguiente sistema:…
En una cafetería, el precio de un café ($x$), una tostada ($y$) y un jugo ($z$) están relacionados por el siguiente sistema:
$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases} $
Determiná si la terna $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es una solución válida para el precio de estos productos.
Halla el valor del parámetro $k$ para que la pareja $(x, y) = (2, -1)$ sea solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:…
Halla el valor del parámetro $k$ para que la pareja $(x, y) = (2, -1)$ sea solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$ \begin{cases} kx + 3y = 1 \\ x + ky = 0 \end{cases} $
Sistemas equivalentes
Indica, sin resolver, si los siguientes dos sistemas de ecuaciones son equivalentes y justifica tu respuesta comparando sus soluciones o mediante transformaciones…
Indica, sin resolver, si los siguientes dos sistemas de ecuaciones son equivalentes y justifica tu respuesta comparando sus soluciones o mediante transformaciones elementales:
Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Sistema 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x = 6 \end{cases}$
Se sabe que los dos sistemas siguientes son equivalentes (tienen la misma solución): Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ Sistema 2:…
Se sabe que los dos sistemas siguientes son equivalentes (tienen la misma solución):
Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
Sistema 2: $\begin{cases} ax + y = 7 \\ x + by = 5 \end{cases}$
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$. Para ello, resuelve primero el Sistema 1 y utiliza los valores obtenidos para plantear una solución en el Sistema 2.
Leer la solución en la matriz escalerizada
Cuando el sistema depende de parámetros, la escalerización permite ver para qué valores aparece una fila $(0\;0\;0\mid c)$ con $c\neq 0$ (incompatible) o una fila de ceros (indeterminado). También se puede usar el determinante de la matriz de coeficientes: si $|A|\neq 0$, el sistema cuadrado es SCD; si $|A|=0$, hay que estudiarlo con más cuidado (SCI o SI). En los sistemas homogéneos, que siempre admiten la solución $(0,0,0)$, nunca puede darse el caso incompatible.
Dada la siguiente matriz ampliada $M^$ de un sistema de ecuaciones escalonado tras aplicar el método de Gauss, razona si el sistema tiene solución y, en caso afirmativo,…
Dada la siguiente matriz ampliada $M^*$ de un sistema de ecuaciones escalonado tras aplicar el método de Gauss, razona si el sistema tiene solución y, en caso afirmativo, si es única:
$M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$
Un estudiante de 2.° de bachillerato analiza la posición relativa de tres planos en el espacio. El sistema de ecuaciones que define dicha posición es el siguiente:…
Un estudiante de 2.° de bachillerato analiza la posición relativa de tres planos en el espacio. El sistema de ecuaciones que define dicha posición es el siguiente:
$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 3y + 2z = k \end{cases}$$- a) Determiná el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una recta. ¿Cómo se clasifica el sistema en este caso según el número de sus soluciones?
- b) Si $k = 0$, ¿cuál es la posición relativa de los planos? Justificá tu respuesta utilizando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
Dado el sistema dependiente del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \end{cases}$$ a) Calcula el valor de $a$ para que…
Dado el sistema dependiente del parámetro $a$:
$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \end{cases}$$- a) Calcula el valor de $a$ para que el sistema sea Compatible Indeterminado.
- b) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, escribe la solución general del sistema expresando las incógnitas $x$ e $y$ en función de $z$. Utiliza $z = \lambda$.
Determinante e inversa de la matriz de coeficientes
Ya dijimos que el determinante $|A|$ decide si un sistema cuadrado es SCD. Veamos cómo se calcula y cómo se usa para hallar la inversa.
Calcular el determinante
Calcular la inversa
Sea la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7…
Sea la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$$- a) Justifica que la matriz $A$ es regular (tiene inversa) calculando su determinante.
- b) Halla la matriz de las incógnitas $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ resolviendo el sistema asociado mediante la matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.
Se considera la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema de costos de una empresa de transporte: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 &…
Se considera la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema de costos de una empresa de transporte:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & a+1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$- a) Determiná para qué valores del parámetro $a$ el sistema no admite una solución única.
- b) Para los valores hallados en la parte anterior, estudiá si el sistema es compatible indeterminado o incompatible. Interpretá el resultado desde el punto de vista de la gestión de recursos: ¿hay alguna configuración de costos que sea imposible de cuadrar?
- c) Resolvé el sistema para $a = 2$ utilizando exclusivamente el método de la matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.
Plantear, discutir y resolver
Muchos problemas llegan como un texto: primero se plantea el sistema, después se lo clasifica y, si corresponde, se resuelve. Pensá qué representa cada incógnita y escribí una ecuación por cada dato.
Forma matricial del sistema
Un sistema se puede escribir de forma compacta como $A\cdot X=B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes (una fila por ecuación, una columna por incógnita), $X$ es la columna de incógnitas y $B$ es la columna de términos independientes. Si la ecuación no tiene alguna incógnita, su coeficiente es $0$.
Discutir con parámetros
Otra forma de decirlo: el rango de una matriz es la cantidad de filas no nulas que quedan al escalerizarla. El sistema es compatible cuando la matriz de coeficientes y la ampliada tienen el mismo rango (es el criterio de Rouché-Frobenius), y es determinado si ese rango es igual a la cantidad de incógnitas. En el ejemplo anterior con $a=7$, ambas matrices tienen rango $2$ y hay $3$ incógnitas: SCI.
Con tres ecuaciones y tres incógnitas, si $|A|\neq 0$ podés también hallar la solución con la matriz inversa: $X=A^{-1}\cdot B$.
Expresa en forma matricial $A \cdot X = B$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de las…
Expresa en forma matricial $A \cdot X = B$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de las incógnitas $X$ y la matriz de los términos independientes $B$:
$ \begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + 4y - 3z = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro real $m$: $$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro real $m$:
$$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$$Indica en qué casos el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. No es necesario resolverlo.
Una agencia de marketing digital gestiona la publicidad de una marca en tres plataformas: Instagram ($x$), TikTok ($y$) y YouTube ($z$). Durante el último mes se sabe…
Una agencia de marketing digital gestiona la publicidad de una marca en tres plataformas: Instagram ($x$), TikTok ($y$) y YouTube ($z$). Durante el último mes se sabe que:
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El gasto total en las tres plataformas fue de $100\,000$ pesos.
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El gasto en Instagram fue el doble del gasto en YouTube.
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La suma del gasto en Instagram y TikTok superó en $4\,000$ pesos al triple del gasto en YouTube.
- a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuánto se invirtió en cada plataforma.
- b) Resuelve el sistema mediante el método de Gauss.
En una agencia de marketing digital están analizando el impacto de tres campañas publicitarias ($x$, $y$, $z$). El rendimiento de las campañas depende de un factor de…
En una agencia de marketing digital están analizando el impacto de tres campañas publicitarias ($x$, $y$, $z$). El rendimiento de las campañas depende de un factor de mercado estacional representado por el parámetro $k$. El sistema de ecuaciones que describe el retorno de inversión es el siguiente:
$$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$$- a) Discute la viabilidad de las soluciones del sistema (su compatibilidad) en función de los valores que pueda tomar el parámetro de mercado $k$, utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius.
- b) En el caso de que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la expresión general de las soluciones. ¿Qué relación debe existir entre las campañas $x$ e $y$ en este escenario?
- c) Si el factor de mercado es $k = 0$, determina si es posible obtener un retorno positivo en todas las campañas simultáneamente.
Volvé al principio: el reparto de la cooperativa tiene una única solución solo si el sistema es SCD; si es SCI hay muchas formas de repartir, y si es SI, ninguna.