Sistemas dependientes de un parámetro
En la feria vecinal, una puestera arma cajones con $x$ kilos de durazno e $y$ kilos de frutilla. Cada cajón lleva 10 kilos en total, y el costo de la mercadería es $\begin{cases} x+y=10 \\ 2x+2y=k \end{cases}$ según el valor de $k$. ¿Cambia la cantidad de soluciones según el valor de $k$? Discutir un sistema con parámetro es justamente descubrir para qué valores del parámetro pasa cada cosa. Al final de la página volvemos a este caso.
El plan de discusión
Un sistema puede tener una sola solución, infinitas o ninguna. Cuando aparece un parámetro (una letra como $a$, $k$ o $m$ que representa un número real), la respuesta puede cambiar según el valor que tome. Discutir el sistema es decir, para cada valor del parámetro, de qué tipo es.
Primero, un par de nombres. La matriz de coeficientes $A$ guarda los coeficientes de las incógnitas. La matriz ampliada $A^*$ agrega la columna de los términos independientes.
Al escalerizar el sistema, ese rango te dice todo:
| Lo que ves al escalerizar | Clasificación |
|---|---|
| Aparece una fila $0=c$ con $c\neq 0$ | Incompatible (SI): $rg(A) |
| No hay fila imposible y quedan menos filas útiles que incógnitas | Compatible indeterminado (SCI): $rg(A)=rg(A^*) |
| No hay fila imposible y quedan tantas filas útiles como incógnitas | Compatible determinado (SCD): $rg(A)=rg(A^*)=n$ |
Para sistemas con tantas ecuaciones como incógnitas, el determinante ahorra mucho trabajo.
¿Por qué? Si $|A|\neq 0$, $A$ tiene inversa y la ecuación $A\cdot X=B$ se despeja de una sola manera: $X=A^{-1}B$. Hay una única solución, sea cual sea $B$.
Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para un valor específico del parámetro $t$: $$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1…
Se sabe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para un valor específico del parámetro $t$:
$$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1 \end{cases}$$- a) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función de $t$.
- b) Indica para qué valores de $t$ el sistema es Compatible Determinado.
- c) Estudia qué sucede si $t = -1$.
En el análisis de un mercado financiero, se ha determinado que el equilibrio de precios de tres activos viene dado por el siguiente sistema: $$\begin{cases} x + y = 2 \\…
En el análisis de un mercado financiero, se ha determinado que el equilibrio de precios de tres activos viene dado por el siguiente sistema:
$$\begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ x + y + pz = 2 \end{cases}$$Discute la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $p$ (precio del tercer activo). Indica cuándo el sistema es Compatible Determinado (SCD).
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $a$: $$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2…
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $a$:
$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$$- a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$ utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius.
- b) Resuelve el sistema para el caso en el que sea compatible indeterminado y escribe la solución en forma paramétrica.
- c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifica tu respuesta.
Valores especiales: SCI o SI, nunca los dos
Cuando $|A|=0$ para un valor concreto del parámetro, en el sistema ya no hay un valor desconocido: es un sistema numérico común. Por lo tanto, para ese valor el sistema es o compatible indeterminado o incompatible, nunca las dos cosas.
Con dos incógnitas se ve en el plano: cada ecuación es una recta.
Mirá ahora cómo la misma matriz puede dar SI o SCI según los términos independientes.
Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses…
Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses es:
$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$- a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema.
- b) ¿Para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones? ¿Qué significa esto en el contexto de los servicios prestados?
Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$ Utiliza el método de Gauss para demostrar…
Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$:
$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$Utiliza el método de Gauss para demostrar que, para cualquier valor de $m \neq 1$, el sistema es incompatible. ¿Qué ocurre si $m = 1$?
Estudia la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $t$ y resuélvelo cuando sea posible: $$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z…
Estudia la compatibilidad del sistema según los valores del parámetro $t$ y resuélvelo cuando sea posible:
$$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z = 1 \end{cases}$$En tu análisis, presta especial atención al caso $t = -2$ y explica razonadamente qué ocurre con los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.
Cuando el determinante no alcanza
El determinante solo existe si la matriz es cuadrada. Si hay más ecuaciones que incógnitas (o al revés), o si el determinante vale cero para todo valor del parámetro, la herramienta es la escalerización directa, trabajando con el parámetro adentro.
Cuando al escalerizar queda un coeficiente con parámetro, como $(a-4)z=b-6$, el razonamiento es siempre el mismo:
-
Si el coeficiente es distinto de cero, se despeja la incógnita: hay solución.
-
Si el coeficiente es cero, queda $0=\text{algo}$: si ese algo es cero, la fila desaparece (SCI); si no, es imposible (SI).
Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$ a) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el…
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$- a) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el sistema sea compatible determinado? Justifica la respuesta basándote en el rango de la matriz de coeficientes.
- b) Encuentra el valor de $a$ que hace que el sistema sea compatible indeterminado.
- c) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, da una solución particular en la que $z = 0$.
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas según los valores de $m$: $$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x…
Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas según los valores de $m$:
$$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases} $$¿Para qué valor de $m$ el sistema tiene una única solución? Calcúlala en ese caso.
Con la matriz inversa
El sistema $A\cdot X=B$ tiene una conexión directa con la inversa:
Entonces, «¿para qué valores del parámetro $A$ no tiene inversa?» es la misma pregunta que «¿para qué valores se anula $|A|$?».
Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B =…
Sea la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$- a) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $A$ no tiene inversa.
- b) Discute el sistema de ecuaciones $A \cdot X = B$ según los valores de $k$.
- c) Resuelve el sistema para $k = 3$.
Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$. a) Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema…
Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$.
- a) Halla los valores de $a$ para los cuales el sistema $A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ tiene infinitas soluciones.
- b) Para $a = 2$, resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, siendo $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, utilizando la matriz inversa.
Discusión con dos parámetros
Con dos parámetros ($a$ y $b$), el determinante suele depender solo de uno. Se procede así: primero, $|A|$ da los valores especiales de $a$; segundo, en cada uno de ellos se escaleriza y el parámetro $b$ decide entre SCI y SI.
Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$: $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$ a) Discute el…
Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$:
$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$- a) Discute el sistema en función de los valores de $a$ y $b$.
- b) Para los valores que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, halla la solución general expresándola en función de un parámetro $\lambda$.
Al revés: «se sabe que es compatible indeterminado»
A veces te dan el tipo de sistema y te piden los parámetros. Se hace el mismo camino: se escaleriza con los parámetros adentro y se exige que la fila final sea $0=0$.
¿Qué pasa si se agrega una ecuación más? Para que el sistema siga siendo compatible, la solución general tiene que verificarla.
Se sabe que el sistema de ecuaciones: $$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$ es compatible indeterminado. a) Encuentra los valores…
Se sabe que el sistema de ecuaciones:
$$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$es compatible indeterminado.
- a) Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$.
- b) Para los valores hallados, escribe la solución general del sistema.
- c) Si añadimos una cuarta ecuación $x + y + z = 2$, ¿cambia la compatibilidad del sistema? Razona la respuesta.
Sistemas homogéneos con parámetro
Un sistema homogéneo ($B=0$) siempre tiene la solución trivial $(0,0,0)$, así que nunca es incompatible. Discutirlo es más corto.
Discutí el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$ Recordá que los sistemas homogéneos siempre…
Discutí el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro $a$:
$$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$Recordá que los sistemas homogéneos siempre son compatibles. Indicá para qué valores de $a$ el sistema tiene solo la solución trivial $(0,0)$ y para cuáles tiene infinitas soluciones.
Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$: $$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3:…
Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$:
$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$- a) Determina para qué valores de $m$ los tres planos se cortan únicamente en el origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.
- b) Halla los valores de $m$ para los cuales el sistema formado por las tres ecuaciones es compatible indeterminado. Para cada uno de esos valores, indica la interpretación geométrica de la posición relativa de los tres planos.
Considera el siguiente sistema homogéneo: $$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$ a) Determina los valores del…
Considera el siguiente sistema homogéneo:
$$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$- a) Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales el sistema admite soluciones distintas de la trivial $(0, 0, 0)$.
- b) Para los valores hallados en el apartado anterior, describe la posición relativa de los tres planos que representan las ecuaciones del sistema.
Resolver el caso compatible indeterminado
Cuando el sistema es SCI, la solución general lleva $n-rg(A)$ parámetros libres. A menudo el problema agrega una condición (por ejemplo, que las incógnitas sumen un total dado) que fija el valor de los parámetros y da una solución particular.
Un "influencer" está analizando la evolución de sus seguidores en tres redes sociales (TikTok, Instagram y Twitch). Sean $x, y, z$ la variación neta de seguidores…
Un "influencer" está analizando la evolución de sus seguidores en tres redes sociales (TikTok, Instagram y Twitch). Sean $x, y, z$ la variación neta de seguidores diarios (altas menos bajas, por lo que puede ser negativa) en TikTok, Instagram y Twitch, respectivamente. Estas variaciones satisfacen las siguientes condiciones mensuales, donde $m$ es un coeficiente de viralidad:
$$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3y + mz = 5 \\ x + my + 3z = 8 \end{cases}$$- a) Discute el sistema en función de $m$.
- b) Si para un determinado mes el coeficiente de viralidad es $m = 2$, ¿cuál es la variación neta de seguidores diarios en cada red social?
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$: $$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:
$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$- a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$.
- b) Resuelve el sistema, si es posible, para el caso en el que sea compatible indeterminado y para el caso $a = 0$.
Resumen
Volvamos al principio: en $\begin{cases} x+y=10 \\ 2x+2y=k \end{cases}$ el determinante vale $2-2=0$ para todo $k$. Escalerizando, $F_2-2F_1$ da $0=k-20$. Si $k=20$ hay infinitos cajones posibles (SCI); si $k\neq 20$, ninguno (SI).